高等代数-第4章多项式-4.6-重因式与重根.ppt

2020/11/2,高等代数,,定义1：,,,,,不可约多项式,称为,的k重因式,如果,而 2020/11/2,高等代数,要求,的重因式，只要把,式写出即可但我们还没有一般的方法把一个多项,的标准分解,式分解为不可约因式的乘积因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法为此目的要引入多项式导数的概念定义2：,,的一阶导数指的是多项式：,,（形式定义）,多项式,,,,2020/11/2,高等代数,,,, ,,,的k阶导数记为,多项式的求导法则：,,1、,,2、,,3、,,4、,2020/11/2,高等代数,定理1.6.1：,,,,,,,若不可约多项式,是,的k重因式（k1），则,是,式，特别多项式,的单因式不是,式证：,,,,,的k-1重因,的因,2020/11/2,高等代数,,,,,推论1：,,,,,,证：,,,,, ,2020/11/2,高等代数,,,,推论2：,,,,,,证：必要性由推论1立得推论3：,,2020/11/2,高等代数,,,推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式由定理1得：,,故,,2020/11/2,高等代数,于是：,,,,,,,,,,,,2020/11/2,高等代数,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2020/11/2,高等代数,,,,,,,,,,例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式,,在Q上的标准分解式。

2020/11/2,高等代数,解：,,利用辗转相除法求得：,,,,,由于,,,,,,,2020/11/2,高等代数,,,问题：,,,,2020/11/2,高等代数,一、多项式函数,,,,,,,,F中的根或零点作映射f：,为F上的多项式函数2020/11/2,高等代数,,,若,,则,二、余式定理和综合除法,,证：由带余除法：设,,则 2020/11/2,高等代数,问题1、,有没有确定带余除法：,,,,设,,,,,,中展开后比较方程两边的系数得：,,,2020/11/2,高等代数,,,,,,,,,,,,,,,2020/11/2,高等代数,,,,,,,,,,,,,,于是得,,,,的商式和余式解：由综合除法,,,,,,,,,,,,,,,,,因此,,2020/11/2,高等代数,,1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；,,,,,的方幂和2020/11/2,高等代数,,定理1.7.2（因式定理）：,,,,,证明：设,,,,,,,,,,,,以利用综合除法来判断其余数是否为零2020/11/2,高等代数,三、多项式的根,,,,,,的一个k重根有重根？,,,,,有重因式，但反之不对2020/11/2,高等代数,定理1.7.3（根的个数定理）：,,证明（用归纳法）：,,,,,,,,,,,2020/11/2,高等代数,证二：对零次多项式结论显然成立，,,数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不,定理1.7.4：,,,,,的值相等，则 。

证明：,,令,,2020/11/2,高等代数,,,,,,问题3、,,,是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项,,,2020/11/2,高等代数,作函数,,则,这个公式也称为Lagrange插值公式例1.7.3：求一个次数小于3的多项式,,使 解一（待定系数法）：设所求的多项式,,2020/11/2,高等代数,由已知条件得线性方程组：,,解之得,,解二（利用Lagrange公式）：,,2020/11/2,高等代数,利用Lagrange插值公式可得：,,,,问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？,2020/11/2,高等代数,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,多项式相等：即,,对应项的系数相同；,多项式函数相等：即,,,,,,,定理1.7.5：,相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等证明：,,,,,相同，于是对,2020/11/2,高等代数,故这两个多项式函数相等；,,,,,令,,,,此即 。