一阶RC电路分析.docx

WORD格式3.3 RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据鼓励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应鼓励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析3.3.1 RC 电路的零输入响应Si零输入响应 ------ 无电源鼓励，输入信号为零t=0+uC+uC〔0+〕所-在此条件下，由电容元件的初始状态U+产生的电路的响应uC-分析 RC电路的零输入响应， 实际上就是分析它的图3.3.1RC放电电路放电过程如图3.3.1(RC串联电路，电源电压U0) 换路前，开关 S 合在位置 2 上，电源对电容充电t=0 时将开关从位置 2 合到位置 1，使电路脱离电源， 输入信号为零 此时，电容已储有能量，其上电压的初始值 uC〔0+〕=U0；于是电容经过电阻 R 开场放电根据基尔霍夫电压定律，列出t ≥0 时的电路微分方程RCdu/dt+u C=03.3.1式中 i=Cdu C/dt令式 3.3.1的通解为uC=Aept代入 3.3.1并消去公因子 Aept得微分方程的特征方程RCp+1=0其根为 p=-1/RC于是式 3.3.1的通解为u-1t/RC=AeC定积分常数 A根据换路定那么，在 t=0+时， u 〔 0 〕=U，那么 A=U。

C+00所以 u C= U0 e-1t/RC = U0 e -1/τ------ 3.3.3RC专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式其随时间变化的曲线如图 3.3.2所示uCU0它的初始值为U0，按指数规律衰减而趋于36.8%U0零Oτ(a)式 3.3.3 中，τ=RC它具有时间的量纲，所以称电路 时间常数决定 uC衰减的快慢uC、uR、iU0uCOituRt-U 0/R0-U 0(b)图3.3.2 uC、u R、 i 的变化曲线专业资料整理WORD格式当 t= τ时， u C= U0e-1 =U0/2.718=36.8%U0可见τ等于电压uC衰减到初始值 U0的 36.8%所需的时间可以用数学证明， 指数曲线上任意点的 次切距的长度都等于τ以初始点为例〖图 3.3.2 〔a〕〗duC/dt=-U 0/ τ即过初始点的切线与横轴相交于τ从理论上讲，电路只有经过t= ∞的时间才能到达稳定但是，由于指数曲线开场变化较快，而后逐渐缓慢，如下表所列τ2τ3τ4τ5τ6τe-1e-2e-3e-4e-5e-6o.3680.1350.0500.0180.0070.002所以，实际上经过t=5 τ的时间，就足以认为到达稳态了。

这时-5=0.007 U =〔0.7%〕Uu =UeuCC000τ越大， uC衰减的越慢〔电容放电越慢〕如U036.8%U02Oτ 1τ2t图3.3.3τ愈大， u C衰减愈慢专业资料整理WORD格式图 3.3.3 所示因为在一定初始电压下，电容越大，那么储存的电荷越多；而电阻越大，那么放电电流越小这都促使放电变慢 因此，改变 R 或 C 的数值，也就是改变电路的时间常数，就可以改变电容放电的快慢至于 t ≥0 时电容的放电电流和电阻上的电压，也可求出即i=Cdu /dt=-U e-t/ τ/R ； u=Ri=-Ue-t/ τ上两式负号表示放电电流的实C0R0际方向与图 3.3.1 中所选定的参考方向相反所求 uC，u 及 i随时间变化的曲线画在一起，如图3.3.2〔b〕所示R例 3.3.1 电路如下列图，开关 S 闭合前电路处于稳态在t=0 时，将开关闭合，试求 t ≥0时电压 uC和电流1Ω2Ωii 、i及 ii Ci 2C126VSu CC3Ωt=05μ F3.3.2 RC电路的零状态响应专业资料整理WORD格式零状态响应 -----换路前电容元件未例3.3.1 图专业资料整理WORD格式储能， uC〔0-〕=0。

在此条件下，由电源鼓励所产生的电路的响应专业资料整理WORD格式分析零状态响应实际上是分析它的充电过程图 3.3.5 为 RC串联电路在 t=0 时将开关 S 合上，电路即与一恒定电压为 U 的电压源接通，对电容开场充电此时实为输入一阶跃电压 u，如图 3.3.6 〔 a〕所示它与恒定电压图 3.3.6 〔b〕不同，其表示式为iS+t=0++RuRUu--+CuC--图3.3.5RC充电电路专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式0t＜0u专业资料整理WORD格式u=U专业资料整理WORD格式UUt＞0根据基尔霍夫电压定律，列出t专业资料整理WORD格式≥ 0 时电路中电压和电流的微分方OtOt(a)〔b 〕图3.3.6 〔 a〕阶跃电压〔 b〕恒定电压专业资料整理WORD格式程U=Ri+u=RCdu/dt+uC-----3.3.7式中 i=Cdu /dtCC式 3.3.7的通解有两个局部：一个是特解 uC′，一个是补函数 uC″，即u-t/RCC= u C′+ u C″=U+Ae在 t=0 时， uC〔0+〕=0，那么积分常数 A=-U所以电容两端的电压 uC= U- Ue -t/RC = U〔1-e -t/RC〕= U〔1- e -t/τ〕所求电压 uC随时间变化的曲线如图3.3.7 所示。

uC′不随时间变化， uC″按指数规律衰减而趋于零因此，电压uC按指数u CuC′U规律随时间增长而趋于稳态值uC-163.2 %U当 t= τ时， u = U〔1- e〕= U〔1- 1/2.718〕τCOtuC″= U〔1- 0.368 〕=〔63.2%〕U-36 .8 %U从电路的角度来看，暂态过程中电容两端-U图 3.3.7u C的变化曲线的电压 uC可视为由两个分量相加而得：其一是uC′，即到达稳态时的电压，称稳态分量 ，它的变化规律和大小都与电源电压 U 有关；其二是 uC″，仅存在于暂态过程中，称为暂态分量 ，它的变化规律与电源电压无关，总是按指数规律衰减，但是它的大小与电源电压有关当电路中储能元件的能量增长到某一稳态值或衰减到某一稳态值或零专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式值时，电路的暂态过程随即终止，暂态分量也趋于零〔在上面所讨论的RC电路的零输入响应中，稳态分量为零值〕专业资料整理WORD格式至于 t ≥0 时电容充电电路中的电流，也可求出，即i=Cdu /dt=Ue-t/ τ/R由此 R 上的电压CuR=Ri=Ue-t/τuC, uR,iUuCU/RuR专业资料整理WORD格式CR及 i 的变化曲线如图 3.3.8所示。

iu , uOt综上所述，可将计算线性电路暂态过程的步图3.3.8 uC ,u R及 i 的变化曲线骤归纳如下：（ 1〕按换路后的电路列出微分方程；（ 2〕求微分方程的解，即稳态分量；（ 3〕求微分方程的补函数，即暂态分量；（ 4〕按照换路定那么确定暂态过程的初始值，从而定出积分常数分析较为复杂的电路的暂态过程时，也可以应用戴维宁定理或**定理将换路后的电路化简为一个简单电路〔如图3.3.5 〕，而后利用由上述经典法所得出的式子S例 3.3.2 如下列图的电路中， U=9V，R1=6kΩ，R1R2=3 k Ω， C=1000pF,t0UR2 CuCuC〔 0〕=0试求 t ≥0 时的电压 uCR0解：略ECuC3.3.3 RC电路的全响应专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式全响应 -----电源鼓励和电容元件的等效电路初始状态 uC〔0+〕均不为零时电路的响应 也就是零输入与零状态响应两者的叠加在图 3.3.。