线性定常连续系统状态方程的解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性定常连续系统状态方程的解,求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分析的主要方法本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项,(,u,(,t,)=0),的作用,满足方程解的齐次性研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的,自由(自治)运动,所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的,强迫运动,线性定常齐次状态方程的解,什么是微分方程的齐次方程?,齐次方程就是指满足解的,齐次性,的方程，即若,x,是方程的解，则对任意非零的实数,a,a,x,亦是该方程的解。

所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的,方程,x,=,Ax,齐次状态方程满足初始状态,的解,也就是由初始时刻,t,0,的初始状态,x,(,t,0,),所引起的无输入强迫项(无外力)时的,自由运动,对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有,级数展开法,拉氏变换法,1.,级数展开法,在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程,在初始时刻,t,0=0,的解该方程中,x,(,t,),为标量变量,a,为常数由常微分方程理论知,该方程的解连续可微因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数将所设解代入该微分方程,可得,如果所设解是方程的真实解,则对任意,t,上式均成立因此,使,t,有相同幂次项的各项系数相等,即可求得,令,x,(,t,),的解表达式中,t,=0,可确定,q,0,=,x,(0),因此,x,(,t,),的解表达式可写为,上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解为此,设其解为,t,的向量幂级数,即,x,(,t,),=,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,q,k,t,k,+,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数向量。

将所设解代入该向量状态方程,x,=,Ax,可得,q,1,+,2,q,2,t,+,3,q,3,t,2,+,k,q,k,t,k-1,+,=,A,(,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,q,k,t,k,+,),如果所设解是方程的真实解,则对任意,t,上式均成立因此,使,t,有相同幂次项的各项系数相等,即可求得,若初始时刻,t,0,=0,初始状态,x,(0),=,x,0,则,可确定,q,0,=,x,(,0,),=,x,0,因此,状态,x,(,t,),的解可写为,该方程右边括号里的展开式是,n,n,维矩阵函数由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为,利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：,x,(,t,)=e,A,t,x,0,2,拉氏变换法,若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程,的解对该齐次状态方程,x,=,Ax,设初始时刻,t,0,=0且初始状态,x,(,t,)=,x,0,对方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,),于是可求得该齐次状态方程的解,x,(,t,),的拉氏变换为,X,(,s,)=(,s,I,-,A,),-1,x,0,对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为,x,(,t,)=,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,x,0,下面讨论如何求解拉氏反变换,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,。

主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中对标量函数,我们有,将上述关系式推广到矩阵函数则有,其中,e,At,称为时间,t,的矩阵指数函数，并有,因此,基于上述,(,sI,-,A,),-1,的拉氏反变换,该齐次方程的解为,x,(,t,)=,L,-1,(,s,I,-,A,),-1,x,0,=,e,At,x,0,上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致若初始时刻,t,0,0,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:,状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态,x,(,t,0,),从初始时刻,t,0,到时刻,t,系统运动状态的转移,其转移特性和时刻,t,的状态,完全由矩阵指数函数 和初始状态,x,(,t,0,),所决定为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:,(,t,)=,e,At,因此,有如下关系式,x,(,t,)=,(,t,),x,0,=,(,t,-,t,0,),x,(,t,0,),由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系,(,t,)=,L,-1,(,sI,-,A,),-1,齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。

由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到,t,时刻的状态的转移刻划的,如图,3-1,所示图,3-1,状态转移特性,当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键解,(1),首先求出矩阵指数函数,e,At,其计算过程为,例,试求如下状态方程在初始状态,x,0,下的解,(3),状态方程的解为,(,2,),计算矩阵指数函数,e,At,线性定常连续系统的状态转移矩阵,下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:,基本定义,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,1.,基本定义,定义,对于线性定常连续系统,x,=,A,x,当初始时刻,t,0,=0,时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:,(,t,),=,A,(,t,),(,t,),|,t,=0,=,I,的解,(,t,),为线性定常连续系统,x,=,A,x,的状态转移矩阵这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述,，更好地刻划系统状态运动变化的规律,。

2.,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,由矩阵指数函数的展开式和,状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质,(,(,t,),为方阵,A,的状态转移矩阵,),1),(0)=e,A,0,=,I,2),e,A,(,t,+,s,),=,e,At,e,As,，,(,t,+,s,)=,(,t,)(,s,),式中,t,和,s,为两个独立的标量自变量,证明,由指数矩阵函数的展开式,有,3),(,t,2,-,t,1,),-1,=(,t,1,-,t,2,),4),对于,n,n,阶的方阵,A,和,B,下式仅当,AB,=,BA,时才成立,e,(,A,+,B,),t,=,e,At,e,Bt,5),6),(,t,),n,=,(,nt,),7),(,t,2,-,t,1,),(,t,1,-,t,0,)=,(,t,2,-,t,0,),8),由状态转移矩阵的意义,有,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,1,),x,(,t,1,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(,t,0,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(,t,0,),而,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,0,),x,(,t,0,),因此，,性质,(,7,),表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如图所示。

系统的状态转移,例,求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵解,：,对于该系统,求得状态转移矩阵为,由于,-1,(,-t,)=(,t,),所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为,非齐次状态方程的解,当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:,x,=,Ax,+,Bu,该状态方程在初始状态,下的解,也就是,由初始状态,x,(,t,0,),和输入作用,u,(,t,),所引起的系统状态的运动轨迹,下面用两种求解常微分方程的方法,直接求解法,拉氏变换法,讨论非齐次状态方程的解,以及,解表达式的意义,输出方程的解,1.,直接求解法,将状态方程,x,=,Ax,+,Bu,移项,可得,x,-,A,x,=,B,u,将上式两边左乘以,e,-,At,则有,e,-,At,x,-,A,x,=,e,-,At,B,u,即,d(,e,-,At,x,)/d,t,=,e,-,At,B,u,在区间,t,0,t,内对上式积分,则有,上式便是非齐次状态方程的解当,t,0,=0,时,解,x,(,t,),又可记为,即,因此,若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可分别记为,2.,拉氏变换法,将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,)+,BU,(,s,),即,X,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,0,+,BU,(,s,),其中,X,(,s,),和,U,(,s,),分别为,x,(,t,),和,u,(,t,),的拉氏变换。

对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有,上述求解的关键为等式右边第二项下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则设,W,1,(,s,),和,W,2,(,s,),分别为原函数,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的拉氏变换,则,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的卷积的拉氏变换为,结果与直接求解法完全相同对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有,3.状态方程解的意义,由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成第一个部分是,由初始状态所引起的自由运动,它是系统的,初始状态对系统状态的转移的影响,与初始时刻后的输入无关,称为状态的,零输入响应,第二个部分是,由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积因此,它与输入有关,与,系统的初始状态无关,称为状态的,零状态响应,状态方程的解表明,系统在任意时刻的状态取决于系统的初始状态,x,(,t,0,),和从初始时刻,t,0,以来的输入如果人为地选择输入信号(施以控制),就可以使系统状态在状态空间中获得所期望的状态轨线或,或,4.输出方程的解,由非齐次状态方程的解,x,(,t,),可得输出方程,y,=,Cx,+,Du,的输出响应为,或,线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。

第一个部分是由初始状态所引起的自由运动,第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动第三个部分是由直联项引起的前馈响应例,已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程的解解,在例,3-1,中已求出状态转移矩阵,(t),为,于是,系统状态方程在阶跃输入,u,(,t,)=1(,t,),下的解为,系统的脉冲响应,当系统的输入为单位脉冲函数时,系统在零初始状态时的输出响应称为脉冲响应单位脉冲函数,(,t,),可用下式来定义:,下面讨论线性定常系统的脉冲响应由线性定常连续系统,的输出,y,(,t,),的表达式,可得系统的脉冲响应,H,(,t,),即为,由卷积分的性质可得,上式的积分结果为,H,(,t,)=,C,e,At,B,=,L,。