高等数学曲面积分与曲线积分重点难点.doc

第十二章 　 曲线积分与曲面积分一.基本规定1.对的理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义2.纯熟掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算措施，理解两类曲线积分和两类曲面积分之间互相关系3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件掌握二元函数全微分方程的求解措施4.掌握高斯公式及应用，理解斯托克斯公式，懂得通量与散度,环流量与旋度5.会用曲线积分和曲面积分求某些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）二.重要内容（见第二页至第十三页)1． 重要内容联系（框图)2． 曲线积分和曲面积分（表格)3． 曲线和曲面积分的解题环节(框图)4． 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式(表格)5． 在平面区域上曲线积分与途径无关的(四个等价）条件(框图)6． 全微分方程（框图）7． 注解(注一至注十）（表格）三．考点与难点考点：1．两类曲线积分化为定积分的计算措施及两类曲面积分化为二重积分的计算措施 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，对的灵活地应用格林公式和高斯 公式3.应用平面曲线积分与途径无关的四个条件。

４．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义,将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解难点：应用各类型的积分之间关系,选择合适的(可计算的,更以便的）积分计算四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例至例五.部分习题题解(见第二十二页至第三十页）　 习题(一)至习题(十五)六.试卷（见第三十一页至第三十八页)试卷、试卷、试卷　 　 七．试卷答案及题解(见第三十九页至第四十六页) 　 　试卷、试卷、试卷答案及题解二.重要內容 　 　 　 　　 1重要内容联系(框图）曲面积分联系曲线积分斯托克斯公式（空间上） 意义推广特殊联系高斯公式格林公式（平面上）联系意义散度、通量参见注解之注九旋度、环流量参见注解之注十（物理意义）（化为）二重积分（化为）三重积分在平面区域上曲线积分与途径无关的（四个等价）条件应用 对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分联系联系对弧长的曲线积分ﻩ 两类曲面积分之间联系公式两类曲线积分之间联系公式求全微分函数联系联系联系联系ﻩ直接法参见解题环节及注解之注八直接法参见解题环节及注解之注七直接法参见解题环节及注解之注四直接法参见解题环节及注解之注三 全微分方程（化为）定积分（化为）二重积分2．曲线积分和曲面积分(表格）(A）两类曲线积分及互相之间联系类型 积分类型内容ﻩ对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义平面:空间:(光滑曲线弧）───积分弧段(在上有界)───被积函数(在上有界)───被积函数参见注解之注一(第１２页) 平面：空间：类似定义:、。

光滑有向曲线弧)───积分弧段(在上 有界)───被积函数(在上 有界)───被积函数参见注解之注二（第12页）几何意义及物理意义平面：；空间:(1) 当被积函数为１时是曲线弧或的弧长2) 平面:当非负,为与轴平行的柱面侧面积[柱面底是,高是]3) 线密度为被积函数的曲线弧或的质量变力沿有向曲线所作的功变力沿有向曲线所作的功向量形式,,的定义见左侧 ,的定义见左侧性质1. (为常数）２.(）3.设在上,则特别地 １．（为常数）2. （,与的方向一致）3．　是的反向曲线弧,则解题措施1． 直接法:化为定积分参见解题环节及注解之注三(第７页、第12页）2． 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题措施之直接法及公式法参见解题措施及两类曲线积分之间联系(本页)1， 直接法:化为定积分参见解题环节及注解之注四(第7页、第1２页)当曲线积分与途径无关,选一条更以便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线)简化计算参见曲线积分与途径无关的条件(第10页）2， 联系法:化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题措施之直接法参见解题措施及两类曲线积分之间联系(本页)3， 公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算）,若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。

参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页）两类曲线积分之间的联系（平面上）（空间上)是有向曲线在点处的单位切向量或（Ｂ)两类曲面积分及互相之间联系类型 内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义(光滑曲面)───积分曲面（在上有界）───被积函数参见注解之注五(第1２页）光滑有向曲面)───积分曲面(在上有界)───被积函数参见注解之注六（第１3页）几何意义及物理意义当为空间薄片的面积面密度为的空间薄片的质量流速的流体（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面的通量(流量）向量形式性质1.　 　(为常数）2.３．在上，则特别地1.(为常数)2．(与的方向一致)3．是取相反侧的有向曲面,则解题措施1． 直接法:化为重积分参见解题环节及注解之注七(第８页、第13页)2． 联系法：化为对坐标的曲面积分,再应用对坐标的曲面积分解题措施之直接法及公式法参见解题措施及两类曲面积分之间联系（本页）3． 公式法：对封闭的积分曲面,应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面,补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分,(转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算)1． 直接法：化为重积分参见解题环节及注解之注八（第8页、第1３页)。

2． 联系法：化为对面积的曲面积分,再应用对面积的曲面积分解题措施之直接法及公式法参见解题措施及两类曲面积分之间联系（本页)3． 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分,(转化后的重积分及补上的曲面积分要容易计算）两类曲面积分之间的联系是有向曲面在点处的单位法向量或3．曲线积分和曲面积分的解题环节(框图) 　　　 　 (A)曲线积分（直接法)曲线积分解题环节 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分第一步曲线弧在轴投影为零（曲线弧：其中=常数）（为中之一）对坐标的曲线积分为零不得选用为积分变量曲线弧起点和终点分别相应于参数曲线弧两端点相应于参数第二步曲线弧在轴投影非零拟定的变化范畴平面上)（空间上）第三步拟定积分元素 （平面上） (空间上) （平面上） (空间上)第四步曲线弧上的被积函数化成有关t的函数第五步定积分的计算式 　 　 　 　 　 　　(B)曲面积分（直接法)曲面积分解题环节第三步拟定积分元素对坐标的曲面积分对面积的曲面积分第一步曲面在坐标面上投影为零对坐标的曲面积分为零选用其他坐标面第二步曲面在坐标面上投影非零拟定曲面在坐标面上的投影区域（不妨坐标面为平面）以投影区域作为积分区域由曲面的方向拟定曲面在坐标面上投影的正负号。

以投影区域作为积分区域第四步曲面上的被积函数化成有关积分区域上的函数第五步二重积分的计算式4．格林公式,高斯公式及斯托克斯公式(表格)类型内容格林公式高斯公式斯托克斯公式定理设闭区域由分段光滑的曲线L围成,函数及在上具有一阶持续偏导数,则有设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数在上具有一阶持续偏导数,则有设为分段光滑的空间有向曲线,函数在曲面（连同边界）上具有一价持续偏导数，则有公式其中是的取正向的边界曲线这里是的整个边界曲面的外侧是上点处的法向量的方向余弦是觉得边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则向量形式是在点处的单位法向量 或的定义可见左侧是在点处的单位切向量或意义几何应用设由闭曲线所围成的区域D的面积为　　 物理意义向量场通过有向闭曲面外侧的通量（流量）等于向量场的散度在有向闭曲面围成区域上的三重积分参见（注九)物理意义向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量(流量)　 　　参见(注十)５.在平面区域上曲线积分与途径无关的（四个等价)条件(框图)1．定义：对于区域内任意指定的两个点以及内从点 到点的任意两曲线，等式恒成立 等价2．沿区域内任意闭曲线的曲线积分为零。

即在单流通域内具有一价持续偏导数 等价，在单连通域内具有一价持续偏导数等价在内为某一函数的全微分即存在使，在单连通域内具有一价持续偏导数牛顿－莱布尼兹公式：其中为途径的起点，为终点 在区域内具有一价持续偏导数6.全微分方程（框图)NoYes 存在(称为积分因子)存在， 使全微分方程求解所拟定的隐函数是方程的通解.(是任意常数)全微份积分法的求法求法一,求法二牛顿－莱布尼兹公式:　　或这里均属于内7．注解（注一至注十)（表格)注一ﻩ上任意插入。