结构力学稳定理论.ppt

§14-3 §14-3 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定 ————静力法和能量法静力法和能量法稳定计算最基本稳定计算最基本最重要的方法最重要的方法静力法静力法：考虑：考虑临界状态临界状态的静力特征的静力特征 （平衡形式的二重性）（平衡形式的二重性）能量法能量法：考虑：考虑临界状态临界状态的能量特征的能量特征 （势能有驻值，位移有非零解）（势能有驻值，位移有非零解）PlABk要点是利用临界状态平衡形式的要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，找新的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载由此求临界荷载lθ=0，原始平衡原始平衡θ≠0，新平衡形式新平衡形式特征方程（稳定方程）特征方程（稳定方程）临界荷载临界荷载MA=kθ 确定体系变形形式确定体系变形形式(新的平衡形式新的平衡形式)的独立的独立位移参数的数目即稳定体系的位移参数的数目即稳定体系的自由度自由度.PAB转动刚转动刚度系数度系数k kB´λθEI=∞1 1、静力法、静力法 对对于于具具有有n n个个自自由由度度的的结结构构，，新新的的平平衡衡形形式式需需要要n n个个独独立立的的位位移移参参数数确确定定，，在在新新的的平平衡衡形形式式下下也也可可列列出出n n个个独独立立的的平平衡衡方方程程，，它它们们是是以以n n个个独独立立的的位位移移参参数数为为未未知知量量的的齐齐次次代代数数方方程程组组。

根根据据临临界界状状态态的的静静力力特特征征，，该该齐齐次次方方程程组组除除零零解解外外（（对对应应于于原原有有平平衡衡形形式式）），，还还应应有有非非零零解解（（对对应应于于新新的的平平衡衡形形式式）），，故故应应使使方方程程组组的的系系数数行行列列式式为为零零，，D D=0=0即即为为稳稳定定方方程程，，从从稳稳定定方方程程求求出出的的最小根即为临界荷载最小根即为临界荷载P Pcrcr 例例1 1：图示体系中：图示体系中ABAB、、BCBC、、CDCD各杆为刚性杆使用两种方各杆为刚性杆使用两种方法求其临界荷载法求其临界荷载lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：解：1 1）静力法）静力法•设变形状态设变形状态 求支座反力求支座反力•列变形状态列变形状态 的平衡方程的平衡方程（a）•如果系数行列式如果系数行列式=0=0y1y1，，y2y2不为零，对应不为零，对应新的平衡形式新的平衡形式ABCD1-1对称问题可利用对称性做对称问题可利用对称性做P2 2、能量法、能量法静力法对静力法对等截面压杆等截面压杆的稳定分析较为简单，而对的稳定分析较为简单，而对变截面杆变截面杆、有、有轴向分布荷载轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。

作用的杆就较为麻烦也可从稳定与能量的关系来分析稳定性也可从稳定与能量的关系来分析稳定性刚性小球运动稳刚性小球运动稳定性与能量的关系定性与能量的关系设静止点设静止点A、、B、、C点点Π=0ABCA点为稳定平衡，点为稳定平衡，偏离偏离A点点δΠ＞０其＞０其势能将增加，故知势能将增加，故知稳定平衡位置的势稳定平衡位置的势能为最小能为最小B点为随遇点为随遇平衡，偏离平衡，偏离B点点δΠ=００势能不变势能不变C点为不稳定平衡，点为不稳定平衡，偏离偏离C点点δΠ＜０其势＜０其势能将减小，故知不稳能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为定平衡位置的势能为最大 对对于于弹弹性性变变形形体体系系，，其其稳稳定定性性与与能能量量的的关关系系与与刚刚性性小小球球情情况况相相似似设设原原始始平平衡衡状状态态为为零零势势能能点点，，让让体体系系微微小小偏偏移移，，荷荷载载在位移上做功在位移上做功W（外力势能（外力势能UP=－－W）使体系偏移，内力在变）使体系偏移，内力在变形上产生变性能形上产生变性能U，使体系恢复原位置总势能，使体系恢复原位置总势能Π=U+ UP即总即总势能的增量势能的增量δΠ 如总势能如总势能Π=U+ UP >0（（δΠ>0），体系能），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；恢复原位置，平衡是稳定的； 如总势能如总势能Π=U+ UP =0（（δΠ=0），体系能），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；在任意位置平衡，平衡为中性的； 如总势能如总势能Π=U+ UP <0（（δΠ<0），体系不），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。

能恢复原位置，平衡是不稳定的 用能量法求临界荷载，依据于临界状态的用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即δΠ=0或：Π=0 （单自由度体系）（用于多自由度体系）PlABklMA=kθPABB´λθEI=∞Π=0弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理：对于弹性体系，对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能实位移）使结构的势能Π为驻值，即：为驻值，即：δΠ=0 , Π=应变能应变能U+外力势能外力势能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1 (qll -=MA=kθ弹性应变能弹性应变能荷载势能荷载势能:应用势能驻值条件应用势能驻值条件:位移有非零解得：位移有非零解得：PlABkB´λθEI=∞单自由度体系也可由单自由度体系也可由Π=0解得：解得： 总势能是位移总势能是位移θθ的二次函数，的二次函数，1 1））PUU>UP P表表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置平衡位置) )当当θ=0θ=0，，ΠΠ为极小值为极小值0 0。

对于稳定平衡状态，真实的位移使对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值为极小值2））P>k/l ，当，当θ≠0，，Π恒小于零（恒小于零（Π为负定）为负定） (即即UPcrθΠP=Pcr 结论：结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小2）临界状态的能量特征是：势能为驻值）临界状态的能量特征是：势能为驻值δΠ=0 ，且位移有非零，且位移有非零 解即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能时，必有总势能=0。

对于多自由度体系，结论仍然成立对于多自由度体系，结论仍然成立Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2 2）能量法）能量法•在新的平衡位在新的平衡位 置各杆端的相置各杆端的相 对水平位移对水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyll•D D点的水平位移点的水平位移•弹性支座应变能弹性支座应变能: :)(22221+=yykU•荷载势能荷载势能: :)(222121+--=-=yyyylPPUPl•体系总势能体系总势能: :])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP•势能驻势能驻 值条件值条件: :0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0, 021=¶¶=¶¶yyPP以后的计算步骤同静力法以后的计算步骤同静力法能量法步骤能量法步骤:①①给出新的平衡形式给出新的平衡形式;②②写出写出总势能表达式总势能表达式;③③建立势能驻建立势能驻值条件值条件;④④应用位移有非零解应用位移有非零解的条件的条件,得出特征方程得出特征方程; ⑤⑤解解出特征值出特征值,其中最小的即临界其中最小的即临界荷载荷载Pcr。

势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程PPllABCk例例2 2：用两种方法求图示体系的临界荷载并绘其失稳曲线用两种方法求图示体系的临界荷载并绘其失稳曲线1 1、静力法、静力法：：•两个自由度，取两个自由度，取θθ1 1 θθ2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图•分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：2qk()21-kBC:AC:•由位移参数不全为零得稳定方程并求解：由位移参数不全为零得稳定方程并求解：•求失稳曲线：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线2 2、能量法：、能量法：•外力势能：外力势能：PPllABCk2qk()21-kλ•应变能：应变能：•总势能：总势能：•根据势能驻值条件：根据势能驻值条件：•由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：•以下计算同静力法以下计算同静力法例例3：用静力法求图：用静力法求图示体系的临界荷载示体系的临界荷载•两个自由度，取两个自由度，取θθ1 1 θθ2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图•分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：BC:AC:•由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP例例3：用能量法求图示体：用能量法求图示体 系的临界荷载。

系的临界荷载•两个自由度，取两个自由度，取θθ1 1 θθ2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图•求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能P例例4：用静力法求图示体：用静力法求图示体系的临界荷载系的临界荷载EI=∞•两个自由度，取两个自由度，取ΔΔ1 1 ΔΔ2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图•分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：•由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21+k()23-kB’C’1-1P例例4 4：用能量法求图示体：用能量法求图示体系的临界荷载系的临界荷载 EIEI=∞=∞•两个自由度，取两个自由度，取ΔΔ1 1 ΔΔ2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图•由位移参数不全为由位移参数不全为零得稳定方程：零得稳定方程：AlllBCD()21+k()23-kB’C’•求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求利用对称性求 EI=∞1 1、正对称失稳取半刚架如图：、正对称失稳取半刚架如图： 取取θθ1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。

曲线如图PAlllBCDC’1qk02 2、反对称失稳取半刚架如图：、反对称失稳取半刚架如图： 取取θθ1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图曲线如图C)(21+k0C’。