随机变量序列的两种收敛.ppt

概率论与数理统计,第 五 章,§5.2随机变量序列的两种收敛性,概率论与数理统计,主要内容,一、依概率收敛,二、依分布收敛,,1、定义,在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面的极限关系式：,这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同在上式中以随机变量 代替 a 以便得到新的收敛概念本节假定所得到的随机变量都是定义在同一概率空间（ F ，P）上的其中,或等价于,一、依概率收敛,,,,设 为一列随机变量， 为一随机变量，,定义5.2,由定义可知，,,，或,则称随机变量序列 依概率收敛于 ，记作,如果 ，有,,,随机变量序列,依概率收敛和数学分析中的序列,收敛有很大的不同．,当我们说随机变量序列,依概率收敛于,是指对,如下事件,发生的概率，当n无限增大时，它无限接近于０．,而当我们说序列,,趋于0，是指当n无限增大时，,无限接近于０．,随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．,,,,,有了依概率收敛的概念，随机变量序列 服从大数定律就可以表达为,伯努利大数定律可以描述为,辛钦大数定律描述为,特别地，,,,,,,,例1、设 是独立同分布的随机变量序列，且,试证：,证：,，由切比雪夫不等式,,即,故,,,,,根据定义即证,2、性质,1）、若,则P,证：,，由,于是,则 中至,少有一个成立，即,即,这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作相等时，依概率收敛的极限是唯一的。

2）、设,是两个随机变量序列， a，b为常数，,若,且在g(x,y)在点（a,b）处连续，,证明略，方法类似于1）,则,3）、若,,,,二、依分布收敛,上面我们讨论了随机序列依概率收敛的概念及有关性质，现在我们要问：,那么它们相应的分布,如果已知,函数,之间有什么关系呢？,是否对,都有,成立这个猜测对不对？,,,例2、设,都是服从退化分布的随机变量，且,于是对,所以,成立又设,的分布函数分别为,则,显然，当,时，有,成立时，有,而当,,,这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率收敛于某个随机变量,相应的分布函数不一定在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的.,但是，如果再仔细观察一下这个例子，就可以发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F(x)的不连续点．,在F(x)的连续点．,当,时，它们的分布函数之间就有,成立．,,,是一列分布函数，如果对,成立，,并记作,定义,设,定义5.3,F(x)的每一个连续点x， 都有,则称分布函数列,弱收敛于分布函数F（x），,若随机变量序列,的分布函数,弱收敛于随机变量,的分布函数F（x）, 也称,按分布收敛于,，并记作,,,2.依概率收敛与弱收敛之间的关系,定理4.若随机变量列,依概率收敛于随机变量,，即,则相对应的分布函数列,弱收敛于分布函数F（x）即,证明 ：略。

注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛，但在特殊情况下，它却是成立的即,,,定理5.6 随机变量序列,这里,的分布函数，也就是退化分布,的充要条件为,,即,,,证明 ：略３.依概率收敛与按分布收敛间的关系,,（１）,（２）,,,,定理5.7 分布函数列,弱收敛于分布函数F(x)的,特征函数,充要条件是相应的特征函数列,收敛于F(x)的,,,,分布函数列的弱收敛是一个很有用的概念，但要判断一个分布函数序列是否弱收敛，有时很麻烦，而判定相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易。