北京市西城区抽样测试(数学理).doc

北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项1. 设集合，，，则CU等于A． B． C． D．2. “”是“”的A．充分不必要条件 √B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 若，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．正（主）视图ABCA1B1C11124. 如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正（主）视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A． B． C． D．5. 数列满足，，（），则等于A． B． C． D．结束开始输出否是（1）6. 在数列中，，，．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是 A．B．C． D．7. 设集合，集合是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为A． B． C． D． 8. 如图，在等腰梯形中，，且. ABDC设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则A．随着角度的增大，增大，为定值B．随着角度的增大，减小，为定值 C．随着角度的增大，增大，也增大D．随着角度的增大，减小，也减小二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 60807090100500分数频率/组距0.0250.0050.0459. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. 则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名. PABCD10. 在的展开式中，常数项是______.（结果用数值表示） 11. 如图，是圆的内接三角形，切圆于点，交圆于点.若，，，则________,________. 12. 圆（为参数）的半径为______, 若圆与直线相切，则______. 13. 设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_____.14. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值； ③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）ABCD如图，在四边形中，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.16.（本小题满分13分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数的分布列和期望.17.（本小题满分13分）ABCDD1A1B1C1如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知，函数．设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．19.（本小题满分14分）ADCBxOylEF如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点，.（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）设直线的斜率分别为，若，求的值.20.（本小题满分14分）在数列和中，，，，其中且，.（Ⅰ）若，，求数列的前项和；（Ⅱ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设，，试问在区间上是否存在实数使得.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678答案BACBACDB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. ， 12. ，或 13. 14. ②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） ABCD15、解：（Ⅰ）已知，由余弦定理得，解得， …………………3分由正弦定理，，所以. …………………5分. …………………7分（Ⅱ）在中，，所以，， …………………9分因为，所以， …………………11分所以，的面积. …………………13分 16、解：（Ⅰ）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为， …………………2分 则. …………………5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为. …………………6分， …………………7分， …………………9分， …………………10分， …………………11分所以的分布列为…………………12分. …………………13分17、（Ⅰ）证明：四棱柱中，，又面，所以平面， …………………2分是正方形，所以，又面，所以平面， …………………3分所以平面平面，所以平面. …………………4分（Ⅱ）解：是正方形，，因为平面，所以，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，. …………………5分在中，由已知可得，所以，ABCDD1A1B1C1xyz，， ………6分因为平面，所以平面，，又，所以平面，…………………7分所以平面的一个法向量为， …………………8分设与所成的角为，则， …………………9分所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………10分（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则,所以，，令，可得， …………………12分设二面角的大小为，则. 所以二面角的余弦值为. …………………13分18、解：（Ⅰ）对求导数，得，故切线的斜率为， …………………2分由此得切线的方程为． …………………4分令，得. …………………5分（Ⅱ）由，得. …………6分所以符合题意， ………………7分当时，记，．对求导数，得, …………………8分令，得.当时，的变化情况如下表：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，……10分从而函数的最小值为. …………………11分依题意， …………………12分解得，即的取值范围是. …………………13分综上，的取值范围是或.19、解：（Ⅰ）设，由得，， ，， …………………2分由已知，又，所以 …………………4分所以，即， …………………5分所以，解得， …………………6分符合题意， 所以，所求直线的方程为或. …………………7分（Ⅱ），，，所以， …………………8分平方得， …………………9分又，所以，同理，代入上式，计算得，即，…………………12分所以，解得或， …………………13分因为，，所以异号，故舍去，所以. …………………14分20、解：（Ⅰ）因为，所以，， …………………1分由，得，所以， …………………3分因为且，所以， …………………4分所以 ，是等差数列，所以数列的前项和. …………………5分（Ⅱ）由已知，假设，，成等比数列，其中，且彼此不等， 则， …………………6分所以，所以，若，则，可得，与矛盾； ………7分若，则为非零整数，为无理数，所以为无理数，与是整数矛盾. …………………9分所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. （Ⅲ）设存在实数，使，设，则，且，设，，则，所以，因为，且，所以能被整除. …………………10分（1）当时，因为， ，所以； …………………11分（2）当时，，由于，所以，，所以，当且仅当时，能被整除. …………………12分（3）当。