二倍角地正弦余弦正切公式.docx

二倍角的正弦余弦正切公式教学目标1. 会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.（重点）2.掌握二倍角公式及其变形公式的应用.（难点）3.二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系.（易混点）［基础•初探］教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材％〜P133例5以上内容，完成下列问题.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2asin2a=2sinacosaGaC2.2COs2a=COsa—SinaT2a2tanatan2a=丄21—tana2.余弦的二倍角公式的变形1 3.正弦的二倍角公式的变形sin2asinacosa=：sin2a,cosa=2sina2(1) 1士sin2a=(sina士COSa).1.判断（正确的打“，错误的打“X”）（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.（）⑵存在角a，使得sin2a=2sina成立.（）⑶对于任意的角a,cos2a=2cosa都不成立.（）解：（1）X.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二.nn倍角的正切公式，要求a+kn(k€Z)且a^士&+kn(k€Z),故此说法错误.(2)V.当况=kn(k€Z)时，sin2a=2sina.(2) X.当cosa=1~时，cos2a=2COSa.【答案】(1)X(2)V(3)X12品亠2X肾1(1)cos42—sin(2)sinnn24cos24cosn12；31—2sin123750⑷tan1501—3tan2150°2tan150°已知cosa=3，则cos2a等于灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得解：(1)COS44a2—sin~2cos2寺-sincos2=COSa.⑵原式=，2sinnnn24COS24•cos乃1=qsinn1^=42sinnn乜•COs祛1=-sin4n16=8.二原式=⑶原式=cos(2x750°)=cos1500=cos(4x360°+60°)=cos60°=2.1二原式=2"22⑷原式=2tan150°+1—3tan150°2tan150°1—tan2150°=12tan150=tan(2x150°)1=1tan300°=tan(360°—60°)1「3''tan60°—3'二原式=—~3.二倍角公式的灵活运用:（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sin1.acosa=sin2a,sinacosa=2sin2a,sin2a2.22tanacosa=,cosa—Sina=cos2a,2=2sina'1—tanatan2a.⑵公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有:acosa=(sin1士sin2a=sin2a+cos2a士2sin2cosa),221+cos2a=2cosa,COS1+cos2a.2sin1—cos2a［再练一题］1. 求下列各式的值:12；(1)sin2tan150°⑵1—tan2150°⑷cos20°cos40°cos802sin解:(1)原式=nnn存0S刀弘石12=—厂=4.⑵原式=tan(2X150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=—3.⑶原式=cos10°—.3sin10sin10°cos10°122cos10匕sin10°cos10sin20⑷原式=2sin404(sin30°cos10°—cos30°sin10°)2sin10°cos10°4sin204.2sin20°・cos20°・cos40°・cos80°2sin20°°・cos40°・cos80°4sin20°2sin80°・cos80°_sin160°_18sin20°=8sin20°=8.利用二倍角公式解决求值问题例(1)已知sina=3cosa，那么tan2a的值为(A.2B.—2C.D.n12n⑵已知sin百+a=了，贝ycos匚-—2a的值等于(<6丿3<3丿A.B.C.D.⑶(2016-天津高一检测）已知3cosa=—4,sin3'第二象限角，①求sin2a的值;②求cos(2(1)可先求tana,再求tan22⑵可利用3n—2a=2in—冗冗/、no--a及2—a=小—7-+aI3J32<6丿a;求值;a,COSB,再利用两角和的余弦公⑶可先求sin2a,cos2式求COS(2a+B).解:(1)因为sina=3cos所以tana=3,2X33所以32a=鳥&=-4.⑵因为COS<3sin_2=sin1=3,所以COS2%—2a<3=2cos2oc—179.【答案】（1）D（2）C所以sina=—'1—COS23L4厂83⑶①因为a是第三象限角，COSa=—4,所以sin2a=2sinacosn②因为(3€.—,n,sin所以cos2—sin3=53，2cos2a=2cos91a—1=2x16—1=8,所以cos(2a+3)=cos2acos3—sin2asin31=-x8〔V513亿2V5+册—I一x——一38324直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin(或s)同角三角函数的关系、(或sinsina(或cosa)、cosa(或Sina)一倍角公式、sin2a(或cos2a).sina(或cosa)二倍角公式、cos2a=1—2sin2a(或2cos2a—1).⑶sina(或cosa)角三角函数的关系、cosa(或sina),〔tana—一倍角公式―、tan2a.［再练一题］G、J5(1)已知a€,n,sina=l，贝Usin2a=,92丿5cos2a=,tan2a=./rn/rn1口f、n+a<4丿sinA—a=6^a€2，兀,l厶J⑵已知sin求tan4a的值.n解：(1)因为a€—,n,sin，5,所以cosa=5所以sin2a=2sinacosa=2x¥x5254P=-5,cos2a=1—2sin如=3,5丿5,tan2sin2a4cos2a3则已知条件可化为/、n/、n,+acos,+a<4丿<4丿sin16,即2sin*；”1J'=6,所以sin1=3,所以cos21=3.因为a€,所以2a€(n,2n),从而sin2'1—cos22a所以tan2sin2acos2a=—22,434【答案】-55-3(n—-a=sinc—,+ai4)]2<4/(2)因为sin=cos故tan42tan2a4^/24/21—tan22a~1—(—22)2—7利用二倍角公式证明例求证：(1)cos2(A+B)—sin2(A—B)=cos2Acos2B;22(2)cos6(1—tan6)=cos26.(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幕扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幕扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幕后向左边形式转化.(1)左边=1+cos(2A+2B)21—cos(2A—2B)2cos(2A+2B)+cos(2A—2B)=21=^(cos2Acos2B—sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2E)=cos2Acos2B=右边,二等式成立.⑵法一：左边=cos261—sin$6cos2622=cos6—sin6=cos26=右边.法二：右边=cos26=cos26—sin26=cos261—sin26"cos26」=cos26(1—tan26)=左边.证明问题的原则及一般步骤:(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.［再练一题］3.证明：1+sin2a112cosa+sin2a-2tana+2.aCOSa证明：左边=22sina+cosa+2sin22cosa+2sinaCOSa(Sina+COSa)2cosa(sina+cossina+cos2cosa1=qtan1a+2=右边.所以2严：1=尹na+2成立.倍角公式的灵活运用1+sina—cosa1+COSa+sina0、,探究1在化简+时，如1+sina+cosa1—COSa+Sina何灵活使用倍角公式？2.；2cosa+sin2a原式=2cos2sin2sina—cos2a2+sin2cosa2COSa2COSa2+sinra.a—sin—+cos2I2a2+sincoscossina2a2sin1aycos_=2aSina2探究2如何求函数f(x)=2cos2x—1-23•sinxcosx(x€R的最小正周期?【提示】求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)=(2cos2x—1)—占x(2sinxcosx)=cos2x—/3sin2x=2sin卡—2x，知其最i6丿小正周期为n.求函数f(x)=53cos2x+3sin2x—4sinxcosx,x€7n24的最小值，并求其单调减区间.化简f(x)的解析式|宀|f(x)=Asin(3X+©)+Bt®x+©的范围-I求最小值，单调减区间「解:f(x)=53•1+cos2x21—cos2x2—2sin2x=33+2,3cos2x—2sin2x\[31"ocos2x—~sin2x、、、22)3审+4sinnsin—cos2x—cos^sin2x33寸3+4sin-3—2x]=3y/3—4sin2x—2丿I二Sin严一了*殳血nn7n所以当2x—§=，即x=牙时,f(x)取最小值为33—22.广、一7"I因为y=sin2x—在忖,孟上单调递增，所以f(x)在.肓，£上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=Asin(wx+©)的形式，再利用函数图象解决问题.［再练一题］.求函数y=sin4x+23sinxcosx—cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,冗］上的单调递减区间.解:y=sin4x+23sinxcosx—cos4x2222厂=(sinx+cosx)(sinx—cosx)+23sinxcosx=—cos2x+3sin2xW3,21sin2。