高中数学必修四全册-课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,2024年8月11日,高中数学必修四课件全册（人教,A,版）,,2023年8月21日高中数学必修四课件全册（人教A版）,1,任意角的概念,角的度量方法,（角度制与弧度制）,弧长公式与,扇形面积公式,任意角的,三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形,（化简、求值、证明）,三角函数的,图形和性质,正弦型函数的图象,,,已知三角函数值，求角,知识网络结构,任意角的概念角的度量方法弧长公式与任意角的同角公式诱导公式两,2,1.,角的概念的推广,（,1,）,正角，负角和零角,.,用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于,0,0,到,360,0,的范围,.,,（,3,）,终边相同的角,，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为,.,,（,4,）角在“到”范围内，指,.,（,2,）,象限角和轴线角,.,象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角,.,,一、基本概念：,1.角的概念的推广（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的,3,一、任意角的三角函数,1,、,角的概念的推广,正角,,,负角,o,x,y,的终边,的终边,零角,一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的,4,二、象限角：,注,：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。

三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：,（角度制）,（弧度制）,例,1,、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角,原点,x,轴的非负半轴,一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边,与 重合逆时针旋转为正，顺时针旋转为负角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角二、象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角三,5,1,、终边相同的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同2,、象限角、象间角与区间角的区别,3,、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式,,,,三、终边相同的角,1、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的,6,(1),与,,,,角,终边相同的角的集合,:,1.,几类特殊角的表示方法,,{,,,|,,,=2,k,+,,,,k,∈,Z,}.,(2),象限角、象限界角,(,轴线角,),①,象限角,第一象限角,:,,(2,k,,<,,<2,k,,+,,,,k,,Z),2,,,第二象限角,:,(2,k,,+,,<,,<2,k,,+,,,,k,,Z),2,,,第三象限角,:,,(2,k,,+,,<,,<2,k,,+,,,,k,,Z),2,3,,第四象限角,:,2,,,,(2,k,,+ <,,<2,k,,+2,,,,k,,Z,,或,2,k,,-,<,,<2,k,,,,k,,Z,,),2,3,,一、角的基本概念,(1)与  角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法,7,②,轴线角,x,,轴的非负半轴,:,,=,k,,360º(2,k,,)(,k,,Z);,x,,轴的非正半轴,:,,=,k,,360º+180º(2,k,,+,,)(,k,,Z);,,y,,轴的非负半轴,:,,=,k,,360º+90º(2,k,,+,,,)(,k,,Z);,2,,,,y,,轴的非正半轴,:,,=,k,,360º+270º(2,k,,+,),,或,,,,,=,k,,360º,-,90º(2,k,,-,,)(,k,,Z);,2,3,,2,,,x,,轴,:,,=,k,,180º(,k,,)(,k,,Z);,,y,,轴,:,,=,k,,180º+90º(,k,,+,,,)(,k,,Z);,2,,,坐标轴,:,,=,k,,90º( )(,k,,Z).,2,k,,②轴线角x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(k,8,例,2,、（,1,）、终边落在,x,轴上的角度集合：,（,2,）、终边落在,y,轴上的角度集合：,（,3,）、终边落在象限平分线上的角度集合：,,,例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴,9,典型例题,,各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的,Ⅰ,、,Ⅱ,、,Ⅲ,、,Ⅳ,分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例,1.,若,α,是第三象限的角，问,α/2,是哪个象限的角,?2α,是哪个象限的角,?,典型例题 各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、,10,高考试题精选及分析,C,点评,:,本题先由,α,所在象限确定,α/2,所在象限,,,再,α/2,的余弦符号确定结论,.,高考试题精选及分析C点评:,11,例,1,,求经过,1,小时,20,分钟时钟的分针所转过的角度：,,解：分针所转过的角度,,,例,2,,已知,a,是第二象限角，判断下列各角是第几象限角,,（,1,） （,2,）,评析：,在解选择题或填空题时，,如求角所在象限，也可以不讨论,k,的,几种情况，如图所示利用图形来判断,.,,例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针,12,,,,四、什么是,1,弧度的角？,长度等于半径长的弧所对的圆心角。

O,A,B,r,r,2r,O,A,B,r,,,四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角OAB,13,（,3,）,角度与弧度的换算,.,只要记住，就可以方便地进行换算,.,,应熟记一些特殊角的度数和弧度数,.,在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制,,,,,,,,,（,4,）,弧长公式和扇形面积公式,.,（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算. 应,14,度,弧度,0,2,、,角度与弧度的互化,,特殊角的角度数与弧度数的对应表,度 2、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的,15,,略,解：,,例,3,．已知角,,和,,满足求角,,–,,的范围,.,,解：,例,4,、,已知扇形的周长为定值,100,，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？,,,扇形面积最大值为,625.,,略解：例3．已知角和满足求角–的范围.解：例4、,16,例,7.,已知一扇形中心角是,α,，所在圆的半径是,R. ①,若,α,＝,60°,，,R,＝,10cm,，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积,.,②,若扇形的周长是一定值,C,(,C,＞,0),，当,α,为多少弧度时，该扇形的面积有最大值,?,并求出这一最大值,?,指导,:,扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用,.,在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度,.,,,例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R. ①若α＝,17,,解：（,1,）设弧长为,l,，弓形面积为,S,弓,。

2,）,扇形周长,C=2,R,+,l,=2,R,+,,,,,解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓 （2）扇形周长C,18,正弦线：,余弦线：,正切线：,（,2,）当角,α,的终边在,x,轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角,α,的终边在,y,轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在2.,正弦线、余弦线、正切线,,x,y,O,P,T,M,A,有向线段,MP,有向线段,OM,有向线段,AT,注意：,（,1,）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆,.,在平面直角坐标系中引进,正弦线、余弦线和正切线,,正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线,19,,三角函数,三角函数线,正弦函数,余弦函数,正切函数,正弦线,MP,,正弦、余弦函数的图象,,,,,y,x,x,O,,-1,,P,M,A(1,0),T,sin,=MP,cos,=OM,tan,=AT,注意：,三角函数线是,有向线段,！,余弦线,OM,正切线,AT,三角函数三角函数线正弦函数正弦线MP 正弦、余弦函数的图,20,,,P,O,M,,,P,O,M,,,P,O,M,,,P,O,M,MP,为角,,的正弦线,,,OM,为角,,的余弦线,,为第二象限角时,,为第一象限角时,,为第三象限角时,,为第四象限角时,,POMPOMPOMPOMMP为角的正弦线,OM为角,21,,10,）,函数,y=lg sinx+,的定义域是（,A,）,（,A,）,{x|2k,π

4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心,24,,,,O,y,x,,O,y,x,OyxOyx,25,,,例,5,,已知角的终边经过点,,,,,例,6,,若,,为第一象限角,，利用三角函数线证明：,,若,,为其它象限角呢？,,例,7,,求函数 的定义域,.,,,例5 已知角的终边经过点 例6 若为第一象限角，利用三,26,4.,三角函数的符号,x,y,o,0,,1,,-1,,0,,+,+,_,_,1,,0,,0,,-1,,x,y,o,+,+,_,_,不存在,,x,y,o,0,,0,,不存在,,_,+,_,+,4.三角函数的符号xyo0 1 -1 0 ++__1 0 0,27,一、任意角的三角函数定义,x,y,o,●,P(x,y),r,二、同角三角函数的基本关系式,倒数关系,：,商关系,：,平方关系,：,三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”,一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r二、同角三角函,28,,,,,,,平方关系,倒数关系,商式关系,5.,同角三角函数基本关系,:,神奇的六边形,,1,,1,平方关系倒数关系商式关系5.同角三角函数基本关系:神奇的六边,29,（,1,）上述几个基本关系中，必须注意：,①,它们都是,同一个角的三角函数,，因此,sin,2,,+sin,2,,=1,不一定成立；,②,这几个,恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立,.,（,2,）同角三角函数的基本关系常用于：,①,已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；,②,化简三角函数式；,③,证明三角恒等式,同角三角函数基本关系注意事项,:,（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角,30,三、典型例题分析,【,解题回顾,】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解 ），根据,α,角所在象限，确定正负号的取舍,.,当给出的,α,的象限指定唯一，则此时一般有一解；当角,α,的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定,α,的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角,.,外）,.,三、典型例题分析【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函,31,例,1,：已知 是第三象限角，且 ，,0,求 。

四、主要题型,解：,应用：,三角函数值的符号；同角三角函数的关系；,例1：已知 是第三象限角，且,32,例,2,．已知,sinα=,m,(,|m|,≤1),，求,tanα.,方法指导：,此类例题的结果可分为以下三种情况,.,(1),已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解,.,(2),已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解,.,(3),已知角,α,的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论,.α,分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解,.,例2．已知sinα=m (|m|≤1) ，求tanα.,33,指导：,容易出错的地方是得到,x,2,＝,3,后，不考虑,P,点所在的象限，分,x,取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角,α,所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测,例,4,．设,α,为第四象限角，其终边上的一个点是,,P(x,，,,),，,且,cosα,＝ ，求,sinα,和,tanα.,指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，,34,设,0,0,90,0,，对于任意一个,0,0,到,360,0,的角,,=,,， 当,[0,0,，,90,0,],180,0,-,,， 当,[90,0,，,180,0,],180,0,+,,，当,[180,0,，,270,0,],360,0,-,,，当,[270,0,，,360,0,],如何求非锐角的三角函数值呢？,角,180,0,-,,，,180,0,+,,，,360,0,-,,的三角函数值与,,的三角函数值有何关系呢？,设00900，对于任意一个00到3600的角=，,35,6.,诱导公式,:,公式,1,,公式,2,：,,公式,3,：,公式,4,：,公式,5,：,奇变偶不变，符号看象限！,（注意：把 看作是锐角）,6.诱导公式:公式1 公式2： 公式3：公式4：公式5：奇变,36,公式五：,公式六：,偶同奇余,象限定号,公式五：公式六：偶同奇余象限定号,37,高中数学必修四全册-课件,38,（,K,是奇数）,（,K,是偶数）,（,K,是奇数）,,（,K,是偶数）,（K是奇数）（K是偶数）（K是奇数）（K是偶数）,39,诱导公式总结：,口诀：奇变偶不变，符号看象限,意义：,诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：,40,利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角,函数,,,一般按下面步骤进行,:,任意负角的,三角函数,任意正角的,三角函数,锐角三,角函数,到 的角,的三角函数,,,,,用公式三或一,,用公式一,,用公式,二或四,,利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角任意,41,特殊角的三角函数值,你记住了吗？,度,弧度,特殊角的三角函数值你记住了吗？度弧度,42,三、典型例题分析,【,解题回顾,】视,sin,α,，,cos,α,等为“一次式”，,sin,2,α,，,sin,α,cos,α,等为“二次式”,.,象此题中的“分式齐次式”、“齐次二项式”是典型的条件求值，一般化为含,tan,α,的式子,.,要注重,数字“,1”,的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．,三、典型例题分析【解题回顾】视sinα，cos α等为“一次,43,1,、,1、,44,,若 ，则,,分析,:,从已知　　　　　　　 可求出,同除以 得,,例,1,：,原式可化为,（,04,湖南,),若 ，则 分析: 从已知,45,例,5,，若,tanA=,,,,求,2sin,2,A+sinA·cosA-3cos,2,A,的值。

指导：,这是一个已知角,A,的三角函数值，求它的三角函数式的值观察其构成特征，可考虑利用“,1”,的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示即先变形，后代入计算,例5，若tanA=　　,求2sin2A+sinA·cosA-,46,解：,例,5,，若,tanA=,,,,求,2sin,2,A+sinA·cosA-3cos,2,A,的值解：例5，若tanA=　　,求2sin2A+sinA·cos,47,分析：,属,“,给值求值,”,型,本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些分析：属“给值求值”型本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使,48,将,齐,齐,将齐齐,49,例题与练习,例,4,化简,练习,1,求,sin(2n,+2,/3)·cos(n+4/3),的值,(nZ),2,化简,cos[(4n+1),,/4+x]+,cos[(4n-1),/4-x],当,n,为奇数时，原式,=-2cos(,,/4+x),当,n,为偶数时，原式,=2cos(,,/4+x),当,n,为偶数时，,当,n,为奇数时，,例题与练习例4 化简练习1 求sin(2n+2/3),50,,补充,:,已知,,(1),试判断 的符号；,,,(2),化简,作业,,补充: 已知 作业,51,解：由,的终边在第二、三象限或,y,轴和,x,轴的负半轴上；,,又 ，,∴,角的终边在第二、四象限，,从而 的终边在第二象限。

1,）易知,,,（,2,）原式,=,解：由的终边在第二、三象限或y轴和x轴的负半轴上； 又,52,【,解题回顾,】,★,证等式常用方法：,（,1,）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）,（,2,）两边向中间证,（,3,）分析法,；,（,4,）用综合法,★ ★,证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特点，寻求思路,.,三、典型例题分析,【解题回顾】三、典型例题分析,53,三、典型例题分析,【,解题回顾,】根据目标式子无,β,的特点，,采用消元思想，,三角平方关系式消元是一重要方法,.,三、典型例题分析【解题回顾】根据目标式子无β的特点，,54,四、,sinθ,＋,cosθ,，,sinθcosθ,，,sinθ,－,cosθ,,三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值四、sinθ＋cosθ， sinθcosθ ，sinθ－co,55,,,,O,y,x,,O,y,x,OyxOyx,56,例,2,、,:,已知,三、典型例题分析,求 的值,.,【,解题回顾】,sinθ,与,cos,θ,通过公式,,sin,2,θ,+,cos,2,θ,=1形成对,立与统一的整体，,它们的和,sinθ,+cos,θ,、差,sinθ-cosθ,、积,sinθcosθ,、商,sinθ,/,cosθ,(,即,tan,θ,),密切相联，如,(,sinθ+cosθ,）,2,=1,+2 sinθcosθ,，,,,例2、:已知三、典型例题分析求 的值.【,57,例,6,，若 ， 则,,,。

指导,:,条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是,∈( , ),即,,=1-2×1/8 =3/4,∴,例6，若,58,高中数学必修四全册-课件,59,小结：,解决,“,给值求角,”,型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角练习：,设,两,两,时,小结：解决“给值求角”型问题，关键是利用给定的三角函数值或者,60,例,3,已知,α,是三角形的内角，且,sinα+cosα=,，求,tanα,的值例3 已知α是三角形的内角，且sinα+cosα= ，,61,,解答下列问题：,（,1,）若 在第四象限，判断 的符号；,,（,2,）若 ，试指出 所在的象限，,,并用图形表示出的取值范围,.,思考题,解答下列问题：思考题,62,三、三角函数图像和性质,函数,y=sinx,y=cosx,y=tanx,图象,定义,值域,,,奇偶性,对称,中心,R,R,[-1,1],[-1,1],R,,奇,奇,偶,三、三角函数图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tan,63,函数,y=sinx,y=cosx,y=tanx,最值,对称轴,周期性,,,,单调性,无最值,无,2,π,2,π,π,函数y=sinxy=cosxy=tanx最值对称轴周期性单调,64,y=sinx,y=cosx,y=tanx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定义域,值域,,奇偶性,单调性,周期性,对称性,R,R,R,[-1,1],,[-1,1],,奇函数,,奇函数,,偶函数,,增区间：,,增区间：,,增区间：,,减区间：,减区间：,对称中心：,对称中心：,对称中心：,对称轴：,对称轴：,y=sinxy=cosxy=tanx定义域值域奇偶性单调性周,65,3,、正切函数的图象与性质,y=tanx,图,象,,,x,y,o,,定义域,值域,R,奇偶性,奇函数,周期性,单调性,3、正切函数的图象与性质y=tanx图 xyo定义域值域R奇,66,,正切函数的性质：,,6,、对称性：对称中心,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7,、渐进线：,正切函数的性质： 6、对称性：对称中心7、渐进线：,67,四、三角函数的图象和性质,图象,y=sinx,y=cosx,x,o,y,-1,1,,x,y,-1,1,,性,,质,定义域,R,R,值 域,[-1,，,1],[-1,，,1],周期性,T=2,T=2,奇偶性,奇函数,偶函数,单调性,o,1,、正弦、余弦函数的图象与性质,四、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy-,68,．,y=sinx,y,x,1,-,1,p/2,,2p,o,3p/2,,．,．,．,．,p,五点作图法,p,,．,p/2,,3p/2,,2p,o,y,x,p,,y=cosx,．,．,．,1,-,1,对称点：,(k,p,,0),对称轴：,x=k,p,+,p,2,对称轴：,x=k,p,对称点：,(k,p,+ ,0),p,2,T/2,k,∈,Z,k,∈,Z,,T/2,．y=sinxyx1-1p/2 2p o,69,练习：,y=3sin(2x+,,／,６,),的图像的一条对称轴方程是（ ）,（,A,）,x=0 (B)x=,,／,６,,(C)x=- ,／,６,（,D,）,x= ,／,3,B,解：,令,X= 2x+,,／,６,,,则,y=3sinX,,由此可知,y=3sinX,的图像的对称轴方程为Ｘ＝,k, +  /2,，,k,,Z,,,2x+,,／,６＝,k, +  /2,，,k,,Z,，解得,x=k, /2+ ,／,６,,,k,,Z,,y=3sin(2x+,,／,６,),的图像的对称轴方程为：,x=k, /2+ ,／,６,,,k,,Z,令,k=0,得,x=,,／,６,练习：y=3sin(2x+／６)的图像的一条对称轴方程是（,70,1,、作,y=Asin(ωx+φ),图象的方法,2,、,y=Asin(ωx+φ),关于,A,、,ω,、,φ,的三种变换,法一：五点法,列表取值方法：是先对,ωx+φ,取,0,，,π/2,，,π,，,3π/2,，,2π,法二：图象变换法,（,1,）振幅变换（对,A,）,（,2,）周期变换（对,ω,）,（,3,）相位变换（对,φ,）,(,二,) y=Asin(ωx+φ),的相关问题,1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法2、y=Asin(ω,71,3,、求,y=Asin(ωx+φ)+K,的解析式的方法,4,、,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),的图象的对称中心和对称轴方程,3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法4、y=A,72,2,、函数 的图象（,A>0, >0 ),第一种变换,:,,图象向左,( ),或,向右,( ),平移 个单位,,横坐标伸长,( ),或缩短,( ),到原来的 倍,纵坐标不变,纵坐标伸长,(A>1 ),或缩短,( 01 ),或缩短,( 0

解：,∵90,0,<135,0,<138,0,<270,0,又,∵ y=tanx,在,x∈,（,90,0,，,270,0,）上是增函数,∴ tan135,0,0,|φ|< ),的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来,2,倍（纵坐标不变）得函数,y=sinx,图象则,ω=____ φ=____,。

解：,y=sin2x,=sin2(x- )=sin(2x- ) ω=2 φ=-,例4 函数y=cos(2x+ )图象的一条对称轴方程,78,６,７,６７,79,思路,:,函数,y=sin2x+acos2x,可化为,要使它的图象关于直线,x= -π/8,对称,,,则图象在该处必是处于波峰或波谷,.,即函数在,x=-π/8,时取得最大、小值,.,思路:函数y=sin2x+acos2x可化为要使它的图象关于,80,高中数学必修四全册-课件,81,例,9,、,(98,年,),关于函数 有下列命题：,①,,的表达式可改写为,②,,是以 为最小正周期的周期函数,③,,的图象关于点 对称,④,,的图象关于直线 对称,其中正确的命题序号是① ③,例9、(98年)关于函数,82,（,3,）连线：,,,用“五点作图法”作出,y=A sin (,x + ,),在长度为一个周期闭区间上的图象,(2),描点：,（,1,）列表：,,,,,,,,,,,0,- A,0,A,0,y,0,x + ,x,y,( ,0) ( ,A) ( ,0) ( ,- A) ( ,0),,,,,,（3）连线：用“五点作图法”作出 y=A sin (x +,83,,(1),由最大值点（或最小值点）定,A,(2),由两个关键点（特殊点）定,,和,,总 结,给出函数,y=Asin(,x+),(A>0 ,,>0),的图象求其解析式的一般方法：,总 结给出函数 y=Asin(x+) (A>0 , ,84,6,、已知下图是函数 的图象,(1),求 的值；,(2),求函数图象的对称轴方程,.,O,x,,,2,,1,,,–1,–2,y,⑴,（,2,）函数图象的对称轴方程为,即,6、已知下图是函数,85,高中数学必修四全册-课件,86,设函数,（,1,）求 ；,（,2,）求函数 的单调递增区间；,（,3,）画出函数 在区间,[0,，,π],,上的图象,.,图象的一条对称轴是直线,例,3,设函数（1）求 ；（2）求函数 的单调递,87,,,,解析,:,（,1,）,图象的一条对称轴,,,是,,,,O,y,x,,,解析:（1）图象的一条对称轴,是Oyx,88,（,2,）,,,,,,函数 的单调递增区间为,（2） 函数 的单调递增区间为,89,x,y,,π,,o,-1,1,x∈[0,π],（,3,）,,,,,,,,xyπo-11x∈[0,π]（3）,90,5 ),函数,(A>0,,>0),的一个周期内的图象如图，则有,( ),(A),,,(B),(C),(D),5 ) 函数,91,y,x,0,,3,- 3,,,,y,x,0,2,-2,- 4,,,如图：根据函数,y= A sin (,x + ),(A>0 ,,>0),图象求它的解析式,yx03- 3yx02-2- 4如图：根据函数 y= A s,92,,,,y,x,0,,,-4,4,如图：根据函数,y = A sin (,x + ),(A>0 ,,>0),图象,求它的解析式,,,,,yx0-44如图：根据函数y = A sin (x + ,93,,y,x,0,,2,-2,如图：根据函数,y = A sin (,x + ),(A>0 ,,>0),图象求它的解析式,,,yx02-2如图：根据函数y = A sin (x + ,94,y,x,0,,1,2,如图：根据函数,y = 2 sin(,x + ),(,>0),图象,求它的解析式,,,yx012如图：根据函数y = 2 sin(x + ),95,y,x,0,,1,2,如图：根据函数,y = 2 sin(,x + ),(,>0),图象,求它的解析式,,,,yx012如图：根据函数y = 2 sin(x + ),96,y,x,根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：,,使符合条件的 的角,x,有且只有一个，而且包括锐角．,4.11,已知三角函数值求角,,,,,,,在闭区间 上，符合条件 的角,x,，叫做,,实数,a,的反正弦，记作 ，即 ，其中 ，,,且 ．,的意义：,首先 表示一个角，角的正弦值为,a,，即,．角的范围是,yx　　根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：,97,4.11,已知三角函数值求角,练习：,（,1,） 表示什么意思？,表示 上正弦值等于 的那个角，即角 ，,故,（,2,）若,，则,x,=,,（,3,）若,，则,x=,4.11 已知三角函数值求角练习：（1）,98,4.11,已知三角函数值求角,的意义：,首先 表示一个角，角的余弦值为,a,，即,．角的范围是 ．,根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：,,使符合条件的 的角,x,有且只有一个，而且包括锐角．,y,x,,,在闭区间 上，符合条件 的角,x,，叫做,,实数,a,的反余弦，记作 ，即 ，其中 ，,,且 ．,,,,,4.11 已知三角函数值求角的意义：首先,99,4,、已知三角函数值求角,y=sinx ,,的反函数,y=arcsinx ,,y=cosx,,的反函数,y=arccosx,,y=tanx,,的反函数,y=arctanx,,⑵,已知角,x ( ),的三角函数值求,x,的步骤,①,先确定,x,是第几象限角,②,若,x,的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若,x,的三角函数,值为负的，求出与其绝对值对应的锐角,③,根据,x,是第几象限角，求出,x,,若,x,为第二象限角，即得,x=,；若,x,为第三象限角，即得,,x=,；若,x,为第四象限角，即得,x=,④,若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。

⑴,反三角函数,4、已知三角函数值求角y=sinx ,,100,已知三角函数值求角,已知三角函数值求角,x,（仅限于,[0,，,2 π],）的解题步骤：,1,、如果函数值为正数，则求出对应的锐角,x,0,；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角,x,0,,；,2,、由函数值的符号决定角,x,可能的象限角；,3,、根据角,x,的可能的象限角得出,[0,，,2 π],内对应的角：,如果,x,是第二象限角，那么可以表示为,π,－,x,0,如果,x,是第三象限角，那么可以表示为,π,＋,x,0,如果,x,是第四象限角，那么可以表示为,2π,－,x,0,已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于[0，2 π],101,说明,:,三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视,.,(1),判断角的象限,；,(2),求对应锐角；,如果函数值为正数，则先求出对应的锐角,x,1,；,如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角,x,1,.,(3),求出,(0,，,2,π,),内对应的角,；,如果它是第二象限角，那么可表示为－,x,1,＋,π,；,如果它是第三或第四象限角，则可表示为,x,1,＋,π,或－,x,1,＋,2,π,.,(4),求出一般解,利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律,写出结果,.,（三）已知三角函数值求角”的基本步骤,1,、基本步骤,说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1,102,2,、表示角的一种方法,——,反三角函数法,1,、反正弦：,这时,sin(arcsin,a)=a,,2,、反余弦：,这时,cos(arccos,a)=a,,这时,tan(arctan,a)=a,,3,、反正切：,2、表示角的一种方法——反三角函数法1、反正弦：这时sin(,103,三、两角和与差的三角函数,1,、预备知识：两点间距离公式,x,y,o,●,●,2,、两角和与差的三角函数,注：公式的逆用 及变形的应用,,公式变形,,三、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo●,104,3,、倍角公式,,3、倍角公式,105,二、知识点,（一）,两角和与差公式,（二）倍角,公式,,★,公式,=1-cos,2,α,2cos2α=1+cos,2,α,1+cos2α=2cos,2,α,1-cos2α=2sin,2,α,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),注意,1,、公式的变形如：,注意,2,、公式成立的条件（使等式两边都有意义）,.,C,α±β,：,S,α,±,β,：,C,2,α,：,S,2α,：,T,2,α,：,T,α,±,β,：,二、知识点（一）（二）倍角★公式 =,106,3,、倍角公式,,注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。

特别,返回,和角公式的一个重要变形,3、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过,107,其 它 公 式,(1),,1,、半角公式,,,,2,、万能公式,其 它 公 式(1)1、半角公式2、万能公式,108,,十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：,注意：,、 的,变形式,以及运用和差公式时要会,拼角,如：,要熟悉公式逆用！,十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：注意：,109,十三、一个化同角同函数名的常用方法：,如：,例,7,、求 的值,十四、二倍角公式：,十三、一个化同角同函数名的常用方法：如：例7、求,110,,降幂（扩角）公式,升幂（缩角）公式,和差化积公式：,积化和差公式：,,降幂（扩角）公式升幂（缩角）公式和差化积公式：积化和差公式：,111,例,4,．化简：,,解法,1,：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”例4．化简： 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角,112,例,4,．化简：,,解法,2,：从“幂”入手，利用“降幂公式”例4．化简： 解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”113,例,4,．化简：,,,,解法,3,：从“名”入手，“异名化同名”。

例4．化简： 解法3：从“名”入手，“异名化同名”114,例,4,．化简：,,解法,4,：从“形”入手，利用“配方法”例4．化简： 解法4：从“形”入手，利用“配方法”115,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、,116,微观直觉,,1,、以变角为主线，注意配凑和转化；,2,、见切割，想化弦；个别情况弦化切；,3,、见和差，想化积；见乘积，化和差；,4,、见分式，想通分，使分母最简；,5,、见平方想降幂，见“,1±cosα”,想升幂；,6,、见,sin2α,，想拆成,2sinαcosα,；,7,、见,sinα±cosα,或,,9,、见,cosα·cosβ·cosθ····,，先运用,sinα+sinβ=p,cosα+cosβ=q,8,、见,a sinα+b cosα,，想化为 的形式,若不行，则化和差,10,、见,cosα+cos(α+β)+cos(α+2 β )…,， 想乘,,想两边平方或和差化积,微观直觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；9、见cosα·c,117,总结：,多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；,,asinA+bcosA,提系数转换；,多角凑和差倍半可算；,难的问题隐含要显现；,任意变元可试特值算；,求值问题缩角是关键；,字母问题讨论想优先；,非特殊角问题想特角算；,周期问题化三个一再算；,适时联想联想是关键！,,总结：,118,,,,【,解题回顾,】,找出非特殊角和特殊角之间的关系,,,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“,四化,”：,多角同角化,异名同名化,切割弦化,特值特角互化,【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求,119,公式体系的推导：,首先利用两点间的距离公式推导,，,然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推导公式体系。

公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导,120,sin,²α,+cos,²α,=1,,sin²α+cos²α=1,121,二【述评】,1,、变为主线，抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是在训练中，强化变化意识是关键但题目不可以太难较特殊技巧的题目不做立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律2,、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）,寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）,分析综合（由因导果或执果索因）,实现转化二【述评】,122,1,、值域与最值问题,①,利用有界性,②,化二次函数型,③,运用合一变换,④,换元,1、值域与最值问题①利用有界性②化二次函数型③运用合一变换④,123,十七、,求值域问题,：,主要是将式子化成,同角度同函数名,的形式，再利用正弦,函数与余弦函数的,有界性,求解例,10,、求函数 的值域,有时还要运用到 的关系,十七、求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利,124,2,、对称性问题,3,、奇偶性与周期性问题,注意绝对值的影响,化为单一三角函数,2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题注意绝对值的影响化为单一,125,4,、单调性与单调区间,复后函数,单调性,注意负号,的处理,4、单调性与单调区间复后函数注意负号,126,5,、图像变换问题,①,相位变换、周期变换、振幅变换,②,求函数解析式,5、图像变换问题①相位变换、周期变换、振幅变换②求函数解析式,127,例,4:,已知函数,求：,⑴,函数的最小正周期；,⑵,函数的单增区间；,解：,⑴,⑵,,应用,：化同一个角同一个函数,例4:已知函数,128,例,4:,已知函数,求：,⑶,函数的最大值 及相应的,x,的值；,,⑷,函数的图象可以由函数 的图象经过怎 样的变换得到。

解：,⑶,⑷,图象向左平移 个单位,图象向上平移,2,个单位,,应用,：化同一个角同一个函数,例4:已知函数,129,例,5,：已知,解：,应用：,化简求值,例5：已知解：应用：化简求值,130,例,1,化简：,解,:,∵,∴,原式,=,例1化简：解: ∵∴原式=,131,高中数学必修四全册-课件,132,高中数学必修四全册-课件,133,练习题,练习题,134,例,2,,(1),已知,求证：,(2),已知,求,(1),证明：,∴,∴,化简得：,∴,∵,例2 (1)已知求证：(2)已知求(1)证明：∴∴化简得：,135,(2),已知,求,解,:,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,(2) 已知求解:∵∴∵∴∵∴∴,136,解：,应用：化简求值,例,5.,已知,,解：应用：化简求值例5.已知,137,∵,∴,∴,∵∴∴,138,2,、解,:,由,两边平方得,:,①,2,由,两边平方得,:,②,2,由,①,2,+②,2,得,:,即,所以,由,②,2,,－,①,2,得,:,2、解:由两边平方得:①2由两边平方得:②2由①2+②2得:,139,,,,,,,高中数学必修四全册-课件,140,,,,,,,高中数学必修四全册-课件,141,练习 已知,求,解,:,∵,∴,∵,∴,∴,∴,,练习 已知求解:∵∴∵∴∴∴,142,,高中数学必修四全册-课件,143,例,15.,（,06,陕西理,17,）已知函数,f,(,x,),,＝,sin(2,x,－,),＋,2sin,2,(,x,－,),(,x,∈,R,),．,（,1,）求函数,f,(,x,),的最小正周期；,（,2,）求使函数,f,(,x,),取最大值的,x,的集合．,例15. （06陕西理17）已知函数f(x),144,解：,f,(,x,),＝,sin(2,x,－,),＋,1,－,cos2(,x,－,),＝,sin(2,x,－,),－,cos(2,x,－,),＋,1,,＝,2 sin(2,x,－,),＋,1,．,,函数,f,(,x,),的最小正周期,T,,＝,,.,使函数,f,(,x,),取最大值的,x,的集合为,{,x,|,x,=,k,,,＋,,,k,∈,,Z,,},．,解：f(x)＝ sin(2x－ )＋ 1－ cos,145,5,、已知,f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos,2,(x+ )-,。

1,）化简,f(x),的解析式；,（,2,）若,0,≤,θ,≤,π,，求,θ,，使函数,f(x),为偶函数3,）在（,2,）成立的条件下，求满足,f(x)=1,，,x,∈,[-,π,,,π,],的,x,的集合解：,(1)f(x)=sin(2x+θ)+ [2cos,2,(x+ )-1],=sin(2x+θ)+ cos(2x+θ)=2cos(2x+θ- ),(2),当,θ,=,时,f(x),为偶函数3) 2cos2x=1 cos2x= x=,±,,或,x=,±,5、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+,146,2,、已知函数,f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a,(a,∈,R,a,常数,),1,）求函数,f(x),的最小正周期；,（,2,）若,x,∈,[- , ],时，,f(x),的最大值为,1,，求,a,的值解：（,1,）,f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a,= sinx+cosx+a,=2sin(x+ )+a,,∴,f(x),最小正周期,T=2,（,2,）,x [- , ],∴,x+,∈,[- , ],,∴,f(x),大,=2+a,∴,a=-1,2、已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x,147,例,3,、求函数 的值域,.,解：,又,∵-1≤sinx≤1,∴,原函数的值域为：,变题：,已知函数 （,a,为常,数，且,a,＜,0,），求该函数的最小值,.,当,-2≤,＜,0,时，,当 ＜,-2,时，,例3、求函数,148,3,、,函数,f(x)=1-。