banach空间及其相关定理.doc.docx

课程论文 课 程 现代分析基础 学生姓名 学 号 院 系 专 业 指导教师 二Ｏ一五年 十二月 四日 目 录1 绪论 12 Banach空间基本概念 12.1拟范数定义及例子 12.2 Banach空间 22.3 Banach空间中线性变换及其性质 33 一致有界定理及其推论 43.1问题 43.2基本概念 43.3一致有界定理及其推论 53.4一致有界性定理及其推论的应用 64 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 74.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 74.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 84.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 84.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 94.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 95 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 95.1开映射定理 95.2逆算子定理 115.3闭图像定理 126 总结 14参考文献 15 在能力与知识结构方面，要求学生应具有扎实的专业和日语语言基础，熟练掌握日语听、说、读、写、译的基本技能；了解日本社会及日本文化等方面的基本知识，熟悉日本国情，具有一定的日本人文知识及运用这些知识与日本人进行交流的能力。

Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏 南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明关键词： Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到[a，b]上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中1909年里斯，F.(F.)给出[0，1]上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件还有一个极重要的空间，那就是由所有在[0，1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间。

在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念当然还该想到希尔伯特空间正是基于这些具体的、生动的素材，巴拿赫，S.与维纳，N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论[1]由于其在数学和其他学科中的广泛运用，在20世纪30年代就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科[2]Banach空间理论还是泛函分析的主要组成部分，是泛函分析涵盖的其他三个主要研究方向：算子理论，应用泛函分析以及Banach代数的理论基础，影响着他们的发展[3]20世纪60年代以后，不仅Banach空间理论本身有了深入的发展，更值得注意的是它在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具接下来本文将用四章的内容对Banach空间以及Banach空间中的相关定理做一个介绍本文从第二章的Banach空间的概念开始讲起，逐步引出Banach空间中的相关定理，这其中包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、开映射、闭图像定理以及逆算子定理。

泛函科学体系的建立正是得益于20世纪初Banach空间这几个定理的提出2 Banach空间基本概念在探讨Banach空间之前，本文先用一些定义来解释一下Banach空间并就相关的基本概念做一个介绍2.1 拟范数定义及例子定义2.1.1 线性空间：设X为一个线性空间，则在X中对加法满足：(1)x+y=y+x （交换律）(2)(x+y)+z=x+(y+z) （结合律）(3)存在零元θ，使θ+x=x(4)存在逆元x`使得x`+x=θ，x`记为-x对数乘满足：(5)1·x=x，θ·x=θ(6)λ(μx)= λμx （结合律）(7) (λ+μ)x=λx+μx （数乘分配律）(8) λ(x+y)= λx+λy定义2.1.2 设K是实数域R或复数域C，X为数域K上的一个线性空间，若||·||是X到R的映射并且满足：(1)||x||=0当且仅当x=0，x∈X(2)存在C≥1对所有的x，y∈X，||x+y||≤C||x||+C||y||(3)若x∈X而α∈K，则||αx||=|α| ||x||其中(2)中的常数C不依赖于x，y，则称||·||为X上拟范数，而||x||称为x的拟范数，这时，称(X，||·||)为拟赋范线性空间[4]。

定义2.1.3 设(X，||·||)为拟赋范线性空间，||x||为x的拟范数，则有||-x||=||x||，limαn→0αn=0，limxn→0||αxn||=0[5]下面给出拟赋范线性空间的例子：例2.1.1 对于0≤p＜1，lp={(xi)|xi∈K，i=1∞|xi|p<∞}在拟范数||x||=(i=1∞|xi|p)1p下是拟赋范线性空间2.2 Banach空间定义2.2.1 在定义2.1.2的条件下，明显的，若C=1，则(X，||·||)为线性赋范空间一般的，拟范数||x||不一定就是X上的范数定义2.2.2 赋范（拟赋范）线性空间X中若limn,m→∞xn-xm=0则称点列{xn}为柯西点列定义2.2.3 赋范（拟赋范）线性空间X如果是完备的，即X中的每一个柯西点列{xn}在X中强收敛于某一点x0：limn→∞xn-x0=0则称线性空间X为Banach空间有关强收敛的定义见定义2.2.4）下面给出Banach空间的例子：例2.2.1 (1)在C[a，b]中，||x||=maxt∈[a,b]|x(t)|，x(t)∈C[a，b] (2)在m中，||x||=sup1

则C[a，b]，m都是Banach空间其中范数||x||可以理解为距离，有了范数的概念，我们可以引入任意的点之间的距离显然，由d(x，y)=||x-y||定义了X上的一个距离容易验证，这个距离满足距离的三条公理第一第二公理是显然的，现给出第三公理—三角不等式的证明：设x，y，z∈X，有d(x，y)=||x-y||=||x-z+z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(x，z)+d(x，y)，证毕定义2.2.4 若limn→∞dxn，x=0，则称点列{xn}强收敛于点x，记为s-limn→∞xn=n命题2.2.1 在赋范（拟赋范）线性空间X中，有(1)若s-limn→∞xn=x，则s-limn→∞||xn||=||x||，(2)若s-limn→∞xn=x，s-limn→∞αn=α，则s-limn→∞αnxn=αx，(3)若s-limn→∞xn=x，s-limn→∞yn=y，则s-limn→∞(xn+yn)=x+y下面给出命题2.2.1的证明：只需证明在实的拟范数意义下(2)成立即可事实上，由于||αx-αnxn||≤||(α-αn)x||+||αn(x-xn)||故只要证明limn→∞xn=0意味着limn→∞αxn=0对任意关于α的有界集中的α一致成立。

1)记pn(α)=||αxn||是定义在实数集R1上的函数，则由(c`)知pn(α)在R1上是连续的，因此由(c`)，limn→∞pn(α)=0及Egorov定理，存在Lebesgue测度大于零的可测集A，使得limn→∞pn(α)=0在A上一致成立因为Lebesgue测度关于平移是连续的，若记B⊖C表示对称差(B∪C)\(B∩C)，则当σ→0时，|(A+σ) ⊖A|→0因此存在正数σ0，使得当|σ|≤σ0时，|(A+σ) ⊖A|<|A|/2特别的，有|(A+σ)∩A|>0所以任何满足|σ|≤σ0的实数σ可表示成σ=α-α`，其中α，α`∈A故，由pn(σ)=pn(α-α`)≤pn(α)+ pn(α`)，得limn→∞pn(α)=0在|σ|≤|σ0|上关于σ一致成立如果M是任一正数，取正整数k≥M/σ0，则由pn(kσ)≤kpn(σ)知对所有的|α|≤M，(1)成立，证毕2.3 Banach空间中线性变换及其性质定义2.3.1 设T是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性变换，定义其范数为T=sup⁡{Txx:x∈X,x≠0}若||T||<∞，则称T是有界线性变换注1：在上式中，||x||是X中向量x的范数，||Tx||是Y中向量Tx的范数。

在几种范数同时出现时，可以根据上下文搞清楚究竟指的是哪一种范数注2：由于||Tx||≤||T|| ||x||以及T=sup⁡{Txx:x∈X,x≠0}=sup⁡{T(Txx):x≠0}≪sup⁡{Tx:x=1}因此T=sup⁡{Txx:x∈X,x=1}这意味着T将X中的闭单位球映到Y中以0为中心，||T||为半径的闭球内定义2.3.2 设X为Banach空间，f：X→R的一个泛函 (1)若对任意x1，x2∈X，f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，α∈R，f(αx)= αf(x)则称f为X上的线性泛函2)若对任意x∈X，存在一个正数M，使|f(x)|≤M||x||，则称f为X上的有界泛函3)若对任意xn，x∈X，xn→x时，必有f(xn) →f(x)，则称f为X上的连续泛函定义2.3.3 设T是从赋范（拟赋范）线性空间X到赋范（拟赋范）线性空间Y内的线性变换，则下列命题等价： (1)T是有界的(2)T是连续的(3)T在X的某点连续3 一致有界定理及其推论上一章本文介绍了有关Banach空间的基本知识，以下的几章将从一致有界定理讲起，对Banach空间中的相关定理做一个介绍。

3.1 问题设X是赋范线性空间，有界性算子族{Tα：α∈A}⊂B(X→Y)，如果满足条件：∀x∈X，{Tα：α∈A}是X中的有界集，问{Tα：α∈A}是否为B(X→Y)中的有界集？1927年，Banach（巴拿赫）和Steinhaus（斯蒂豪斯）给出的一致有界性定理回答了这个问题这个定理也是Banach空间理论的基石之一[6]3.2 基本概念下面介绍一些在学习一致有界定理之前需要知道的基本概念定义3.2.1 集E⊆X称为无处稠密的，如果它的闭包E不包含X的非空开集任意一列无处稠密集合列之并称为第一类型集；X的其他集称为第。