简谐振动的相位课件.ppt

§§15-1 简谐简谐振动振动F机械振动：机械振动：物物体在一定位置的体在一定位置的附近作来回往复附近作来回往复的运动的运动(周期性周期性或非周期性或非周期性)F成因成因：：物体的物体的惯性惯性和所受的和所受的回复力回复力 F简谐振动简谐振动: :物体距平物体距平衡位置的位移衡位置的位移(或角位或角位移移)随时间按余弦随时间按余弦(或或正弦正弦)函数变化函数变化一一.简谐振动的特征简谐振动的特征1.动力学特征动力学特征F胡克定律：胡克定律：物体物体所受弹性力与物所受弹性力与物体的位移成正比体的位移成正比而反向而反向即即----动力学特动力学特征征2.运动学特征运动学特征令令解得解得速度速度位移位移----简谐振动表达简谐振动表达式式加速度加速度即即----简谐振动的运动学特简谐振动的运动学特征征----简谐振动的振幅简谐振动的振幅, 物体离物体离开平衡位置最大位移的开平衡位置最大位移的绝对绝对值值----简谐振动的初相位简谐振动的初相位----简谐振动的相位简谐振动的相位----圆频率圆频率( (2 秒内的振动次秒内的振动次数数) ) 讨论：讨论：Ê由初始条件可确定由初始条件可确定A和和  ：：设设 t =0 时时，，Ë固有频率和固有周期：固有频率和固有周期：----周期和频率由振动系统本周期和频率由振动系统本身的性质所决定，与身的性质所决定，与A和和 无无关关 二二.谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法t =0：：t 时刻时刻参考圆参考圆逆时针旋转逆时针旋转O振幅矢量振幅矢量[例例1]用旋转矢量法讨论质点初始时用旋转矢量法讨论质点初始时刻位移为以下情况时谐振动的初相位：刻位移为以下情况时谐振动的初相位：A；；-A；；0，，且向负方向运动；且向负方向运动；-A/2，，且向正方向运动。

且向正方向运动解：解：由旋转矢量法得由旋转矢量法得或或 三三.相位差和相位的超前与落后相位差和相位的超前与落后设设相位差相位差----初相差与初相差与t 无无关关同频率同频率 时时Ê 即即----同同相相Ë 即即----反反相相Ì 即即----第二个谐振动超第二个谐振动超前第一个谐振动前第一个谐振动[例例2]如图的谐振动如图的谐振动x-t 曲线，试求曲线，试求其振动表达式其振动表达式解：解：由图知由图知设振动表达式为设振动表达式为t =0时时：：即即又又即即旋转矢量法旋转矢量法[例例3]质质量量为为0.01kg物物体体作作周周期期为为4s、、振振幅幅为为0.24m的的简简谐谐振振动动t=0时时, ,位位移移x=0.24m求求(1)谐谐振振动动表表达达式式；；(2)t=0.5s时时, ,物物体体的的位位置置和和所所受受的的力力；；(3)物物体体从从初初始始位位置置运运动动至至x=-0.12m处所需的最短时间处所需的最短时间解解：：(1)设振动表达式为设振动表达式为由由旋转矢量法得旋转矢量法得(2) t=0.5s:或或(3)[例例4]一一弹弹性性系系数数为为k的的轻轻弹弹簧簧, ,下下挂挂一一质质量量为为m的的砝砝码码。

开开始始时时用用手手托托住住砝砝码码, ,使使弹弹簧簧为为原原长长, ,放放手手后后砝砝码码开开始始振振动动证证明明砝砝码作谐振动码作谐振动, ,并写出振动表达式并写出振动表达式解：解：建立如图坐标系，原点为建立如图坐标系，原点为物体静平衡时位置，它距弹物体静平衡时位置，它距弹簧原长位置为簧原长位置为 y0在在y处时处时设设则则----得得证证即即设振动表达式为设振动表达式为由旋转矢量法得由旋转矢量法得t=0时时[例例5]如如图图系系统统，，已已知知物物体体质质量量为为m，，光光滑滑斜斜面面倾倾角角为为 , ,自自由由转转动动的的定定滑滑轮轮半半径径为为R, ,转转动动惯惯量量为为J, ,弹弹簧簧弹弹性性系系数数为为k开开始始时时物物体体静静止止, ,弹弹簧簧为为原原长长, ,重重物物下下滑滑后后开始振动开始振动1)证明重物作谐振动证明重物作谐振动, ,并并写出振动表达式写出振动表达式；；(2)求求重重物物下下滑滑的的最最大大距距离离, ,并并用用机机械械能守恒定律验证能守恒定律验证设系统处于静平衡时弹簧伸长设系统处于静平衡时弹簧伸长 x0取物体静平衡取物体静平衡位置为坐标原位置为坐标原点，沿斜面向点，沿斜面向下建立坐标系下建立坐标系解：解：(1)  物体物体振动振动可得可得----谐振谐振动动其解为其解为其中其中由旋转矢量法得由旋转矢量法得而而(2)物体下滑的最大距离为物体下滑的最大距离为由机械能守恒定律由机械能守恒定律四四.常见简谐振动常见简谐振动1.单摆单摆由转动定律有由转动定律有很小时有很小时有可得角谐振动表达式可得角谐振动表达式其中其中2.复摆复摆为角振幅为角振幅由转动定律有由转动定律有很小时有很小时有角频率角频率周期周期F单摆和复摆谐振动的频率由系单摆和复摆谐振动的频率由系统本身的性质决定统本身的性质决定 五五.谐振动的能量谐振动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例:  Ê弹弹簧簧振振子子的的动动能能和和势势能能是是随随时时间间(或或位位移移)而变化的而变化的讨论讨论: :Ë总的机械能保持不变总的机械能保持不变，，即即动能和势能动能和势能相互转化相互转化Ì谐振动系统的总能量与振幅的平方成谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比正比[例例6]一水平放置的弹簧振子，质量为一水平放置的弹簧振子，质量为m，，弹性系数为弹性系数为k，，当它振动时，在什么当它振动时，在什么位置动能和势能相等？它从该位置到达位置动能和势能相等？它从该位置到达平衡位置所需的最短时间为多少？平衡位置所需的最短时间为多少？解解：： (1)即即因此因此(2)F阻阻尼尼振振动动：：能能量量或或振振幅幅随随时时间间而而减减小的振动小的振动粘滞阻力粘滞阻力----阻尼系数阻尼系数§§15-2 阻尼振动阻尼振动 F物体在物体在回复力回复力和和阻力阻力的作用下有的作用下有令令----无阻尼时振子的固有圆频率无阻尼时振子的固有圆频率----阻尼因子阻尼因子特征方程为特征方程为特征根为特征根为1.弱阻尼弱阻尼：：  < <  0 0其解为其解为其中其中Ê阻阻尼尼振振动动的的振振幅幅Ae－－ββt随随时时间间而而衰衰减减。

ββ越大越大，，阻尼越大阻尼越大，，衰减越快衰减越快 Ë 周期性变化周期性变化----阻尼阻尼振动周期振动周期质点每连续两次通过平衡质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动所需时间间隔位置并沿相同方向运动所需时间间隔是相同的是相同的Ì阻尼振动不是谐振动，阻尼振动不是谐振动，也不是周期运动也不是周期运动2.过阻尼：过阻尼： >  > 0 0Ê  越大，振幅衰越大，振幅衰减越快减越快Ë阻尼过大时，在未到达平衡位置前，阻尼过大时，在未到达平衡位置前，能量就消耗完毕能量就消耗完毕临界阻尼临界阻尼 3.临界阻尼临界阻尼：：  = =  0 0----物体总能回物体总能回到平衡位置到平衡位置小结：小结：F对阻尼振动，物体都随对阻尼振动，物体都随t 的增大而的增大而趋趋于平衡位置于平衡位置临界阻尼状态下运动物临界阻尼状态下运动物体回到平衡位置所需时间最短体回到平衡位置所需时间最短过阻尼过阻尼　F自自由由振振动动：：振振动动过过程程中中，，除除弹弹性性力力(或或准准弹弹性性力力)和和阻阻尼尼力力外外，，无无其其它它维维持持振振动的外力动的外力(强迫力强迫力)F受受迫迫振振动动：：振振动动系系统统在在连连续续周周期期性性外外力力(强迫力强迫力)作用下发生的振动作用下发生的振动1.振动方程振动方程设周期性外力为设周期性外力为F0:强迫力力幅强迫力力幅:强迫力的角频率强迫力的角频率§§15-3 受迫振动受迫振动 共振共振　令令在弱阻尼时在弱阻尼时(  < <  0 0)，，方程的解为方程的解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解和谐振动和谐振动 合成的合成的Ê受受迫振动是由阻尼振动迫振动是由阻尼振动讨论：讨论：Ë阻尼振动随时间而衰减，至一定时刻阻尼振动随时间而衰减，至一定时刻受受迫振动达到稳定状态，此时系统作谐迫振动达到稳定状态，此时系统作谐振动振动稳态振动方程为稳态振动方程为----谐振动谐振动过渡状态过渡状态稳定状态稳定状态2.稳态振幅和初相位稳态振幅和初相位将将代入微分方程代入微分方程得得t=0时时可求得可求得讨论：讨论：Ê  >> 0 0或或  << 0 0，，受迫振动振幅较小受迫振动振幅较小Ë    0 0时，受迫振时，受迫振动振幅较大动振幅较大 3.共振共振F共共振振：：受受迫迫振振动动的的振振幅幅出出现现极极大大值的现象值的现象F共共振振圆圆频频率率：：共共振振时时周周期期性性外外力力(强迫力强迫力)的圆频率的圆频率求极值，令求极值，令共振时振幅共振时振幅讨论讨论: :Êββ越小越小,共振圆频率共振圆频率 共振共振越接近受迫振越接近受迫振动系统的固有圆频率动系统的固有圆频率 0，，共振时振幅共振时振幅也越大也越大，，共振现象越尖锐共振现象越尖锐可得可得圆频率圆频率Ë实际中实际中  不可能为零不可能为零，，即总有能量损即总有能量损失失，，而且振动越强而且振动越强，，损失越大损失越大。

因此因此  越小越小，，共振所达到的最大振幅也越共振所达到的最大振幅也越大大，，但不会达到无限大但不会达到无限大Tacoma大桥被风损坏的情景大桥被风损坏的情景视频视频 一一.同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1.代数法代数法设有两个谐振动设有两个谐振动§§15-4 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成由由得得2.旋转矢量法旋转矢量法 讨论讨论: :Ê合合振振动动仍仍然然是是简简谐谐振振动动，，其其频频率率与与分振动相同分振动相同Ë合合振振动动振振幅幅不不但但与与两两分分振振动动的的振振幅幅有关有关，，而且与相位差有关而且与相位差有关F 时时(同相同相)F 时时(反相反相)[例例7]已知两谐振动的曲线已知两谐振动的曲线(如图如图), ,它们它们是同频率的谐振动是同频率的谐振动, ,求它们的合振动方程求它们的合振动方程解：解：由图知由图知振动振动1在在t=0时：时：振动振动2在在t=0时：时：由旋转矢量法由旋转矢量法 二二.同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍设设Ê 时合振幅时合振幅 随随时间周期性缓慢地变化时间周期性缓慢地变化 作角频率近于作角频率近于 或或 的谐振动的谐振动Ë振动出现时强时弱的拍现象振动出现时强时弱的拍现象合振幅最大处合振幅最大处即两相邻振幅极大之间的相位差为即两相邻振幅极大之间的相位差为  :振幅变化周期振幅变化周期拍频拍频Ì A1追上追上A2最强最强最弱最弱 一一.相互垂直的同频率谐振动的合成相互垂直的同频率谐振动的合成设设§§15-5 相互垂直谐振动的合成相互垂直谐振动的合成两式平方后相加得两式平方后相加得----椭圆方椭圆方程程 Ê 2 2- -  1 1= =0 (0 ( 2 2 = =  1 1 = =  ) )：同相同相---直直线线F t 时刻质点离开平衡位置的距离为时刻质点离开平衡位置的距离为 ----振幅为振幅为 的谐振动的谐振动Ë 2 2- -  1 1= = ：反相反相Ì 2 2- -  1 1= = /2 /2：----正椭正椭圆圆设某一时刻设某一时刻:则则 t后后:----质点在椭圆上顺时针旋质点在椭圆上顺时针旋转转Í 2 2- -  1 1=-=- /2 /2：质点在椭圆上逆时针旋转质点在椭圆上逆时针旋转F A1=A2时椭圆变为圆时椭圆变为圆二二.相互垂直的不同频率谐振动合成相互垂直的不同频率谐振动合成李萨如图形李萨如图形。