材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1.ppt

第九章 压杆稳定9.1 引言9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷材料力学1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定 另端铰支两端固定一端固定 另端自由失稳时挠曲线形状临界载荷 Fcr的欧拉 公式长度系数  = 1  0.7 = 0.5 = 29.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷2ABCD临界应力总图中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：9.3 中、小柔度压杆的临界应力细长杆中长杆短粗杆39.4 压杆的稳定条件一、稳定条件或为稳定许用压力; n为工作安全系数;对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数49.4 压杆的稳定条件二、折减系数法其中：为许用压应力为折减系数，位于0和1之间折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：稳定计算的三类问题1.稳定校核2.选择截面3.确定许用载荷59.4 压杆的稳定条件压杆稳定性计算步骤 a、计算 、 与 : b、由压杆类型算 ，大柔度杆， ，中柔度杆， 根据有关经验公式计算。

c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算来实现69.5 压杆的合理设计影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料 性质等要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手一、合理选择材料细长压杆临界力只与弹性模量有关由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别中柔度杆临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性79.5 压杆的合理设计二、合理选择截面柔度越小，临界应力越大在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面如空心杆等同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的  不同，则应该选 择 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：8•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）9.5 压杆的合理设计9三、改变压杆的约束条件9.5 压杆的合理设计细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。

109.5 压杆的合理设计例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为＝1.3钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力[s]=170 MPa该柱属于b类截面中心压杆由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔试为该钢柱选择槽钢型号119.5 压杆的合理设计解：1. 按稳定条件选择槽钢号码为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码假设＝0.50，得到压杆的稳定许用应力为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为129.5 压杆的合理设计由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A =18.51 cm2＝18.51×10-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数 是否不小于假设的 ＝0.5注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。

于是有该组合截面压杆的柔度：139.5 压杆的合理设计由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为＝0.262显然，前面假设的＝0.5这个值过大，需重新假设 值再来试算；重新假设的 值大致上取以前面假设的＝0.5和所得的＝0.262的平均值为基础稍偏于所得 的值重新假设＝0.35，于是有149.5 压杆的合理设计试选16号槽钢，其 A=25.15×10-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：由图9.11得 =0.311，它略小于假设的＝0.35现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而＝0.311进行稳定性校核此时稳定许用应力为按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为159.5 压杆的合理设计虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5％，这是允许的2. 计算钢柱两槽钢的合理间距由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy = Iz169.5 压杆的合理设计 如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则Iy＝Iz的条件可表达为亦即消去公因子2A0后有在选用16号槽钢的情况下，上式为179.5 压杆的合理设计 由此求得 h＝81.4 mm。

实际采用的间距h不应小于此值3. 按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为按净面积算得的用于强度计算的工作应力为它小于强度许用应力[s]=170 MPa，满足强度条件18第九章 压杆稳定9.1 引言9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷材料力学199.6 用能量法求压杆的临界载荷前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时 的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷但对于比较复杂的 载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁能量法的基本思路：1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可 以求出临界载荷的大小209.6 用能量法求压杆的临界载荷如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能 即：B点的轴向位移：其中：所以：AByxlFcrxB´ dxds219.6 用能量法求压杆的临界载荷又：由以上两式有：所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。

挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替AByxlFcrxB´ dxds229.6 用能量法求压杆的临界载荷AByCyxlFx例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力解：设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：该挠曲线满足位移边界条件：则任一截面上的弯矩为：由：有：239.6 用能量法求压杆的临界载荷所以有：如果根据式则有：精确解：249.6 用能量法求压杆的临界载荷因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上 更大的偏差基于式：的结果比基于式的结果更精确259.6 用能量法求压杆的临界载荷qlxf x例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向 均布载荷作用试用能量法确定载荷q的临界值qcr解：假设压杆微弯时的挠曲线方程为：其中 为压杆自由端的挠度解法一：压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：均布载荷所做的功：269.6 用能量法求压杆的临界载荷又由：有：精确解：与精确解相差6%279.6 用能量法求压杆的临界载荷qlxf xxxyq解法二： 取如图两套坐标系，则有x截面上的弯矩为：又 截面上的挠度为，代入上式有，则有：跟精确值相差28第九章 压杆稳定材料力学欧拉临界应力稳定条件或折减系数法欧拉临界载荷29第八章 能量法一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理)三、卡氏定理能量法四、互等定理 五、虚功原理 单位力法 图乘法六、超静定问题 力法 七、冲击应力 30求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法平衡方程——静力平衡关系 几何方程——变形几何关系 物理方程——应力应变关系利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。

在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础能量法/基本概念2、能量法31能量法有关的几个基本概念3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数值上与外力所作的功 W 相等功能原理U＝W1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功 W2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能 U能量法/基本概念32一、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FLLOBLFA能量法/杆件的应变能式中 ——轴力，A ——横截面面积33•由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345——结构中第i杆的轴力Li——结构中第i杆的长度， Ai ——第i杆的截面面积式中 n——杆系中杆件的总数能量法/杆件的应变能34取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能•受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能qLdxdx(dx)x能量法/杆件的应变能352、圆截面杆的扭转 mLm OBmA圆截面杆的应变能式中 T ——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

能量法/杆件的应变能36•受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)ddxTT整个杆的扭转应变能为可取微段分析：能量法/杆件的应变能373、平面弯曲纯弯曲梁的应变能：式中 M ——梁横截面上的弯矩；I ——梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法/杆件的应变能38•横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按微段分析：和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较能量法/杆件的应变能394、剪切纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A由于切应力在截面上并非均匀分布引入系数k,因此 微段梁的应变能为：能量法/杆件的应变能40•整个梁的剪切应变能：式中 (b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲 应变能，通常忽略不计1) k 由截面的几何形状决定:矩形截面:k = 1.2,圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2能量法/杆件的应变能41F例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2细长梁整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：得解：42二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) FOBA基本变形下应变能的一般表达式：式中F——广义力(力或力偶)；——广义位移(线位移或角位移)且 F =C (力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移 的最终值，与加载的过程无关。

能量法/克拉贝隆原理43•应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出设在某弹性体上作用有外力，在支承约束 下，在相应的力 方向产生的位移为，(i =1,2,…,n)则物体的应变能为：能量法/克拉贝隆原理44•证明： 弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形(即组合变形）且弹性体在变形过程中贮存的应变能只取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关因此可假设按同一比例从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为：若材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相 应的位移为：式中 ：01 (从0线性增加到1)能量法/克拉贝隆原理45如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：积分得此式称为克拉贝隆原理能量法/克拉。