2023年第二章第课时2.docx

第2课时　用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．知识点一　向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.知识点二　向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．知识点三　向量法判断面面垂直思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)2．两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)3．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)4．两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)类型一　线线垂直问题例1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.考点　向量法求解直线与直线的位置关系题点　方向向量与线线垂直证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得A，B，C，N，B1，∵M为BC中点，∴M.∴＝，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.考点　向量法求解直线与直线的位置关系题点　方向向量与线线垂直证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，∴·＝0.∴AC⊥BC1.类型二　证明线面垂直例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD平面A1BD.所以AB1⊥平面A1BD.反思与感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系．(2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直证明　如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,1)，·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以⊥，即PB1⊥PC.又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以⊥，即PB1⊥PA.又PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，所以PB1⊥平面PAC.类型三　证明面面垂直问题例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直证明　方法一　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1.又A1A∩AD＝A，A1A，AD平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．由得令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思与感悟　证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．由得令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.(2)解　由于点M在直线AE上，因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，即＝，解得λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.1．下列命题中，正确命题的个数为(　　)①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直答案　C解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)考点　向量法求解直线与直线的位置关系题点　向量法解决线线垂直答案　B解析　因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(　　)A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直答案　B解析　∵a∥μ，∴l⊥α.4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直答案　C解析　∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)考点　向量法求解直线与直线的位置关系题点　向量法解决线线垂直答案　是解析　如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝，SB＝，得B(0，，0)，S(0,0，2)，C，＝，＝.因为·＝0，所以SC⊥BC.空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90°.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，mα，nα，m与n相交，则l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面α，β(1)若l⊥α，lβ，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β证明两个平面的法向量互相垂直一、选择题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)A．－2 B．2 C．6 D．10考点　向量法求解直线与直线的位。