对一类乘法速算法的研究.pdf

第 1 页 共 2 页对一类乘法速算法的研究今天，张纳川同学在做题时，偶尔发现了末尾数字是5 的数的平方好像有 什么规律 . 他对几个简单的数进行了研究，得到： 152 = 225 = （1×2）×100+ 25；252 = 625 = （2×3）×100 + 25；352 = 1225 = （3×4）×100 + 25；452 = 2025 = （4×5）×100 + 25；552 = 3025 = （5×6）×100 + 25. 于是，他对以上现象进行了总结：末尾数字是5 的数的平方，最后两位都 是 25，百位数字和它前面的所有数字，就是原数的十位数字与比它大1 的数的 乘积. 如果把十位数字表示为m，这个两位数表示为“——m5 ”，那么， ——m5 2 = ————n25 其中， n = m (m + 1). 为了验证这个结论是否正确，他有用652、752进行了计算，得 652 = 4225 = （6×7）×100 + 25 752 = 5625 = （7×8）×100 + 25. 所得结果，与刚才的结论一致. 接着，他又对这个结论进一步进行了研究. 刚才所研究的末尾数字是5 的 数，都是两位数，如果是三位数行不行呢？他又举了几个例子： 1052 = 11025 = （10×11）×100 + 25； 1152 = 13225 = （11×12）×100 + 25； 2452 = 60025 = （24×25）×100 + 25； 8752 = 765625 = （87×88）×100 + 25； 9652 = 931225 = （96×97）×100 + 25. 验证结果说明，上述速算法在对于三位数也适用. 进一步，它又大胆地猜 想：对于任何一个多位数，这种速算法都适用，比如 11052 = 1221025 = （110×111）×100 + 25； 32652 = 10660225 = （326×327）×100 + 25； 299952 = 89700025 = （2999×3000）×100 + 25； 7018752 = 492628515625 = （70187×70188）×100 + 25. 他兴奋地把这个结论告诉了李老师. 老师听后，表扬了他勤于自学的精 神，肯定了他的结论是正确的. 同时指出：“严格地说，一个数学结论应该在 进行严密的逻辑证明后，才能说是正确的. 不过，现在你能所学的知识还不 够，以后在对它进行科学证明吧. ” 然后，李老师又提示纳川说：“你的研究还不够全面，看看能不能从另外 一个角度进行深入研究呢？”说着，李老师写下了一组算式：第 2 页 共 2 页21×29 = 609 = （2×3）×100 + 1×9； 33×37 = 1221 = （3×4）×100 + 3×7； 108×102 = 11016 = （10×11）×100 + 8×2； 1266×1264 = 1600224 = （126×127）×100 + 6×4. 纳川一看，觉得结果的形式与刚才他总结的十分相似，尤其是前半段. 它 又仔细看了一会儿，终于发现：这些算式中的两个因数，只有个位不同，前几 位都是相同的，结果中的后两位数字，就是两个因数中个位数字的乘积. 如果把两个因数分别表示为———ma 、———mb ，并且 a + b = 10 ，那么 ———ma ×———mb = ———nq 其中， n = m (m+1)，最后两位为 q = ab，位数不够的，前面补0. 没等老师开口，纳川又想到一个问题：如果a + b = 100，结果会怎样呢？ 他又举了几个例子： 128×172 = 22016 = （1×2）× 10000 + 28×72； 873×827 = 721971 = （8×9）×10000 + 73×27； 3456×3444 = 11902464 = （34×35）×10000 + 56 ×44； 19926×19974 = 398001924 = （199×200）×10000 + 26×74. 看来，当 a + b = 100时，以上结论仍然成立，最后四位为q = ab. 于是他又猜想：如果a + b = 1000 时，以上结论可能仍然成立. 为了验证这 一猜想，他又举了几个例子： 3126×3874 = 12110124 = （3×4）×1000000 + 126×874； 75658×75342 = 5700225036 = （75×76）×1000000 + 658×342； 146971×146029 = 21462028159 = （146×147）×1000000 + 971×29； 7052326×7052674 = 49737756219724 = (7052 ×7053)×1000000 + 326×674. 可见，当 a + b = 1000 时，以上结论可能仍然成立，只不过，最后六位数 字为 q = ab. 老师见纳川研究得这么投入，赞许地点了点头. 纳川趁势又作了更深一步的研究，对上述结论进行推广，得到：如果两个 位数相同的多位数相乘，如果这两个多位数的前几位数字完全相同，两者的后 几位数字的和为10、100、1000 等等，那么，它的结果前几位数字为相同部分 的数字与比它大1 的数的乘积，后几位为不同部分的乘积，所占位数分别为 2、4、6 等等（是不同部分的和中0 的个数的 2 倍）. 如果把两个因数分别表示为———ma 、———mb ，并且 a + b = 10、100或者 1000等 等（1 后面有 c 个 0），那么 ———ma ×———mb = ———nq 其中， n = m (m+1)，最后 2c位为 q = ab，位数不够的，前面补0. 同学们，你们认为纳川得到的这个结论正确吗？如果正确，请举例验证； 如果不正确，请举出反例 . 。