2021年第四届“刘徽杯”数学竞赛试题.pdf

第四届 “刘徽杯” 数学竞赛第二天 (2021 年 11 月 14 日)第 4 题 给定整数 n 3. 若不全为零的实数 a1, a2, ., an满足ni=1ai= 0, 证明:(1nni=1a2i)7(n 1)5(n 2)2(n2 n + 1)2(n2 3n + 3)2(1nni=1a7i)2.第 5 题 是否存在正整数 n 2, 使得对任何正整数 m 以及任意满足下列 3 个条件的多重集 A, 都存在 A 的非空真子集 B 使得 B 中所有元素之和为 m 的倍数? A 中互不相同的元素不超过 n + 2 个. A 中所有元素之和为 mn. 对任意的 x A, x 是正整数且 x | m.若存在, 请求出最小的满足上述条件的正整数 n; 否则请证明这样的 n 不存在.注: 对多重集的元素求和时, 重复的元素需按照其重数累加. 多重集 B 是 A 子集是指对任意的 x B 都有 x A, 并且 x 在 B 中的重数不超过 x 在 A 中的重数.第 6 题 给定正整数 t 3. 若无向图 G 有 2t 个顶点, 且满足以下性质, 则称 G为好图: 从 G 中任取 t 个顶点, 其中总存在两个顶点可以被 G 的边相连. 无法将 G 的顶点等分成两组, 使得这两组之间没有 G 的边相连.求好图的边数的最小值.定义一个图的分支序列为其各连通分支的顶点数目从小到大排列构成的序列. 求出使得边数达到最小的好图所有可能的分支序列.第四届 “刘徽杯” 数学竞赛第一天 (2021 年 11 月 13 日)第 1 题 在三角形 ABC 中，M, N 分别是边 AB, AC 的中点. 直线 BN, CM分别再次交 (ABC) 于 E, F. 直线 EF 分别交 AB, AC 于 S, T. 圆 (FSM),(ETN) 分别再次交 (ABC) 于 U, V . 证明: |AU| = |AV |.这里 (XY Z) 表示三角形 XY Z 的外接圆.第 2 题 求所有满足xy +uv 为有理数且?x9y4? =?u3v12? = uv xy的正整数组 (x,y,u,v).第 3 题 对于正整数 n, 记 f(n) 为满足以下条件的整数序列 aili=1的最大项数: 0 a1 a2 al n. 当 1 i j k l, 1 i j k l, 且 (i,j,k) = (i,j,k) 时ai+ aj+ ak= ai+ aj+ ak.证明:f(n) ?4n?1 16log22n?1/3+ 7,其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数.。