圆锥曲线定点定直线问题.doc

定点定直线问题一、基础知识：1处理定点问题的思路：（1 ）确定题目中的核心变量（此处设为 k）（2）利用条件找到k与过定点的曲线 F x,y0的联系，得到有关 k与x,y的等式（3 ）所谓定点，是指存在一个特殊的点Xo, yo，使得无论k的值如何变化，等式恒成立此时要将关于k与x, y的等式进行变形，直至易于找到 x0, y0常见的变形方向如下:① 若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“ k ”的形式，从而xo,y只需要先让括号的部分为零即可②若等式为含k的分式，xo, yo的取值一方面可以考虑使其分子为 0,从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去 k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数 进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1 ）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线） 然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合属于“先猜再证” 2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。

尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件例如：直线l : y kx k 1，就应该能够意识到 y k X 1 1，进而直线绕定点 1, 1旋转、典型例题:2x例1 ：椭圆C :右a1a b O的离心率为—，其左焦点到点 P 2,1的距离为r 1O b（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线l : y kx m与椭圆C相交于代B两点（代B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：（1） e C - a:b: c 2:-一3:1，设左焦点 F1 c,Oa 2PR.10，解得c2,b 、、3椭圆方程为X22y- 13(2)由（1）可知椭圆右顶点 D 2,02,0x1, y1 , B x2,y2 , Q以AB为直径的圆过DAuuuDB 即 DAuuurDBuuu uuuDA DB 0uuu Q DAxiuuu2,y1 ,DBX22,y2uuuDAuurDByi y2 X1X2XiX24 yy 0联立直线与椭圆方程:y3x2kX m4y24k2x 8mkx 4X24 k2128mk4k2kX24 m2 34k2 3k2x1x2mk %X28mk4k2 3mk4k2 33m24k2 312k2，代入到①2uun uuu 4 m 3DA DB 2——4 k2 32忙4k2 33m2 12k24k24 m212 16mk 16k2 123m212k204k237m216mk4k2 07m2km 2k0m-k或m72km2k时，7l : y kx2k7k x-72l恒过 ,07m2k 时，l1: y kx2kk x2l恒过2,0，但当当符题意，故舍去l恒过2,072 x例2:已知椭圆Ca2yb2b 0经过点•3肓，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2 ）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,C 和 B,D，设线段AC, BD的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点c 1 t~解：(1)e a: b:c 2 >-.3:1a 22 x2-y 1代入•込氾可得：323 11 c 14c‘2 3c224c4 3c22a2,bx椭圆方程为一.y_143(2)由（ 1）可得:F 1,0当直线AC斜率不存在时， AC : x 1,BD:y 0所以可得：P 1,0 ,Q 0,0 PQ为x轴一 一 1当AC斜率存在时，设AC : y k x 1 , k 0，则BD : y x 1k设A x1,y1 ,C x2, y2，联立方程可得：2 23x 4y 124k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0x18k24k2 3y1 y2 k 咅 1k x2 1k x1 x2 2k6k4 k2 34k2 3k4k2 3,4k2 3同理，联立y3x2x 1k ，可得:24 1k2~43k^3k4 3k23k4k2 34 k24k2 33k4 3k243k2 47kk2 1PQ的方程为:3ky 43k27k4 k2 142 ，整理可得:3k24yk27x 4 k 4y4k2 47x47时，直线方程对0R均成立直线PQ恒过定点 4,07而AC斜率不存在时，直线4PQ也过一07直线PQ过定点 4,07例3：如图，已知椭圆C:2y2 1 a bb20的左右焦点为Fi,F2，其上顶点为 A，已知VF1AF2是边长为2的正三角形(1) 求椭圆C的方程uuur LULT(2) 过点Q 4,0任作一动直线I交椭圆C于M , N两点，记MQ QN，若段MNLULT uuur上取一点R使得MR RN是否在某一定直线上运动？若在，说明理由解：(1 )由椭圆方程可得F1QVF1AF2为边长是2的三角形2 2cOA、3b2x22y3(2)Xi,yi ,NX2,y2uuuuMQXi,yiuur,QN X24,y2UJU!由MQLULTQN可得:XiX24 xiX2 4设 R Dy。

uur，则MRXoXi,y yiuur,RNX2X),y2yuuir 由MRLULTRN可得:XoX2XoXoXiX2XiXiX2X22x-]X2 4XiXiXi X2X28联立方程组3x24y2X23 4k232k2xX! X2232k234k代入到①可得:XoR在定直线例4 :已知椭圆i2464 k2消去y整理可得:i2 0264k2 i24k2c 64k22f卓83 4k2i2 432 k23 4k2243 4k2243 4k2C的中心在坐标原点，左，右焦点分别为 Fi,F2，P为椭圆C上的动点,VPF1F2的面积最大值为-3，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线(i)求椭圆的方程(2)若直线I过定点1,0且与椭圆C交于A,B两点，点 M是椭圆C的右顶点，直线AM ,BM分别与y轴交于P,Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过 x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：(1) &PF1F2max12IF1F2 b be,3因为圆与直线相切dO l532 42a2 b2椭圆方程为:y2 1(2)当直线|的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点 M 2,0设A X"% , B x2, y2，联立方程可得:x24y2 4k x 12 2 2 21 4k x 8k x 4kX1X28k21 4k2 ,X1X24k2 41 4k22,0，A N，% ,BX2,y2可得:AM :y1y〒y2分别令X 0，可得:P 0,X^,Q o,X22y22若PQ为直径的圆是否过 Nuuur 2v UULTQPN x0说,QN问题转化为XqX! 2x2 2设X轴上的定点为umr uuurx0,0，则 PN QNx00恒成立N xo,0即x04y°2x1x2 2 x-i x2X28k214k2, X1X24k21 -可得:y』2k2 X1X2 1k2X1X2XiX23k24k2 1代入到①可得:2Xo3k24k2 14k2 4 8k21 4k2 12Xo12k2 2矿X0 30解得：Xo、3圆过定点 -3,0当直线斜率不存在时,直线方程为X1，可得PQ为直径的圆y2 3 过点.3,0所以以线段PQ为直径的圆过X轴上定点3,0例5：如图，在平面直角坐标系 xOy中，离心率为一2的椭圆C :22左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M , N两点,J丄a当直线2 X ""2 ab2 1a b 0 的PQ的斜率为-2 时，PQ 2,3（1）求椭圆C的标准方程（2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与 PQ的斜率无关）？请证明你的结论解：（1 ）由 kpQ子可得：pQ：y于XA由对称性可知：|op PQ|