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测量误差的基本知识测量误差的基本知识测绘工程系测绘工程系赵军华赵军华测量误差概述测量误差概述测量误差及其来源● 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等● 测量误差的表现形式l 测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）三者共称为观测条件（观测条件好，测量精度就高，反之 ，精度就低），观测条件一样叫等精度观测观测值与观测值之差 ）1.粗差(错误)——超限的误差错误产生的原因：较多 a. 可能由作业人员疏忽大意、失职而引起如大数读错、读数被 记录员记错、照错了目标等； b. 可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起； c. 可能是容许误差取值过小造成的 错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有 错误存在发现错误的方法：发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进 行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作 业等测量误差分为：系统误差、偶然误差和粗差测量误差的种类例： 误差 处理方法钢尺尺长误差ld 计算改正钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)…… ……2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按规律性 变化，具有积累性。

系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响测量误差的种类● 系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大 ，必须消除 计算改正、观测方法、仪器检校)A、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等B、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、球气差对 h的影响及调焦所产生的影响盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于 VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响C、仔细检校仪器 例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响测量误差的种类3．偶然误差——从表面上看，观测误差的大小和符号均呈现偶然性偶然误差产生的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的 限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的 因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计 规律，是服从于正态分布的随机变量例如:在某测区，等精度观测了217个三角形的内角之和，得到217个三角形 闭合差i(偶然误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学 上的规律性而且，观测次数越多，规律性越明显5.1.2 测量误差的种类例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差 误差区间d△正 误 差负 误 差合 计个数 k频 率 k/n个 数k频 率 k/n个 数k频 率k/n0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上30 21 15 14 12 8 5 2 1 00.138 0.097 0.069 0.065 0.055 0.037 0.023 0.009 0.005 029 20 18 16 10 8 6 2 0 00.134 0.092 0.083 0.073 0.046 0.037 0.028 0.009 0 059 41 33 30 22 16 11 4 1 00.272 0.189 0.152 0.138 0.101 0.074 0.051 0.018 0.005 0合 计1080.4981090.5022171.000测量误差的种类从表中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：u小误差出现的个数比大误差多；u绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；u最大误差不超过27″。

偶然误差分布的表示方法：表格法（见课本84页）频率直方图正态分布曲线偶然误差的特性a a、、频率直方图频率直方图uu横坐标横坐标——以偶然误差为横坐标，纵坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标——以频率以频率 d d△△( (频率频率/ /组距组距) )为为 纵坐标 uu在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积 = = 误差出现在该区间的频率误差出现在该区间的频率(K (K  n n ), ),而所有条形的总面积等于而所有条形的总面积等于1 1uu所有区间的矩形构成了直方图，所有区间的矩形构成了直方图，如如图图所示偶然误差的特性b b、、正态分布曲线正态分布曲线x=y正态分布曲线在直方图中：当 在直方图中：当 n n →→∞∞，，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线 ，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线” 正态分布曲线的方程式：正态分布曲线的方程式：式中 、 为常数； =2.72828…sae 令： ，上式为：ax-=)(( )222 21s spjax ex--=222 21)(s sp-==efy偶然误差的特性 特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性) ：偶然误差的特性： 0limlim21==+++¥®¥®nnnnnL偶然误差的特性误差理论研究的主要对象 —— 偶然误差偶然误差在测量的成果中： l错误可以发现并剔除，l系统误差能够加以改正，l偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，l测量误差理论主要是处理偶然误差的影响● 准确度(测量成果与真值的差异）● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）● 测量平差（求解最或是值并评定精度）先了解几个概念:● 精（密）度（观测值之间的离散程度）衡量精度的指标主要有:方差、标准差、中误差、相对误差、极限（容许）误差方差、标准差、中误差、相对误差、极限（容许）误差 、协方差、权等协方差、权等评定精度的指标评定精度的指标标准差的数学意义 表示的 离散程度x=y较小较大上式中 称为方差， 称为标准差 ：正态分布密度函数1.方差与标准差:( )()222 21s spjax ex--=中误差测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。

2.中误差:上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i - X观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：snn][lim= ¥®snnmn][22 22 1=+++=L中误差中误差 m1小于m2,说明第一组观测值的 误差分布比较集中，其精度较高 ；相对地，第二组观测值的误差 分布比较离散，其精度较低：m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差中误差——误差绝对值与观测量之比 一般用于表示距离的精度 用分子为1的分数表示 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低绝对误差绝对误差 : :有符号，并且有与观测值相同的单位的误差如真误差和中 误差）绝对误差主要用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精 度如角度、方向等）在某些测量工作中，如测距绝对误差不能完全反映出观测的质量相对误差（相对中误差）K2

K1= —— = —— ； K2= —— = ——100 5000 200 100000.02 1 0.02 1 解：相对误差（相对中误差）根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三 倍中误差区间内的概率：P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4 P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)或三倍中误差(3m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|==- demdfPm222 21)()(pò+--=<kmkmmdemkmP222 21)(p极限（容许）误差在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标误差传播定律：误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 间接观测量间接观测量: :在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便 于直接观测的于直接观测的, ,由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称 为间接观测量。

为间接观测量例如例如：用水准仪测量两点间的高差：用水准仪测量两点间的高差h h，通过直接观测值后视读数，通过直接观测值后视读数 a a 和前视读数和前视读数b b 来求得的：来求得的：h =ah =a－－b b 间接观测量的误差：间接观测量的误差：由于直接观测值 由于直接观测值(a(a、、b)b)中都带有误差中都带有误差, ,因此因此 间接观测量间接观测量————函数函数 (h)(h)也必然受到影响而产生误差也必然受到影响而产生误差误差传播定律1.一般函数的中误差代入(b)得对(a)全微分：设有函数：为独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixZZix由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ： Zdzidxix(a)),,,(21nxxxFZL=(b)n ndxxFdxxFdxxFdZ¶¶++¶¶+¶¶=L2 21 1(c)n nxxFxxFxxF¶¶++¶¶+¶¶=ZL2 21 1误差传播定律令 的系数为 ， (c)式为：ix iixFf¶¶=对Z观测 了k次， 有k个式对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）对K个(e)式取总和：(f)    å¹=++++=Znjijijijinnxxffxfxfxf1,222 22 22 12 122L(e)jijinn xxffxxffxxffxfxfxf ++++++++=Z22231312121222 22 22 12 12LL(d ))()( 22)( 11)()2()2( 22)2( 11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (k nnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf+++=Z+++=Z+++=ZLLLLLLLLL误差传播定律(f)式两边除以K，得(g)式：由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：。