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1华师大版九年级数学知识点第 22 章 二次根式1．二次根式表示非负数 a 的算术平方根，也就是说， 是一个非负数，它的平方等于 a，即有：)0(a )0(a（1） （2） )0(2a形如 的式子叫做二次根式)(二次根式的性质： )0(2a2．二次根式的乘法 ：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘 ),0(baba3．积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积（主要用于二次根式的化简） ),(4．二次根式的除法：两个二次根式相除，将它们的被开方数相除 )0,(bab1． 商的算术平方根：商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商（主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母）)0,(bab2． 最简二次根式：被开方数中不含分母或分母中不含二次根式且被开方数中所有因式的幂的指数都小于 28．二次根式化简主要包括两方面（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数） ，可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来9．同类二次根式：像 与 ， 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式。

32 a32 a4二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并第 23 章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程一般形式：是已知数， 其中 分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项cbaxa,(02)0acba,2．一元二次方程的解法：（1）直接开平方法 （2）因式分解法（3）配方法（4）公式法 42ac 23．根的判别式， acb42当 时，方程有两个不相等的实根当 时，方程有两个相等的实根当 时，方程没有实数000根韦达定理： axx2121,4.列一元二次方程解应用题时，要注意对数量关系的抽象和分析，得到方程的解之后，必须检验是否符合题意第 24 章 图形的相似1．相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形2．成比例线段：对于四条线段 如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，,dcba如 ，那么这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段）也称这四条线段成比例):(dcbad 3．比例的基本性质（1）如果 ，那么 ad=bc （2）如果 ad=bc,（a,b,c,d 都不等于零） ，那么 dcba4． （1）如果 ，那么 （2 ）如果 ，那么dcbadcba dcbacba5．相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。

（也是判断两个多边形相似的方法）6．相似三角形 （1）相似用“∽”来表示（2）△ABC∽△A＇B＇C＇，对应顶点要写在对应位置上3）如果记 ，那么这个比值 k 就是这两个相似三角形的相似比k'''（4）全等三角形是相似三角形的特例 （相似比 ）17．相似三角形的判定（ 1） 如 果 一 个 三 角 形 的 两 个 角 分 别 与 另 一 个 三 角 形 的 两 个 角 对 应 相 等 ,那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 2） 如 果 一 个 三 角 形 的 两 条 边 与 另 一 个 三 角 形 的 两 条 边 对 应 成 比 例 ,并 且 相 应 的 夹 角 相 等 ,那 么 这 两 个三 角 形 相 似 3） 如 果 一 个 三 角 形 的 三 条 边 与 另 一 个 三 角 形 的 三 条 边 对 应 成 比 例 ,那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 8． 相 似 三 角 形 的 性 质（ 1） 相 似 三 角 形 的 对 应 高 的 比 等 于 相 似 比 2） 相 似 三 角 形 的 对 应 中 线 、 对 应 角 平 分 线 的 比 等 于 相 似 比 。

3）相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 4） 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 9． 中 位 线（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半2）三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的 3（3）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半10．画相似图形位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似这一点叫做位似中心位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比3第 25 章 解直角三角形1．锐角三角函数（1）在 Rt△ABC 中∠A 的正弦： ∠A 的余弦：斜 边的 对 边Asin 斜 边的 邻 边Acos∠A 的正切： ∠A 的余切：的 邻 边的 对 边ta 的 对 边的 邻 边t（2）00 时，图像开口向上，函数有最小值当 x0 时，y 随 x 的增大而增大当 a0 时，y 随 x 的增大而减小3． 的图像与性质)0(2ak（1） 由 向上（或向下）平移 k 个单位得到的。

)0(2ax（2）对称轴是 y 轴，顶点坐标是（0,k） 3）当 a>0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=0 时，y=k当 x0 时，y 随 x 的增大而增大当 a0 时，y 随 x 的增大而减小4． 的图像与性质)0(2ah(1) 由 向左（或向右）平移 h 个单位得到的)0(2ax（2）对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，0） 3）当 a>0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=h 时，y=0当 xh 时，y 随 x 的增大而增大当 ah 时，y 随 x 的增大而减小5． +k（a 0）的图像与性质2)(h（1） （a 0）由 （a 0）先向右（或向左）平移 h 个单位，再向上（或向下）k2平移 k 个单位得到的2）对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k） 3）当 a>0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=h 时，y=k当 xh时，y 随 x 的增大而增大当 ah 时，y 随 x 的增大而减小4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k（a 0）中 k 的值；左右平移，只影响 h2)(hxy的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。

6．通过配方把二次函数 化成 +k（a 0）的形式，即)0(2acbxy 2)(xyacbxay4)2(（1）对称轴 ，顶点坐标（ ）abc,225（2）当 a>0 时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x= 时，y= 当 x 时，y 随 x 的增大而增大ab2当 a 时，y 随 x 的增大而减小ab27．最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a＞0 有最小值，a＜0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式1）一般式： ，给出三点坐标可利用此式来求)0(2acbxy（2）顶点式： ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求)(kh（3）交点式： ，给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点 、 时)(21xy )0,(1x),2可利用此式来求9．抛物线与直线的交点一次函数 与二次函数 交点的个数由方程组)0(abxy )0(2acbxy的解得个数决定当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。

caxy2当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点当方程组无解时，两函数图像没有交点10．二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数 ，当 y=0 时，二次函数就转化为一元二次方程)0(2acbxy)0(2acbxa（2）抛物线与 x 轴交点的个数就由一元二次方程 中的 决定)0(2acbxaacb42若 ，抛物线与 x 轴有两个交点，方程 有两个不等的实根，这两个与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根若 ，抛物线与 x 轴有一个交点，方程 有两个相等的实根，此时一元二次0 )0(2acbxa方程的根就是抛物线顶点的横坐标若 ，抛物线与 x 轴没有交点，方程 无实根， 抛物线在 x 轴上方， )(2 0a，抛物线在 x 轴下方0a11．二次函数 与一元二次不等式之间的关系)0(2 acby6若 ， 的解集为 ；002cbxay )(,2121xx的解集为 若 ， 的解集为 ；2cxy2,1x无解0ba若 ， 的解集为 x 可取任意实数02cxy无解第 28 章 圆1．圆的认识（1）当一条线段 OA 绕着它的一个端点 O 在平面内旋转一周时，它的另一个端点 A 的轨迹叫做圆。

或到一个定点的距离等于定长的点的集合这个以点 O 为圆心的圆叫作“圆 O”，记为“⊙O” 2）线段 OA、OB、OC 都是圆的半径，线段 AC 为直径3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段 AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦4）圆上任意两点间的部分叫做弧如曲线 BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为Error!、 Error!，其中像弧Error!这样小于半圆周的圆叫做劣弧像弧Error!，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角如∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角2．圆的对称性（1）在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等2）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等3）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等4）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°（直角） 。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等5．点与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，点圆心 O 的距离为 d，则（1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内 ddrdr6． （1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点3）一个三角形的外接圆是唯一的77．直线与圆的位置关系（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．如上图，设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出：若 。