离散数学第8讲环和域.ppt

1,离散数学（二）,环和域,主要内容:,重点和难点:,一、环,环的定义： 设是一代数系统, +和是二元运算，若满足 (1) 是阿贝尔群(加法群)． (2) 是半群． (3) 乘运算对加运算+可分配，即对所有a,b,cA有 a (b + c)= a  b + a  c 和 (b + c) a = (b  a) + (c  a) 称代数结构为环(ring). 例1 (a) 是个环, 因为是加法群, 0是么元; 是半群, 乘法在加法上可分配 (b) 是个环, 这里Nk={0, 1, …, k-1}, k＞0, +k和×k分别是模k加法和模k乘法因为是阿贝尔群, 0是么元;是半群, 对任意元素a, b, c∈Nk, 有 又×k可交换, 所以,乘法在加法上可分配一、环,定理1：设为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,cR （1） a·0 = 0·a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)·b = a·(-b) = -(a·b) （3） (-a)·(-b) = a·b （4） a·(b-c) = a·b-a·c （5） (b-c)·a=b·a-c·a 其中,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。

证明(3) (-a)·(-b) +(- a)·b = (-a) ·[(-b) + b] = (-b)·0=0 (a·b) + (- a)·b =[a+(-a)]·b = 0·b=0 所以 (-a)·(-b) = a·b (4) a·(b-c) = a·[b+(-c)] = a·b + a·(- c) = a·b+[-(a·c) ] = a·b-a·c (5) (b-c)·a=[b+(- c)]·a= b·a + (-c)·a =b·a + (-c·a) =b·a-c·a,,二、环、整环,含零因子/无零因子环的定义： 是环, a, b∈R,若 a≠0且b≠0,但是a·b=0, 则称是含零因子 环, a、b称为零因子不含零因子的环称为无零因子环 为无零因子环∀a, b∈R,a≠0且b≠0时必有a·b≠0 即a·b=0时，有a=0或b=0 定理2：环是无零因子  满足可约律 证明：(1) 必要性：∀a, b, c∈R, 且a≠0，若a·b=a·c, 则有 a·b-a·c=0, a·b-a·c=a·b+a·(-c)= a·(b-c)=0 由于无零因子，则b=c , 可见满足可约律 (2) 充分性：∀b, c∈R, b·c=0, 证明b=0或c=0。

如果b·c=0且b≠0，那么b·c=b·0，根据可约律可得c=0；如果b·c=0且c≠0，那么b·c=0·c，根据可约律可得b=0 可见环无零因子 二、环、整环,整环的定义： 是环, (1) 若R上运算·可交换的, 称〈R, +, ·〉是可交换环; (2) 若R关于运算·有么元，称〈R, +, ·〉是含么环; (3) 如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环 例2 (a) 是整环因为·可交换, 1是乘法么元,可约律成立二、环、整环,整环的定义： 是环, (1) 若R上运算·可交换的, 称〈R, +, ·〉是可交换环; (2) 若R关于运算·有么元，称〈R, +, ·〉是含么环; (3) 如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环 例2 (b) 不是整环,因为3×62=0, 3和2是零因子但是整环，N7= {0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明,,反证：假如b≠c,不妨设bc,存在整数i, j使得 ab=7i+r， ac=7j+r (0j) 两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0a7, 0b-c7，所以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。

三、域,域的两个定义： 如果是整环, |F|＞1,是群,则是域(定义I) 域也可以如下定义(定义II)： (1) 是阿贝尔群， (2) 是阿贝尔群， (3) 乘法对加法可分配 例如 、都是域； 不是域(因为不是阿贝尔群)三、域,域的两个定义的等价性： 由整环定义容易得出，定义I 定义II 下面证明定义II 定义I： (1) F-{0}≠Ø知|F-{0}|0,即|F|1； (2) 是阿贝尔群知是群； (3) 证明是整环 是环：是阿贝尔群；是半群；乘法对加法可分配； 是阿贝尔群,故F- {0}上·可交换,可知F上·可交换； 是阿贝尔群,可知含么元0； 是阿贝尔群,F-{0}关于 ·封闭,即∀x,y∈F-{0}有xy∈F-{0}, 即∀x,y∈F, x ≠0,y≠0,有xy≠0,也就是说 无零因子三、域,域一定是整环，但整环不一定是域 例如是整环但不是域，因不是阿贝尔群 定理2 有限整环必定是域 证明：设是一个有限整环，为了证明是域，依据域的定 义II, 只要证明是阿贝尔群 是整环，可知是半群，且含有么元，故A关于·封闭，可 结合，有么元，当然有A-{0}关于·封闭，可结合，有么元 因此只要说明∀x∈A,x-1存在即可。

因为A-{0}有有限个元素，设|A-{0 }|=n，所以x的阶k是阿贝尔群，故是一个域三、域,例3：是一个域, 当且仅当k是质数 证明：必要性(思路：已知是一个域，证明k是质数我们证 明其逆反命题：若k不是质数，则不是一个域) 若k不是质数,那么k =1或k =a·bk=1时,N1={0}只有一个元素故不是 域;k=a·b时,则a×kb=0,a、b是零因子,所以不是域 充分性(思路：在例1(b)中已证明是一个环，根据域的定义II，我们只需证明是阿贝尔群) 对Nk-{0}中任意元素a和b, a×kb≠0, 所以Nk-{0}对×k封闭； ×k是可结合； 运算×k的么元是1； ×k是可交换的； 对每一元素a∈Nk-{0}都存在一逆元三、域,例3续：证明对每一元素a∈Nk-{0}都存在一逆元 (反证法) 设b,c是Nk-{0}中任意两个元素,b≠c,现证a×kb≠a×kc 若a×kb=a×kc,则ab=nk+r,ac=mk+r 不妨设b＞c,于是n＞m,ab-ac = nk-mk a(b-c) = (n-m)k (1) 因a和(b-c)都比k小，而k又是质数,(1)式不可能成立这样就证明了若b ≠c, 则a×kb≠a×kc。

于是a和Nk-{0}中的k-1个数的模k乘法,其结果都不相同,但又必须等于{1 , 2, …, k-1}中的一个,故必存在一元素b,使a×kb=1这就证明了任意元素a 存在逆元作业： P222 习题6.8 1、3、13 、14,14,谢谢同学们!,。