极限是一个重要的概念.docx

极限是一个重要的概念极限是一个重要的概念极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下首先介绍刘徽的 " 割圆术 ", 设有一半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为 A1,再作内接正十二边形，其面积记为 A2,内接二十四边形的面积记为 A3,如此将边数加倍，当 n无限增 大时，An无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2的9次方边形，利用不等式 An+1数列极限：设是一数列，如果存在常数 a,当n无限增大时，an无限接近(或趋近)于 a,则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于 a,记为liman=a或：an—a,当n^°°数列极限的性质：1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2. 改变数列的有限项，不改变数列的极限几个常用数列的极限：an=c 常数列 极限为 can=1/n 极限为 0an=xAn 绝对值x小于1极限为0函数极限的专业定义 :设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A,对于任意给定的正数£ (无论它多么小)，总存在正数 B ,使得当x满足不等式0|f(x)-A|那么常数A就叫做函数f(x)当x-x。

时的极限函数极限的通俗定义：1 、设函数y=f(x)在(a,+ s)内有定义，如果当 x—+s时，函数f(x)无限接近一个确x7+s定的常数A,则称A为当x趋于+s时函数f(x)的极限记作lim f(x)2 、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当 x无限趋近a时(记作x—a),函数 值无限接近一个确定的常数 A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限记作limf(x)=A , x—a函数的左右极限：1 ：如果当 x 从点 x=x0 的左侧(即 x 〈 x0 )无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x—x0-limf(x)=a. 2: 如果当x从点 x=x0 右侧(即 x>x0) 无限趋近于点 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a, 就说 a 是函数 f(x)在点x0处的右极限，记作x—x0+limf(x)=a. 函数极限的性质：极限的运算法则(或称有关公式)：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x) 不等于 0 )lim(f(x))An=(limf(x))An以上 limf(x) limg(x) 都存在时才成立lim(1+1/x)Ax =ex—00lim(1+1/x)Ax =exf0无穷大与无穷小：两个重要极限：1 、lim sin(x) /x = 1 , x—02 、lim (1 + 1 /x) Ax =e , x-0 (e^2.7182818…，无理数)举两个例子说明一下一、0.999999……=1?谁都知道1/3 =0.333333……，而两边同时乘以 3就得到1 = 0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。

无理数”算是什么数?我们知道，形如根号 2 这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是 0+0,这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出 真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的 几个常用数列的极限an=c 常数列 极限为 can=1/n 极限为 0an=xAn 绝对值x小于1极限为0真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师 . 所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。

这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号 2 的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义举两个例子说明一下一、0.999999……=1?谁都知道1/3 =0.333333……，而两边同时乘以 3就得到1 = 0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数二、“无理数”算是什么数？我们知道，形如根号 2 这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动力），比如瞬时速度的问题我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是 0+0,这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。