度量空间(距离空间).doc

《度量空间》读书笔记金融数学10本黄小听17号关键词：度量空间距离连续映射可分性列紧性完备性完备化在数学分析中，当实数集R中点列｛Xn｝的极限为X时，用|Xn-X|来表示X. 与X的接近程度实际上，|Xn - X|可表示为数轴上Xn与X这两点间的距离那 么R中点列｛Xn｝收敛于x也就是指Xn与x之间的距离随着n > ::而趋于0，即 lim d(xn, x) = 0n_.于是设想在一般的点集X中如果也有“距离”，则在点集X中也可借这一距 离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一度量空间的定义定义1.1 设X是一个非空集合，若存在映射d:X X > R，使得-x, y,z・X，均满足以下三个条件：⑴d(x, y) 一 0，且d(x, y) = 0当且仅当x = y (非负性)；⑵ d(x,y)二 d(y,x)(对称性)；(3) d(x,z)空 d(x,y) d(y,z)(三角不等式)，则称d为X上的一个度量函数(或距离函数)，(X,d)为度量空间(或距离 空间)，简记为X注：若X为度量空间，Y是X的一个非空子集，则Y也是一个度量空间， 称Y为X的子空间例1-1 n维欧氏空间Rn解析：n维欧氏空间Rn， Rn表示n维向量x = (x1, x2^ , xn)。

对于 Rn 中任意两点 X = (X,,X2, , Xn)，y =(yi,y2, "n)，定义:n 1d(x,y)珂、|Xi - yi |2]2i —易证d(x,y)满足距离的条件，且其中的三角不等式为:n i n i n 12 2 2［、 |Xi —Zi 门「 ［、 |Xi —yil『［、 |yi -和］2i 4 i J i J因此，(Rn,d)是度量空间，其中d称为欧几里得距离实际上，度量空间是n维欧氏空间Rn的推广，度量空间中最符合我们对于 现实直观理解的是三维欧氏空间［2］除了欧氏空间，序列空间S，有界函数空间 B(A)，可测函数空间M(X)，连续函数空间C［a,b］，有界数列空间L， p次幕 可和的数列空间lp， p次幕可积函数空间等，也都是度量空间二度量空间的重要定理定理2.1 对度量空间(X,d)，有(1) 任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集;(2) 任意个闭集的交集是闭集，有限个闭集的并集是闭集;(3) X与门既是开集又是闭集注：任意多个开集的交不一定是开集，比如:1 1An=(2-n，3 并)，n=i,2，…，Q0An二[2,3]是闭集;n d任意多个闭集的并不一定是闭集，比如:二(0,1)是开集。

1 1 00Fn = [ ,1 ], n = 3,4,…， f定理2.2 设(X,d)是度量空间，X• E,E X，则以下三个陈述是等价的:(1) E；(2) xo的任一邻域内都有属于E而异于xo的点；(3) 存在点列 Xn * E(Xn = X)，使 d(Xn,Xo)r 0(^^ )三度量空间上的连续映射把数学分析中连续函数的概念推广到度量空间，可得度量空间上的连续映 射定义3.1 设X,Y都是度量空间，f : X》Y,Xo • X如果对- —0，3^ > 0，当d(X, XoHd时，有d(fx, fxo) <呂，则称f在Xo连续又若f在X中 每一点都连续，则称f是X上的连续映射注：若对；「•： : 0 , 、=、( ；)0，只要 x1,x^ X，且 d( Xp ,x 2)：，就有d(f(xj f(X2))」成立，则称f在X上一致连续例3-1 证明：d(x,x)是度量空间X上的连续函数，其中xo是X的一定点 解析：任取x— X，因为对x. X，有d(x, Xo) -d(x',Xo)乞 d(x,x') d(x',Xo) -d(x',Xo) = d(x,x') d(x',Xo) -d(x,Xo)岂 d(x',x) d(x,Xo) -d(x,Xo) =d(x',x) 所以， |d(x,Xo) -d(x',xo)|乞 d(x',x)于是对- ；o，只要取一；，当d(x,x'H 时，就有|d(x,Xo) -d(x',Xo)|因此，d(x,xo)是X上的连续函数。

定理3.1 设X,Y是度量空间，f : X》Y,x• X，则以下各命题等价：(1) f在Xo连续；(2) 对于fXo的任一邻域U(fXo,)，必存在Xo的邻域U(Xo,「J，使得f[U(Xo, )] U(fXo,)；(3) 对于{Xn} X，若 Xn —• Xo(n—•-，)，贝U fXn—• fX°证明：⑴=(2)显然成立；(2) = (3)由于 Xn > Xo(n，对 o，存在 N，当 n N 时, 有 d(Xn,XoB ，即 Xn U(Xo,)，因此 fX「U( fXo,)，即 d(fXn, fXoH ；(3) =⑴(反证法) 若f在Xo点不连续，则 o o，使得对- o，都 X X，满足 d(xn,xo) ，但 d(fxn,fxo) o，1 1特别的，取：=—,(n = 1,2,…)，有 Xn • X ， d(Xn , Xop ，但n nd(fXn, fXo) 一 o，这就是说，Xn —• Xo(n—•-')，但fXn— fXo不成立，与假设矛盾， 因此(3)= (1)成立 证毕四度量空间的性质4.1可分性已知有理数集是可数集且在实数集中稠密，现在将这个概念推广到一般的度 量空间中去。

定义4.1.1 设X是度量空间，A和B都是X的可数子集，若对-x. A，{Xn} B，使Xn > x，则称B在A中稠密，若A = x，则称B在X中处处稠 密，X是可分的度量空间例4-1-1 n维欧氏空间Rn是可分的解析：显然，所有坐标为有理数的点组成 Rn的一个可数稠密子集，特别当 n =1时，实数集R1是可分的，因为有理数集在 R1中稠密4.2列紧性数学分析中直线上有界集的列紧性是指直线上任何有界无穷集至少有一个 聚点，那么一般度量空间上呢？定义421 设X是度量空间，A X，如果对{Xn} A，都有收敛子 列{Xnk}存在，且Xn > X，则称A是列紧集（相对紧集）；列紧闭集称为自 列紧集（紧集）；如果空间X本身是列紧的，则称X是列紧空间注：n维欧氏空间Rn是非列紧的，然而Rn中每一有界集是列紧的，而每 一有界闭子集是自列紧的定理421 在度量空间X中，下面命题成立：（1） X中列紧集的子集是列紧集；（2） X中有限个列紧集的并是列紧集；（3） X中任意多个列紧集的交是列紧集；（4） 若X是列紧空间，则它一定是完备的4. 3完备性实数域的完备性在数学分析中具有重要作用，现在将实数域完备性概念推广 到一般度量空间。

定义431 设X是度量空间，{Xn} X，若对- • 0 ,存在正整数N =N(；)，当m,n N时，有d(Xn, Xm )：：：；,则称｛Xn｝是X的柯西列(或基本列)如果X中的每个柯西列都收敛于 X中的点，则称X是完备的度量空间例4-3-1 C[a,b]是完备的度量空间解析：设｛xn｝是C[a,b]中的基本列，即对- ；.0，存在N =N(；)，当 m, n N 时，有 d(xn, xm ) < ；，即 max|Xm(t)- Xn(t)卜;a逹吵故对所有的 t [a,b]，|Xm(t) - Xn(t) | ；由一致收敛的柯西准则知，存在连续函数 X(t)，使｛Xn(t)｝在[a,b]上一致收敛于x(t)，即d(xm,x) > 0(n— )，且 x C[a,b]因此，C[a,b]是完备度量空间注:不完备度量空间是存在的例如有理数域，再如C[a,b]按LP[a,b](P 一 1) 空间的距离构成的度量空间五度量空间的完备化一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难例如，方程解的存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列是基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解。

因此猜想：任何一个不完备的度量空间都可以添加适当地点使其变成完备的定义5.1 设(X,d),(X',d')是两个度量空间，如果存在满映射f:X > X', 使得对—x,y・X，都有d'(fx, fy)二d(x,y)，则称X与X'同构等距，并称f是 从X到X'的同构等距映射定理5.1 (完备化定理) 设度量空间X不完备，则必有度量空间X存在，满足：(1) X是是完备的；(2) 有X' X存在，X,二X且Xi与Xo等距，并且满足上述两个条件的度量空间除去等距不计外是唯一的此X叫做Xo的完备化空间例5-1 一些不完备度量空间的完备化(1) 有理数全体Q按距离d(r,,r2)=|口 一门丨所构成的度量空间是不完备的， 它的完备化空间是全体实数按距离 d(r1,r2) =| x - y |所成的度量空间；(2) P[a,b]是[a,b]上全体多项式函数，按度量max | x(t) 一 y (t) |所a兰t兰b成度量空间是不完备的，它的完备化空间是 C[a,b]；(3) C[a,b]按LP[a,b](P_1)空间的度量构成的度量空间是不完备的， 它的 完备空间是LP[a,b]六总结度量空间只是泛函分析三大空间之一， 要想学好泛函分析，还得学习Banach空间、Hilbert空间以及其线性算子理论。

参考文献：[1] 李国祯•实分析与泛函分析引论[M].北京：科学出版社，2004，147-168页.[2] 度量空间—百度百科. 吴炯圻，周戈.实变与泛函[M].厦门：厦门大学出版社， 2004.5,208-217页.[4] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础 [M].北京：高等教育出版社， 2010.6,183-198页.。