[三招破解《解直角三角形》应用题] 初三数学解直角三角形应用题范文.docx

[三招破解《解直角三角形》应用题] 初三数学解直角三角形应用题 摘 要：能否高效解决解直角三角形应用题，是关系中考能否取得优秀成绩的重要一环.本文从构造三种数学模型这一角度入手，给考生们提供了几种便捷地解决这类问题的方法. 关键词：应用题 解直角三角形 数学模型 应用题在解直角三角形这一章中有着十分重要的地位，它使抽象的三角函数理论与实际生活紧密地联系在一起，较好地体现了数学来源于生活又应用于生活的特性，很好地贯彻了新课程标准关于理论联系实际的思想，是历年中考的必考题型.能否准确高效解决这类问题直接决定学生能否取得好成绩. 我在中考复习迎考中构造了三类数学模型，灵活运用这三类模型能够使学生便捷、正确地解决这一类问题 一、构造一个直角三角形模型 这一类问题一般比较简单，关键在于构造出一个直角三角形，把相应的边和角都归纳进这个三角形，然后用适当的边角关系解决相应的问题. 例1（南通市中考题）：一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30的B处（如图1-1），上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里（结果保留根号）。

分析：因为灯塔在Ｃ的正北，可构造如图所示的直角三角形ＡＢＣ，又ＡＣ＝２０，∠ＢＡＣ＝６０，所以由正切函数可计算出ＢＣ. 解：在Ｒt△ＡＢＣ中， ∵∠ＡＣＢ＝９０，∠ＢＡＣ＝９０－３０＝６０， 又∵ＡＣ＝２０１＝２０， ∴tan60=，BC=AC tan60=20=20. 例２（苏州市中考题）：苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”（如图１-２）.ＢＣ是过塔底中心Ｂ的铅垂线，ＡＣ是塔顶Ａ偏离ＢＣ的距离，椐测量，ＡＣ约为２．３４m，倾角约为２４８′，求虎丘塔塔身ＡＢ的长度.（精确到０．１m） 分析：因为ＢＣ是铅垂线，所以与地面垂直，ＡＢ是斜线，要解决该问题，必须构造直角三角形，故过塔顶Ａ作ＢＣ垂线垂足为点Ｃ，放在Ｒt△ＡＣＢ中解决该问题． 解：在Ｒt△ＡＣＢ中， ∵∠ＡＣＢ＝９０，∠ABC=２４８′，又ＡＣ＝2.34 ∴ tan２４８′＝， 即ＡＢ＝ＡＣcot２４８′=2.34 cot２４８′=47.8m. 二、构造两个直角三角形模型 如图2-1，已知ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝β（或者其他的两个角），ＣＤ＝d(或其他任一边的长度)，求ＡＢ及其他边的长度. 这类模型又分两种情况分别解决不同的问题． 第一种情况：点Ｃ，Ｄ在边ＡＢ的同侧（如图２-１），利用这两个直角三角形的边角，边边关系构造方程组解决诸如测量中的俯角，仰角，轮船在大海中航行中的方位角等问题． 例３（天津市中考题）：如图２-２，一艘货轮向正北方向航行，在点Ａ处测得灯塔Ｍ在北偏西３０，货轮以每小时２０海里的速度航行，一小时后到达Ｂ处，测得灯塔Ｍ在北偏西４５，问该货轮到达灯塔正东方向Ｄ处时，货轮与灯塔Ｍ距离是多少？（精确到０.１海里，≈１.７３２） 分析：因为Ｄ在Ｍ正东方向，ＡＢ是正北方向，所以ＭＤ⊥ＡＤ，即构造了两个直角三角形：Ｒt△ＡＤＭ和Ｒt△ＢＤＭ．在这两个直角三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题． 解：不妨设ＭＤ＝x，ＤＢ＝y． 又∠ＭＡＤ＝３０， ∠ＭＢＤ＝45，AB＝２０１＝２０， 在Ｒt△ＢＤＭ中，∵tan∠ＭＢＤ＝， ∴tan４５＝ ① 在Ｒt△ＡＤＭ中，∵tan∠ＭＡＤ＝， ∴tan３０＝ ② 解这个方程组得x=10(+1)≈２７.３，y=10(+1))≈２７.３. 所以该货轮到达灯塔正东方向Ｄ处时，货轮与灯塔Ｍ距离约为２７.３海里． 第二种情况：点Ｃ，Ｄ在边ＡＢ的异侧（如图3-１），利用这两个直角三角形的边角、边边关系构造方程组也能解决一系列问题. 例4（中考预测题）：如图3-2，平地上有一建筑物AB和铁塔CD相距60m，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30，又测得塔顶的仰角为45，求铁塔的高（精确到0.01米）. 分析：本题需构造直角三角形，可从点A引CD的垂线，垂足是点E，得到两个Ｒt三角形，在这两个三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题. 解：作AE⊥CD，交CD于点E，不妨设CE=x，DE=y.又∠DAE=30，∠CAE=45. 在Rt△ADE中，∵tan∠DAE= ∴tan30＝ ① 在Ｒt△ＡEC中，∵tan∠CAE＝ ∴tan45＝ ② 解这个方程组得x=60 y=20 ∴DE=60+20≈94.64 答：铁塔的高度为94.64m. 例5（常州市中考题）：如图3-3，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。

甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B处相遇 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 分析：因为乙船速度始终没有改变，本题应从乙船入手，若能求出AB的长度，则可求出乙船所用的时间，从而可求出甲船追赶上乙船用了多少时间.构造直角三角形，可过点A引CB的垂线，垂足是点E，得到两个直角三角形，利用边角关系可求出AB的长度. 解：过点A引CB的垂线，垂足是点E，又∠ACE=45，∠EAB=60. 在Rt△ACE中，∵sin∠ACE=，即sin45＝ ∴AE=AC.sin45=30=30 又∵CE=AE ∴CE=AE=30 在Ｒt△ＡEB中，∵cos∠BAE＝ ∴AB＝==60 又∵tan∠EAB= ∴EB=AEtan∠EAB=30tan60=30 ∴CB=CE+EB=30+30 从而，乙船所用时间：==4小时 甲船从C处追赶上乙船用时间是：4-2=2小时 甲船追赶乙船的速度是：CB=（30+30）=（15+15）千米/小时 三、作梯形的高，构造直角三角形模型 如图4-1，在梯形ABCD中过点A，D分别作梯形的高AE，DF可构造出两个三角形，利用坡度与正切函数的关系解决相应问题. 例6（中考预测题）：如图4-2，梯形ABCD是一堤坝的横截面示意图，坡角∠C=60，AB的坡度=，坝的上底宽AD=10m，斜坡CD长为8m，求其截面面积. 分析：要求梯形截面面积需要求出下底BC与梯形的高，所以过A，D作梯形的高AE，DF，构造两个直角三角形：Rt△AEB和Rt△DFC.放在这两个三角形中解决问题。

解：过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC垂足分别为点E，F，可得EF=AD=10. 在Rt△DFC中，∵sin∠DCF= ∴DF=DCsin∠DCF=8sin60=4 又∵∠CDF=30 ∴FC=DC=4 在Rt△ABE中，∵i==，又AE=DF=4 ∴BE=2AE=24=8 ∴S梯形ABCD=DF =4=（48+48） 所以，该堤坝的截面面积为（48+48）m. 显然，在解答直角三角形应用题时，构造适当的数学模型能提高同学们分析问题、解决问题的能力，大大简化运算，广大教师在复习迎考中应注意到这一点. 参考文献： ［１］郭奕津.新教材完全解读.吉林人民出版社，2022.11. ［２］薛金星.中学教材全解.陕西人民教育出版社，2022.12. ［３］占春生.教材动态全解.东北师大出版社，2022.11. ［４］新课标初中拓展强化导学练.江苏人民出版社，2022.12. ［５］中学数学教学参考.陕西师大出版社，2022.9. 8。