(最终版)港航2011级桩基工程第六章、第七章ppt_图文.ppt

4.桩基础(最终版)港航2011级桩基工程第六章、第七章ppt_图文￿￿￿￿Still￿waters￿run￿deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深￿￿￿￿Where￿there￿is￿life,￿there￿is￿hope有生命必有希望有生命必有希望第六章第六章 水平荷载作用下桩和水平荷载作用下桩和桩基的性状和承载力桩基的性状和承载力一、斜桩、叉桩、竖桩在水平力作用下的工作特点一、斜桩、叉桩、竖桩在水平力作用下的工作特点 当竖直桩有一定入土深度，保证地基土对桩产生一定的弹性当竖直桩有一定入土深度，保证地基土对桩产生一定的弹性抗力和嵌固作用，直桩也能承受一定的水平力抗力和嵌固作用，直桩也能承受一定的水平力 斜桩分为正斜桩与反斜桩斜桩分为正斜桩与反斜桩正斜桩承受的水平力最大，直桩正斜桩承受的水平力最大，直桩次之，反斜桩最小次之，反斜桩最小 叉桩叉桩叉桩叉桩当桩轴线与铅垂线的夹角从当桩轴线与铅垂线的夹角从0°增加到增加到45°时，叉桩中时，叉桩中的桩从的桩从受弯作用受弯作用逐步过渡到逐步过渡到轴向拉、压作用轴向拉、压作用(指同时作用指同时作用)。

一般一般情况下，叉桩所受的水平力大部分由情况下，叉桩所受的水平力大部分由轴向力轴向力轴向力轴向力（受拉与受压）（受拉与受压）（受拉与受压）（受拉与受压）承承担，确定桩的水平承载力时一般只考虑担，确定桩的水平承载力时一般只考虑轴向承载力轴向承载力轴向承载力轴向承载力6.1 概概 述述 二、桩的相对刚度、相对桩长及分类二、桩的相对刚度、相对桩长及分类 1 1 1 1、刚性桩、刚性桩、刚性桩、刚性桩：：：： 桩径较大、桩的入土深度较小、土质较差时，桩的抗弯刚度桩径较大、桩的入土深度较小、土质较差时，桩的抗弯刚度大大超过地基刚度，桩的相对刚度较大大大超过地基刚度，桩的相对刚度较大在水平作用下桩身如在水平作用下桩身如刚体转动刚体转动其水平承载力一般由桩侧土的强度控制其水平承载力一般由桩侧土的强度控制其水平承载力一般由桩侧土的强度控制其水平承载力一般由桩侧土的强度控制 2 2 2 2、弹性桩、弹性桩、弹性桩、弹性桩( ( ( (或柔性桩或柔性桩或柔性桩或柔性桩) ) ) )：：：： 桩径较小、桩的入土深度较大、土质较密实时，桩的抗弯刚桩径较小、桩的入土深度较大、土质较密实时，桩的抗弯刚度与地基刚度相比，桩的相对刚度较小。

度与地基刚度相比，桩的相对刚度较小在水平作用下桩身如在水平作用下桩身如竖放在地基中的弹性地基梁，桩的变形呈波状曲线，竖放在地基中的弹性地基梁，桩的变形呈波状曲线，并沿桩长并沿桩长向深处逐渐消失向深处逐渐消失其水平承载力一般由桩身材料的抗弯强度与其水平承载力一般由桩身材料的抗弯强度与其水平承载力一般由桩身材料的抗弯强度与其水平承载力一般由桩身材料的抗弯强度与桩侧土的抗力所控制桩侧土的抗力所控制桩侧土的抗力所控制桩侧土的抗力所控制弹性桩又分为弹性桩又分为中长桩中长桩中长桩中长桩与与长桩长桩长桩长桩6.1 概概 述述 二、桩的相对刚度、相对桩长及分类二、桩的相对刚度、相对桩长及分类（（1）基本概念：）基本概念： 水平地基反力水平地基反力 p p （或称抗力）（或称抗力） ——当桩身产生侧向位移当桩身产生侧向位移 y y 其其单位面积单位面积受到地基土的反力作用，称为受到地基土的反力作用，称为地基反力或地基抗力地基反力或地基抗力 (单位：单位：kN/m2) 即：即： p p = = k kh h y y ( (或者或者或者或者 p p = = k y k y ) ) 水平地基反力系数水平地基反力系数 k kh h （或称抗力系数）（或称抗力系数）（或用（或用 k k 表示）表示） —— 地基土某铅垂面上地基土某铅垂面上单位面积单位面积产生产生单位水平位移单位水平位移 所需施加的所需施加的力力。

(单位：单位：kN/m3) 即即 k kh h ( (或或或或k k) = ) = p p/ /y y 6.1 6.1 概概 述述 二、桩的相对刚度、相对桩长及分类二、桩的相对刚度、相对桩长及分类 水平地基反力系数水平地基反力系数kh （或（或 k ）） kh (或或k) = p/y 当水平地基反力系数当水平地基反力系数kh 沿深度沿深度沿深度沿深度x x 不变，不变，不变，不变，即即 kh为某一常数时为某一常数时 即即 k kh h = = c c ，，，， p p = = c yc y 当水平地基反力系数当水平地基反力系数 k kh h 沿深度沿深度沿深度沿深度 x x 变化变化变化变化时，有时，有 k kh h = = m xm x 或者或者或者或者 k kh h 为其它表示形式为其它表示形式为其它表示形式为其它表示形式 其中：其中： mm 为地基反力系数随深度增加的比例系数为地基反力系数随深度增加的比例系数 （（kNkN/ /mm4 4）） 则则 p p = = k kh h y y = = m xm x y y6.1 6.1 概概 述述 二、桩的相对刚度、相对桩长及分类二、桩的相对刚度、相对桩长及分类 (2)桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数T T ：：水平地基反力系数水平地基反力系数沿深度不变沿深度不变沿深度不变沿深度不变的地的地 基基 T = 1/β (β称为相对柔度系数，单位为称为相对柔度系数，单位为1/m)为为: (3)桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数桩的相对刚度系数T T：：水平地基反力系数水平地基反力系数随深度线性增加随深度线性增加随深度线性增加随深度线性增加的的地基，地基，T = 1/a ( a 称为相对柔度系数，单位为称为相对柔度系数，单位为1/m) 为为: 式中：式中：EI— 桩身抗弯刚度，对于钢筋砼桩，取桩身抗弯刚度，对于钢筋砼桩，取 EI   0.85Ec I0 (建工建工) 或或 0.80Ec I0 (路桥路桥)，其中，其中Ec为砼的弹模，为砼的弹模，I0为桩身截面惯性矩；为桩身截面惯性矩； B —桩受力面宽度或桩径；桩受力面宽度或桩径；b0 —考虑桩空间受力计算宽度，确定方法见后。

考虑桩空间受力计算宽度，确定方法见后 ( T T 的单位为的单位为的单位为的单位为m) m) ( ( T T 的单位为的单位为的单位为的单位为m) m) 或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值或称相对刚度特征值k kh h = = m xm x 二、桩的相对刚度、相对桩长及分类二、桩的相对刚度、相对桩长及分类 (4) (4) (4) (4) 相对桩长相对桩长相对桩长相对桩长（（为无量纲数为无量纲数）） 桩打入土中的深度桩打入土中的深度 L Lt t 与相对刚度与相对刚度T T 的比值的比值 Z Zmaxmax 称为相对桩称为相对桩长长 ( Z Zmamax为无量纲数，为无量纲数，)即：即： Z Zmax max = = L Lt t / / T T 刚性桩与弹性桩刚性桩与弹性桩刚性桩与弹性桩刚性桩与弹性桩：根据桩的相对刚度系数：根据桩的相对刚度系数T 与入土深度与入土深度 Lt 的关的关系划分；也可根据桩的系划分；也可根据桩的相对桩长相对桩长 Z Zmax max 来来划分划分 。

弹性长桩弹性长桩 弹性桩（中长桩）弹性桩（中长桩） 刚性桩刚性桩 反力计算用反力计算用m 法：法： Lt ≥ 4T 4T > Lt ≥ 2.5T Lt ≤ 2.5 T （（p = mxy ）） 反力计算用反力计算用常数法：常数法： Lt ≥ 3 T 3T > Lt ≥ 1.4 T Lt ≤ 1.4T （（p = cy ））6.1 6.1 概概 述述 波浪荷载属于循环荷载，桩的波浪荷载属于循环荷载，桩的水平位移加大水平位移加大，土的，土的地基反地基反力系数降低力系数降低，，水平承载力降低水平承载力降低 研究表明：在循环荷载作用下研究表明：在循环荷载作用下 1. 浅层土的土抗力降低较多，深层土的土抗力降低较少；浅层土的土抗力降低较多，深层土的土抗力降低较少； 2. 粘性土的土抗力降低较多，砂性土的土抗力降低较少；粘性土的土抗力降低较多，砂性土的土抗力降低较少； 3. 土抗力随着循环次数的增加而降低，但循环次数达一定数土抗力随着循环次数的增加而降低，但循环次数达一定数值以后（值以后（40~50次）后，次）后，P — Y Y（（桩的水平变形桩的水平变形桩的水平变形桩的水平变形）曲线趋于稳定。

曲线趋于稳定 4. 在双向荷载作用下桩的承载力比单向循环荷载作用下的承在双向荷载作用下桩的承载力比单向循环荷载作用下的承载力载力低但在加载方向的桩列上，循环荷载作用下的前、后桩低但在加载方向的桩列上，循环荷载作用下的前、后桩可按单桩考虑可按单桩考虑三、波浪荷载作用下桩的工作特点三、波浪荷载作用下桩的工作特点 6.1 6.1 概概 述述n n作用机理作用机理作用机理作用机理：：水平荷载水平荷载( (力和弯矩）作用下，桩身产生横向位移力和弯矩）作用下，桩身产生横向位移或挠曲变形，并挤压桩侧土体，同时桩侧土反作用于桩，产生或挠曲变形，并挤压桩侧土体，同时桩侧土反作用于桩，产生侧向土抗力，桩土共同作用侧向土抗力，桩土共同作用 n n 破坏模式破坏模式破坏模式破坏模式 üü刚性桩刚性桩刚性桩刚性桩 ( L Lt t ≤ 2.5 ≤ 2.5 T T )：：桩身刚体转桩身刚体转 动破坏，承载力主要由桩的水平位动破坏，承载力主要由桩的水平位 移和倾斜控制移和倾斜控制 üü弹性桩弹性桩弹性桩弹性桩( L Lt t ≥ ≥2.52.5 T T )：：桩身发生扰曲桩身发生扰曲 变形，破坏时桩身某点弯矩超过截变形，破坏时桩身某点弯矩超过截 面抵抗矩或土体屈服失稳，面抵抗矩或土体屈服失稳，承载力承载力承载力承载力 由桩身水平位移及最大弯矩值控制由桩身水平位移及最大弯矩值控制由桩身水平位移及最大弯矩值控制由桩身水平位移及最大弯矩值控制。

6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点 桩在横向荷载作用下，桩身产生横向位移或挠曲，并与桩在横向荷载作用下，桩身产生横向位移或挠曲，并与桩侧土协调变形桩身对土产生侧向压应力，同时桩侧土反桩侧土协调变形桩身对土产生侧向压应力，同时桩侧土反作用于桩，产生侧向土抗力桩土共同作用，互相影响作用于桩，产生侧向土抗力桩土共同作用，互相影响 为了确定桩的横轴向承载力，应对桩在横向荷载作用下为了确定桩的横轴向承载力，应对桩在横向荷载作用下的工作性状和破坏机理作一分析通常有下列两种情况：的工作性状和破坏机理作一分析通常有下列两种情况：6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算 第一种情况，第一种情况，当桩的刚当桩的刚度远大于土层刚度，桩的相度远大于土层刚度，桩的相对刚度较大时，受横向力作对刚度较大时，受横向力作用时桩身挠曲变形不明显，用时桩身挠曲变形不明显，如同刚体一样围绕桩轴某一如同刚体一样围绕桩轴某一点转动，如图点转动，如图示示 a) )所示。

所示 基桩的水平向承载力容基桩的水平向承载力容许值可由桩侧土的强度及稳许值可由桩侧土的强度及稳定性决定定性决定图图示示 桩在横向力作用下变形示意图桩在横向力作用下变形示意图 a) )刚性桩刚性桩；；（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算 第二种情况，第二种情况，桩的相对刚度桩的相对刚度较小时，较小时， 由于桩侧土有足够大由于桩侧土有足够大的抗力，桩身发生挠曲变形，其的抗力，桩身发生挠曲变形，其侧向位移随着入土深度增大而逐侧向位移随着入土深度增大而逐渐减小，以至达到一定深度后，渐减小，以至达到一定深度后，几乎不受荷载影响形成一端嵌几乎不受荷载影响形成一端嵌固的地基梁，桩的变形呈如图固的地基梁，桩的变形呈如图b所示的波状曲线所示的波状曲线 基桩的水平承载力容许值将基桩的水平承载力容许值将由桩身材料的抗剪强度及抗弯强由桩身材料的抗剪强度及抗弯强度或侧向变形条件决定度或侧向变形条件决定图图示示 桩在横向力作用下变形示意图桩在横向力作用下变形示意图b) )弹性桩弹性桩6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点（一）在横向荷载作用下，桩的破坏机理和特点（二）单桩横向承载力容许值的确定方法（二）单桩横向承载力容许值的确定方法1 1、单桩水平静载试验、单桩水平静载试验、单桩水平静载试验、单桩水平静载试验 桩的水平静载试验是确定桩的横轴向承载力的较可靠的桩的水平静载试验是确定桩的横轴向承载力的较可靠的方法，也是常用的研究分析试验方法。

试验是在现场进行，方法，也是常用的研究分析试验方法试验是在现场进行，所确定的单桩横轴向承载力和地基土的水平抗力系数最符合所确定的单桩横轴向承载力和地基土的水平抗力系数最符合实际情况实际情况如果预先已在桩身埋有量测元件，则可测定出桩如果预先已在桩身埋有量测元件，则可测定出桩身应力变化，并由此求得桩身弯矩分布身应力变化，并由此求得桩身弯矩分布6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算（（（（1 1 1 1）试验装置）试验装置）试验装置）试验装置图示图示图示图示 桩水平静载试验装置示意桩水平静载试验装置示意桩水平静载试验装置示意桩水平静载试验装置示意1 1）加荷系统：）加荷系统： 千斤顶、试桩千斤顶、试桩千斤顶、试桩千斤顶、试桩 2 2）位移观测）位移观测：：百分表百分表百分表百分表试验桩试验桩试验桩试验桩锚锚锚锚 桩桩桩桩15 A) 每级荷载大小每级荷载大小 每级荷载约为每级荷载约为预估预估预估预估水平极限承载力的（水平极限承载力的（1/10-1/15）；）； B) 读数方法读数方法 每级加荷后恒载每级加荷后恒载 4min 测读桩顶水平位移，然后卸载测读桩顶水平位移，然后卸载 至零，停至零，停 2min 测读残余水平位移，如此循环测读残余水平位移，如此循环 5 次，次， 再施加下一级荷载。

再施加下一级荷载 C) 终止加载条件终止加载条件 （（1）桩身折断；）桩身折断； （（2）桩顶水平位移超过）桩顶水平位移超过30－－40mm ；； （（3）桩侧地表出现明显裂缝或隆起桩侧地表出现明显裂缝或隆起2 2）试验方法）试验方法）试验方法）试验方法n 单桩水平静载荷试验单桩水平静载荷试验单桩水平静载荷试验单桩水平静载荷试验试验成果（单桩水平承载力）的确定见有关文献及规范试验成果（单桩水平承载力）的确定见有关文献及规范试验成果（单桩水平承载力）的确定见有关文献及规范试验成果（单桩水平承载力）的确定见有关文献及规范6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算 此法是根据某些假定而建立的理论（如弹性地基梁理此法是根据某些假定而建立的理论（如弹性地基梁理论），计算桩在横向荷载作用下，论），计算桩在横向荷载作用下，桩身内力桩身内力与与位移位移及及桩对桩对土的作用力土的作用力，验算桩身材料和桩侧土的强度与稳定以及桩，验算桩身材料和桩侧土的强度与稳定以及桩顶或墩台顶位移等，从而可评定桩的横轴向承载力容许值。

顶或墩台顶位移等，从而可评定桩的横轴向承载力容许值 6.2 在水平荷载作用下在水平荷载作用下单桩受力特性及计算单桩受力特性及计算（二）单桩横向承载力容许值的确定方法（二）单桩横向承载力容许值的确定方法（二）单桩横向承载力容许值的确定方法（二）单桩横向承载力容许值的确定方法2 2、分析计算法（本章重点介绍）、分析计算法（本章重点介绍）、分析计算法（本章重点介绍）、分析计算法（本章重点介绍）分析计算法具体内容见后几节分析计算法具体内容见后几节6.4 弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力（教材第（教材第（教材第（教材第3 3 3 3节）节）节）节）一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 （一）文克尔地基模型与弹性地基梁（一）文克尔地基模型与弹性地基梁（一）文克尔地基模型与弹性地基梁（一）文克尔地基模型与弹性地基梁 文克尔地基模型是由文克尔（文克尔地基模型是由文克尔（E.Winkler）于）于1867年提出年提出的该模型假定地基土表面上任一点处的变形的该模型假定地基土表面上任一点处的变形 s si i 与该点所承与该点所承受的压力强度受的压力强度 p pi i 成正比，而与其他点上的压力无关，即成正比，而与其他点上的压力无关，即pi = kh si 6.3 极限地基反力法计算桩内力极限地基反力法计算桩内力（略）（略） 也称极限平衡法。

该法认为地基反力也称极限平衡法该法认为地基反力 p 只是桩入土深度只是桩入土深度的函数，与桩的挠度的函数，与桩的挠度 y 没有直接的关系没有直接的关系 文克尔地基模型是把地基视为在刚性基座上由一系列侧文克尔地基模型是把地基视为在刚性基座上由一系列侧面无摩擦的土柱组成，并用一系列独立的弹簧来模拟，如后面无摩擦的土柱组成，并用一系列独立的弹簧来模拟，如后图所示：图所示： p pi i = = k kh h s si i 其特征是地基仅在荷载作用区域下发生与压力成正比例其特征是地基仅在荷载作用区域下发生与压力成正比例的变形，在区域外的变形为零的变形，在区域外的变形为零基底反力分布图形与地基表基底反力分布图形与地基表基底反力分布图形与地基表基底反力分布图形与地基表面的竖向位移图形相似面的竖向位移图形相似面的竖向位移图形相似面的竖向位移图形相似显然当基础的刚度很大，受力后不显然当基础的刚度很大，受力后不发生挠曲，则按照文克尔地基的假定，基底反力成直线分布，发生挠曲，则按照文克尔地基的假定，基底反力成直线分布，如后图所示。

受中心荷载时，则为均匀分布如后图所示受中心荷载时，则为均匀分布将设置在文克将设置在文克将设置在文克将设置在文克尔地基上的梁称为弹性地基梁尔地基上的梁称为弹性地基梁尔地基上的梁称为弹性地基梁尔地基上的梁称为弹性地基梁6.4 弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力 图示图示图示图示 文克尔地基模型示意文克尔地基模型示意文克尔地基模型示意文克尔地基模型示意侧面无摩阻力的侧面无摩阻力的土柱弹簧体系土柱弹簧体系柔性基础下的柔性基础下的弹簧地基模型弹簧地基模型刚性基础下刚性基础下的弹簧地基的弹簧地基 桩顶在受到轴向力、横轴向力和弯矩作用时，如果略去轴桩顶在受到轴向力、横轴向力和弯矩作用时，如果略去轴向力影响，桩就可以看作一个设置在弹性地基中的向力影响，桩就可以看作一个设置在弹性地基中的竖梁竖梁竖梁竖梁（若作用（若作用于杆的力或弯矩均与杆轴线垂直，并使该杆发生弯曲，这杆就称于杆的力或弯矩均与杆轴线垂直，并使该杆发生弯曲，这杆就称为梁）根据文克尔模型则桩可视为为梁）根据文克尔模型则桩可视为弹性地基上的梁弹性地基上的梁弹性地基上的梁弹性地基上的梁二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 6.4 弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力图图4-25 桩身受力图示桩身受力图示yxH0xxxxxyy0x1pxy如图如图 桩身变形及受力桩身变形及受力如图在桩上取出微段如图在桩上取出微段d dx x，，并规定图示并规定图示内力方向为内力方向为M、、Q的正方向，根据材的正方向，根据材料力学建立桩轴线的弯曲微分方程：料力学建立桩轴线的弯曲微分方程：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 MM + dM + dQdx式中：式中：p (x,y) — 单位面积上桩侧土抗力，是单位面积上桩侧土抗力，是 x x、、、、y y 的函数；的函数； b b0 0 — 桩侧土抗力的桩侧土抗力的计算宽度计算宽度计算宽度计算宽度（（（（大于或等于桩截面宽度或桩径大于或等于桩截面宽度或桩径大于或等于桩截面宽度或桩径大于或等于桩截面宽度或桩径））））；； y — 桩的水平变位；桩的水平变位； x — 地面以下深度；地面以下深度； α、、m、、i、、n — 待定常数或指数。

待定常数或指数其中荷载其中荷载 q q 一般为一般为0n n 的取值与桩身侧向位移的大小有关根据的取值与桩身侧向位移的大小有关根据 n n 的的 取值将弹性取值将弹性 地基反力法分为两类：地基反力法分为两类：线弹性线弹性线弹性线弹性与与非线弹性非线弹性非线弹性非线弹性 地基反力法地基反力法 (2) 地基反力地基反力 采用采用“m”m”法确定时，法确定时，当桩径当桩径当桩径当桩径 D D 或宽度或宽度或宽度或宽度 B B 大于大于大于大于 1 m1 m b b0 0= = B B + 1 (+ 1 (矩形桩矩形桩矩形桩矩形桩) ) 或或或或 b b0 0= 0.9×(= 0.9×(D D + 1 ) (+ 1 ) (圆形桩圆形桩圆形桩圆形桩) ) (3) (3) 地基反力地基反力 采用采用“m”m”法确定时，法确定时，当桩径当桩径当桩径当桩径 D D 或宽度或宽度或宽度或宽度 B B 小于小于小于小于 1 m 1 m b b0 0 = 1.5= 1.5B B + 0.5 (+ 0.5 (矩形桩矩形桩矩形桩矩形桩) ) 或或或或 b b0 0= 0.9×( 1.5= 0.9×( 1.5D D + 0.5 ) (+ 0.5 ) (圆形桩圆形桩圆形桩圆形桩) )b0 ≥≥桩截面宽度桩截面宽度B 或桩径或桩径 DB B 或或或或 D D(1)当地基反当地基反力系数力系数 k kh h 采采用常数时，用常数时，取取 b b0 0 = = B B如图在桩上取出微段如图在桩上取出微段d dx x，，桩侧土抗力计桩侧土抗力计算宽度为算宽度为b b0 0，，，， 并规定图示内力方向为并规定图示内力方向为 M、、Q 的正方向，根据微元体静力平衡条件：的正方向，根据微元体静力平衡条件：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解MM + dM + dQdx若令若令可得可得可建立桩轴线的弯曲（或挠曲）微分方程：可建立桩轴线的弯曲（或挠曲）微分方程：由材料力学公式：由材料力学公式： 当桩身侧向位移较大时，当桩身侧向位移较大时，桩身任一点的土抗力与桩身侧向桩身任一点的土抗力与桩身侧向位移之间按非线性关系考虑。

位移之间按非线性关系考虑即即 n n≠ ≠ 1 1，，，，此时为此时为非线弹性地基非线弹性地基非线弹性地基非线弹性地基反力法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 1 1、、、、线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法 由于工程中桩在地面处的允许水平位移一般为由于工程中桩在地面处的允许水平位移一般为0.6 ~ 1.0cm，，这样桩身任一点的土抗力与桩身侧向位移之间可视为线性关系，这样桩身任一点的土抗力与桩身侧向位移之间可视为线性关系，取取 n = n = 1 1此时为此时为线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法p = kp = kh h( (x x) ) y y 其中对其中对其中对其中对 k kh h( (x x) ) 的分的分的分的分析计算又分为析计算又分为析计算又分为析计算又分为 “ 常数常数常数常数”法法法法 、、“ m m ”法法法法 、、“ K ”法法 、、“ C C 值值值值”法法法法2 2、、、、非线弹性地基反力法非线弹性地基反力法非线弹性地基反力法非线弹性地基反力法港工、水利、道桥等桩身侧向位移与土抗力多为线弹性关系港工、水利、道桥等桩身侧向位移与土抗力多为线弹性关系港工、水利、道桥等桩身侧向位移与土抗力多为线弹性关系港工、水利、道桥等桩身侧向位移与土抗力多为线弹性关系6.4 弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 1 1、、、、线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法线弹性地基反力法 求解桩内力求解桩内力( MM、、、、Q Q )的方法有的方法有三种三种三种三种：：一种一种一种一种是直接用是直接用数学方法数学方法解桩在受荷后的解桩在受荷后的弹性挠曲微分方程弹性挠曲微分方程弹性挠曲微分方程弹性挠曲微分方程，再从力的平衡条件求出桩，再从力的平衡条件求出桩各部分的内力和位移（这是当前广泛采用的一种）；各部分的内力和位移（这是当前广泛采用的一种）；另一种另一种另一种另一种是是将桩分成有限段，用差分式近似代替桩的弹性挠曲微分方程中将桩分成有限段，用差分式近似代替桩的弹性挠曲微分方程中的各阶导数式而求解的的各阶导数式而求解的有限差分法有限差分法有限差分法有限差分法（（属于数学上的近似属于数学上的近似属于数学上的近似属于数学上的近似）；）；再再再再一种一种一种一种则是将桩划分为有限单元的离散体，然后根据力的平衡和则是将桩划分为有限单元的离散体，然后根据力的平衡和位移协调条件，解得桩的各部分内力和位移的位移协调条件，解得桩的各部分内力和位移的有限元法有限元法有限元法有限元法（（属于属于属于属于力学上或者物理上的近似力学上或者物理上的近似力学上或者物理上的近似力学上或者物理上的近似）。

6.4 6.4 弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力弹性地基反力法计算桩内力3 3、地基反力系数、地基反力系数、地基反力系数、地基反力系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 k kh h 大小与地基土的类别、物理力学性质有关大小与地基土的类别、物理力学性质有关k kh h 值是通过值是通过对对试桩试桩试桩试桩在不同类别土质及不同深度进行实测在不同类别土质及不同深度进行实测 y yx x 及及 p pxy xy 后反算后反算得到 图示图示 目前国内采用的地基系数分布规律的几种不同图式目前国内采用的地基系数分布规律的几种不同图式xxxpxykh= mmxkh= K Kkh=c cx0.5kh=K K0 0t1 1 1 1）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数 k kh h 随深度呈正比例增加：随深度呈正比例增加：随深度呈正比例增加：随深度呈正比例增加： “ “mm” ”法法法法 如图如图 a）所示，即）所示，即 kh = m x式中：式中：mm —— 非岩石地基水平抗力系数的比例系数非岩石地基水平抗力系数的比例系数（（kN/m4）。

其值可根据试桩实测决定，无试桩资料）其值可根据试桩实测决定，无试桩资料时，可参考教材表时，可参考教材表6-3-3或见或见后后后后表表表表 a a 中的数值选用中的数值选用对于岩石地基抗力系数对于岩石地基抗力系数k0，认为不随岩层面的埋藏，认为不随岩层面的埋藏深度而变深度而变，可参考见后，可参考见后表表表表b b 按此图式来计算桩在外荷载作用下，桩各截面按此图式来计算桩在外荷载作用下，桩各截面内力的方法通常简称为内力的方法通常简称为“ mm”法法法法3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 kh= m m x二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 kh = m x二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 《《《《港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范》》》》2012:2012:3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 关于关于关于关于“ “mm” ”值值值值 的说明的说明的说明的说明 a）由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即）由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即 m 值随荷值随荷载与位移增大而有所减少，载与位移增大而有所减少，m 值的确定要与桩的实际荷载相适应。

值的确定要与桩的实际荷载相适应一般结构在地面处最大位移不超过一般结构在地面处最大位移不超过 10 mm，对位移敏感的结构及，对位移敏感的结构及桥梁结构为桥梁结构为6 mm位移较大时，应适当降低表列位移较大时，应适当降低表列 m 值 b）当基础侧面为数种不同土层时，将地面以下）当基础侧面为数种不同土层时，将地面以下hm 深度内各深度内各土层的土层的 mmi i，，根据换算前后根据换算前后地基系数图形面积地基系数图形面积地基系数图形面积地基系数图形面积在深度在深度hm 内相等的内相等的原则原则，，换算为一个当量换算为一个当量 m 值值，，作为整个深度的作为整个深度的 m 值 c）桩底面地基土）桩底面地基土竖向地基系数竖向地基系数竖向地基系数竖向地基系数 C C0 0 为：为：C0 = m0 h 3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 2 2）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数k kh h自地面沿深度成曲线增加自地面沿深度成曲线增加自地面沿深度成曲线增加自地面沿深度成曲线增加: “ : “ K K ” ”法法法法如图如图b）所示）所示,当深度达到桩挠曲曲线第一个零点当深度达到桩挠曲曲线第一个零点,后，地基系数不再增加而为常数。

在深度后，地基系数不再增加而为常数在深度 t 以下以下时：时： kh= K 式中：式中：K（（kN/m3）值可按实测确定按此假定计）值可按实测确定按此假定计算桩在外荷载作用下各截面内力的方法，通常简算桩在外荷载作用下各截面内力的方法，通常简称为称为“ K ”法3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 kh= K K二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 3 3）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数 k kh h 随深度呈抛物线规律增加随深度呈抛物线规律增加随深度呈抛物线规律增加随深度呈抛物线规律增加: : “ “C C ” ”法法法法 如图如图c c）所示）所示, ,当入土深度当入土深度 x 达达 4 T ( 即即4 /α)后后为常数，在入土深度为常数，在入土深度 x 在在4 T 之前桩段，之前桩段， 则则 k kh h = = c c x x 0.50.5 式中：式中：c ——地基系数的比例系数（地基系数的比例系数（kN/m3.53.5）） 其值可根据试验实测确定。

其值可根据试验实测确定 按此假定计算桩在外荷载作用下各截面内按此假定计算桩在外荷载作用下各截面内力的方法，通常简称为力的方法，通常简称为“C C ”法3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 kh= c c x 0.5二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 4 4）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数）认为地基系数k kh h 随深度为均匀分布，不变化随深度为均匀分布，不变化随深度为均匀分布，不变化随深度为均匀分布，不变化: : : : “ “ 常数常数常数常数” ”法法法法 如图如图d）所示，即：）所示，即： k kh h = = K K0 0式中：式中： K0 （（kN/m3）为常数 按此假定计算桩在外荷载作用下各截按此假定计算桩在外荷载作用下各截面内力的方法，通常简称为面内力的方法，通常简称为“ 常数常数”法。

法3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 kh=K K0 0二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解  上述四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，上述四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果有所差异实测资料分析表明，其计算结果有所差异实测资料分析表明，对桩的变位和内对桩的变位和内力主要影响的为上部土层，故宜根据土质特性来选择恰当的力主要影响的为上部土层，故宜根据土质特性来选择恰当的计算方法计算方法 对于超固结黏土和地面为硬壳层的情况，可考虑选用对于超固结黏土和地面为硬壳层的情况，可考虑选用“常数常数”法；法；对于其他土质一般可选用对于其他土质一般可选用对于其他土质一般可选用对于其他土质一般可选用“ “ mm” ”法或法或法或法或“ “C C ” ”法法法法；当；当桩径大、容许位移小时宜选用桩径大、容许位移小时宜选用“ C ”法由于“ K ”法误差法误差较大，现较少采用。

较大，现较少采用3 3、地基系数、地基系数、地基系数、地基系数 k kh h 分布规律分布规律分布规律分布规律 二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 （一）（一）（一）（一） 常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法）对于以上对于以上 4 阶阶常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程，可取，可取 b b0 0 = = B B，，求解方程得其通解：求解方程得其通解：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 对于超固结黏土和地面为硬壳层的情况，可选用对于超固结黏土和地面为硬壳层的情况，可选用“常数常数”法；法；1. 1. 计算公式及其推导计算公式及其推导计算公式及其推导计算公式及其推导将将 p(x,y) = Kh y 代入前式，有代入前式，有式中：式中：c1、、c2、、c3、、c4 — 由边界条件确定的待定常数；由边界条件确定的待定常数； β — 相对柔度系数，单位为相对柔度系数，单位为 1/m。

（一）（一）（一）（一） 常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法） 根据以上桩轴线弯曲微分方程的通解根据以上桩轴线弯曲微分方程的通解 y yx x，可求桩身任意，可求桩身任意截面（截面（x x 处处处处）的）的 转角或内力：转角或内力：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 （一）（一）（一）（一） 常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法）常数法（张氏法）二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 代入边界条件得：代入边界条件得：c1 = c2= 0令令 M0/H0 = h0（即（即M0 = h0 H0 ）为假设高度，则位移曲线为：）为假设高度，则位移曲线为：由此得地面位移由此得地面位移 y0 、土中最大弯矩、土中最大弯矩 Mm 及其深度位置及其深度位置 lm（二）（二）（二）（二） m m 法（即水平荷载作用下弹性桩的法（即水平荷载作用下弹性桩的法（即水平荷载作用下弹性桩的法（即水平荷载作用下弹性桩的mm法解答）法解答）法解答）法解答）二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 对于正常固结粘性土和一般砂类土，可采用对于正常固结粘性土和一般砂类土，可采用m法、法、k法、法、C值法，但采用值法，但采用m法计算较简便，故多用法计算较简便，故多用m 法。

法1. 1. 计算公式计算公式计算公式计算公式将将 p p( (x,yx,y) ) = = m x ym x y 代入前式，有代入前式，有令令，则上式变为：，则上式变为：（（6 – 3 – 2a））式（式（6-3-2a6-3-2a）为四阶线性）为四阶线性变系数变系数变系数变系数齐次常微分方程齐次常微分方程，可用幂级数、，可用幂级数、差分法等求解，从而得到桩身截面内力差分法等求解，从而得到桩身截面内力M、、Q 与位移与位移 y、、φ（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 式中式中a ai i 为待定常数，对式（为待定常数，对式（6-3-3）求）求 1 至至 4 阶导，并代入式阶导，并代入式（（6-3-2a），经推导可得：），经推导可得：设方程设方程(6-3-2a)的解为幂级数：的解为幂级数：（（6 – 3 - 3））（（6 – 3 – 2a））（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 式中式中a ai i 为待定常数，对式（为待定常数，对式（6-3-3）求）求 1 至至 4 阶导，并代入式阶导，并代入式（（6-3-2a），经推导可得：），经推导可得：式中式中A A1 1、、、、B B1 1、、、、C C1 1、、、、D D1 1、、、、A A2 2 …… 等系数可查等系数可查《《桥梁桩基础的分析与桥梁桩基础的分析与计算计算》》附表二（可见该文献附表二（可见该文献 p 334 ~335）） 。

6 – 3 – 2a））（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 当桩径当桩径当桩径当桩径 D D 或宽度或宽度或宽度或宽度 B B 大于大于大于大于 1 m1 m时，时，时，时， b b0 0= = B B + 1 (+ 1 (矩形桩矩形桩矩形桩矩形桩) ) 或或或或 b b0 0= 0.9×(= 0.9×(D D + 1 ) (+ 1 ) (圆形桩圆形桩圆形桩圆形桩) )当桩径当桩径当桩径当桩径 D D 或宽度或宽度或宽度或宽度 B B 小于小于小于小于 1 m1 m时，时，时，时， b b0 0 = 1.5= 1.5B B + 0.5 (+ 0.5 (矩形桩矩形桩矩形桩矩形桩) ) 或或或或 b b0 0= 0.9×( 1.5= 0.9×( 1.5D D + 0.5 ) (+ 0.5 ) (圆形桩圆形桩圆形桩圆形桩) )式中：式中：，其中，其中 b b0 0 为桩侧土抗力的计算宽度（为桩侧土抗力的计算宽度（为桩侧土抗力的计算宽度（为桩侧土抗力的计算宽度（mm）。

6-3- 4））（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 由以上诸解可导得桩顶仅作用于由以上诸解可导得桩顶仅作用于单位水平力单位水平力单位水平力单位水平力HH0 0 = 1 = 1 时时桩身地面桩身地面桩身地面桩身地面处处处处的水平位移的水平位移δ δ与转角与转角δ δMQMQ ：：桩身埋置于非岩石地基中桩身埋置于非岩石地基中桩身埋置于非岩石地基中桩身埋置于非岩石地基中式中：式中：A A1 1、、、、B B1 1、、、、C C1 1、、、、D D1 1、、、、A A2 2 …… 含义及求法同前，查表得到含义及求法同前，查表得到其中其中 C C0 0 为桩底土的竖向地基系数，为桩底土的竖向地基系数，I I0 0 、、、、I I 分别为桩分别为桩底全面积与桩身平均截面的惯性矩底全面积与桩身平均截面的惯性矩6-3 -4））（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 由以上诸解可导得桩顶仅作用于由以上诸解可导得桩顶仅作用于单位力矩单位力矩单位力矩单位力矩 MM0 0 = 1 = 1 时时桩身地面处桩身地面处桩身地面处桩身地面处的水平位移的水平位移δ δQMQM与转角与转角δ δMMMM ：：桩身埋置于非岩石地基中桩身埋置于非岩石地基中式中：式中：A A1 1、、、、B B1 1、、、、C C1 1、、、、D D1 1、、、、A A2 2 …… K Kh h 等含义及求法同前。

等含义及求法同前桩身嵌固于岩石中，桩身嵌固于岩石中，桩身嵌固于岩石中，桩身嵌固于岩石中，同样可导出同样可导出同样可导出同样可导出δ δ、、、、δ δQM QM 、、、、δ δQMQM 、、、、δ δQMQM（（6-3- 4））（二）（二）（二）（二） m m 法法法法二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 当实际当实际HH0 0、、、、MM0 0 已知已知已知已知时，可求时，可求桩身地面处桩身地面处桩身地面处桩身地面处水平位移水平位移 y y0 0 与转角与转角φ φ0 0：：代入式（代入式（6-3-4），可求得桩身任意截面），可求得桩身任意截面 x x 处处 MM 与与 Q:（二）（二）（二）（二） m m 法：法：法：法：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 对于弹性长桩（对于弹性长桩（Lt > 4T）） 桩底处桩底处 Q Q 及及及及 MM 均为零，桩顶均为零，桩顶或泥面的边界条件有以下三种情况：或泥面的边界条件有以下三种情况： （（1）桩顶可以自由转动、平动，在水平力）桩顶可以自由转动、平动，在水平力H0与力矩与力矩M0作用作用下，桩身某下，桩身某 x 处水平位移处水平位移 y 和弯矩和弯矩M :2. 2. 无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法HH0 0h hl lM0H0l式中：式中：Ay、、 By 、Am 、Bm 分别为位移和弯矩分别为位移和弯矩的的无量纲系数无量纲系数无量纲系数无量纲系数，见表，见表6-3-2如：高桩码头如：高桩码头如：高桩码头如：高桩码头（二）（二）（二）（二） m m 法：法：法：法：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 （（1）桩顶可以自由转动、平动，在水平力）桩顶可以自由转动、平动，在水平力H0与力矩与力矩M0作用作用下，桩身最大弯矩下，桩身最大弯矩 MM mamax x 及其位置及其位置 x xm m 按下式计算按下式计算2. 2. 无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法HH0 0h hl lM0H0l式中：式中： 换算深度换算深度换算深度换算深度，根据，根据 C1 = M0/H0T 或或 D1=H0T/M0 由表由表6-3-2 中查得。

中查得式中：式中： C2、、D2 为无量纲系数，根据最大弯矩位置为无量纲系数，根据最大弯矩位置 x xmm的的的的换换算深度算深度 = x xmm/ /T T 由表由表6-3-2中查得《《《《港口工程桩港口工程桩港口工程桩港口工程桩基规范基规范基规范基规范》》》》20122012《《《《港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范》》》》JTS167- 4- 2012JTS167- 4- 2012教材：表教材：表 6-3-2（二）（二）（二）（二） m m 法：法：法：法：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 （（2）桩顶固定不能转动，转角为）桩顶固定不能转动，转角为0（如地面上的刚性低桩台）（如地面上的刚性低桩台）2. 2. 无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法无量纲计算法M0H0l （（3）桩顶受约束而不能完全自由转动）桩顶受约束而不能完全自由转动（如刚性高桩台）（如刚性高桩台）HH0 0l lHH0 0l lh h求桩身某求桩身某 x 处水平位移处水平位移 y 和和弯矩弯矩M 见教材式（见教材式（6-3-10））求桩身某求桩身某 x 处水平位移处水平位移 y 和弯矩和弯矩M 见见教材：由式（教材：由式（6-3-11）反复迭代求得。

反复迭代求得以上内容也可见以上内容也可见以上内容也可见以上内容也可见《《《《港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范》》》》JTS167-4-2012JTS167-4-2012（二）（二）（二）（二） m m 法：法：法：法：二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解二、桩的挠曲微分方程的建立及其解 3. 3. 水平地基系数随深度线性增长的比例系数水平地基系数随深度线性增长的比例系数水平地基系数随深度线性增长的比例系数水平地基系数随深度线性增长的比例系数mm（三）（三）（三）（三） 综合刚度原理和双参数法：（略）综合刚度原理和双参数法：（略）综合刚度原理和双参数法：（略）综合刚度原理和双参数法：（略） a）由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即）由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即 m 值随荷值随荷载与位移增大而有所减少，载与位移增大而有所减少，m 值的确定要与桩的实际荷载相适应值的确定要与桩的实际荷载相适应一般结构在地面处最大位移不超过一般结构在地面处最大位移不超过 10 mm，对位移敏感的结构及，对位移敏感的结构及桥梁结构为桥梁结构为6 mm。

位移较大时，应适当降低表列位移较大时，应适当降低表列 m 值 b）当基础侧面为数种不同土层时，将地面以下）当基础侧面为数种不同土层时，将地面以下hm 深度内各深度内各土层的土层的 mmi i，，根据换算前后地基系数图形面积在深度根据换算前后地基系数图形面积在深度hm 内相等的内相等的原则原则，，换算为一个当量换算为一个当量 m 值（即加权平均）值（即加权平均），，作为整个深度的作为整个深度的 m 值见教材值见教材p66：：对对对对1.81.8T T 深度范围内各土层的深度范围内各土层的深度范围内各土层的深度范围内各土层的m m 加权平均加权平均加权平均加权平均，如，如式（式（6-3-12）及图）及图6-3-56.5 P — Y 曲线法：曲线法：即地基反即地基反即地基反即地基反力力力力 P P 与桩的挠度变形与桩的挠度变形与桩的挠度变形与桩的挠度变形 Y Y 关系曲线关系曲线关系曲线关系曲线 桩顶水平位移较小者（荷载与位移呈线性关系），采用桩顶水平位移较小者（荷载与位移呈线性关系），采用线线线线弹性地基梁法弹性地基梁法弹性地基梁法弹性地基梁法求解如“m”法、法、“K” 法、法、“C值值”、、“常数常数法法”等。

等 桩顶水平位移较大者（荷载与位移呈非线性关系），采用桩顶水平位移较大者（荷载与位移呈非线性关系），采用非非非非线性弹性地基反力法线性弹性地基反力法线性弹性地基反力法线性弹性地基反力法求解，或者采用求解，或者采用复合地基反力法复合地基反力法复合地基反力法复合地基反力法（即塑性（即塑性（即塑性（即塑性区采用区采用区采用区采用极限地基反力极限地基反力极限地基反力极限地基反力，弹性区采用，弹性区采用，弹性区采用，弹性区采用弹性地基反力弹性地基反力弹性地基反力弹性地基反力）））） 分为：长尚法、竹下法、斯奈特科法与目前应用较为广泛的分为：长尚法、竹下法、斯奈特科法与目前应用较为广泛的P P — — Y Y 曲线法见表见表见表见表3-4-13-4-1 一一、、P P — — Y Y 曲线的确定曲线的确定曲线的确定曲线的确定 二、桩的内力和变形计算二、桩的内力和变形计算二、桩的内力和变形计算二、桩的内力和变形计算：：：： 由于由于由于由于P P ~ ~ Y Y 非线性关系，难以用非线性关系，难以用非线性关系，难以用非线性关系，难以用解析法求解桩的弯曲微分方程，采用近似迭代法求解：解析法求解桩的弯曲微分方程，采用近似迭代法求解：解析法求解桩的弯曲微分方程，采用近似迭代法求解：解析法求解桩的弯曲微分方程，采用近似迭代法求解： （（（（1 1）无量纲迭代法）无量纲迭代法）无量纲迭代法）无量纲迭代法 （（（（2 2）有限差分法）有限差分法）有限差分法）有限差分法第第7 7章章 水平力作用下群桩的性状及承载力水平力作用下群桩的性状及承载力《《《《港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范港口工程桩基规范》》》》JTS167- 4 - 2012JTS167- 4 - 2012第第7 7章章 水平力作用下群桩的性状及承载力水平力作用下群桩的性状及承载力《《《《港口工程桩基港口工程桩基港口工程桩基港口工程桩基规范规范规范规范》》》》（（（（20122012））））7.1 7.1 水平力作用下群桩的性状水平力作用下群桩的性状 群桩在水平力作用下桩与桩之间会相互影响。

无论何群桩在水平力作用下桩与桩之间会相互影响无论何种土），当桩距种土），当桩距≥8D时，可不考虑桩与桩的相互影响时，可不考虑桩与桩的相互影响 单桩处理单桩处理1 1、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应（一）桩与桩的相互作用（一）桩与桩的相互作用 应力重叠，水平位移增大，承载力降低应力重叠，水平位移增大，承载力降低 影响因素：桩距、桩径、桩数、土质等影响因素：桩距、桩径、桩数、土质等1 1、桩距与桩数的影响、桩距与桩数的影响、桩距与桩数的影响、桩距与桩数的影响 应应力力重重叠叠，，水水平平位位移移增增大大，，承承载载力力降降低低德德国国钻钻孔孔桩桩规规范：桩距为范：桩距为3D时，水平地基系数（时，水平地基系数（kh ）只取单桩的）只取单桩的 25%2 2、泥面下深度影响、泥面下深度影响、泥面下深度影响、泥面下深度影响 桩入土深度为桩入土深度为10倍桩基范围内：相互影响倍桩基范围内：相互影响7.1 7.1 水平力作用下群桩的性状水平力作用下群桩的性状1、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应（一）桩与桩的相互作用（一）桩与桩的相互作用 3 3、土质与桩的排列方式的影响、土质与桩的排列方式的影响、土质与桩的排列方式的影响、土质与桩的排列方式的影响 土土的的内内摩摩擦擦角角较较小小时时，，土土中中应应力力扩扩散散角角相相应应较较小小。

此此时时，，土土中中应应力力在在纵纵向向上上重重叠叠加加剧剧，，而而横横向向上上的的影影响响减减弱弱桩桩的的排排列方式直接影响群桩效应列方式直接影响群桩效应纵向纵向纵向纵向：与水平力方向一致；：与水平力方向一致；横向横向横向横向：与水平力方向垂直与水平力方向垂直 试验表明：桩与桩之间的纵向影响远大于横向影响试验表明：桩与桩之间的纵向影响远大于横向影响 德美日德美日《《大口径钻孔灌浆桩规范大口径钻孔灌浆桩规范》》规定：当纵向桩距＞规定：当纵向桩距＞8 8D，， 横向桩距横向桩距＞＞2.5 D 可按单桩考虑可按单桩考虑 7.1 7.1 水平力作用下群桩的性状水平力作用下群桩的性状 4 4 4 4、群桩中各桩受力的不均匀性、群桩中各桩受力的不均匀性、群桩中各桩受力的不均匀性、群桩中各桩受力的不均匀性研究表明：群桩中外缘分配到的水平力最大，中间分配到的水研究表明：群桩中外缘分配到的水平力最大，中间分配到的水 平力最小。

平力最小见图见图7-1-2、图、图7-1-3黄河河务局现场试验表明：黄河河务局现场试验表明： 离离推推力力最最远远的的前前排排桩桩受受到到的的土土抗抗力力最最大大，，分分配配到到最最大大的的水水平平力力；；离离推推力力最最近近的的后后排排桩桩受受到到的的土土抗抗力力最最小小，，分分配配到到的的水水平平力最小见图见图7 - 1 – 4一）桩与桩的相互作用（一）桩与桩的相互作用1、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率（二）承台（二）承台 加荷方式等对群桩的影响加荷方式等对群桩的影响 1 1 1 1、桩顶嵌固的影响：、桩顶嵌固的影响：、桩顶嵌固的影响：、桩顶嵌固的影响： 群桩桩顶嵌固时，抗弯刚度提高，桩顶弯矩加大，桩身弯距群桩桩顶嵌固时，抗弯刚度提高，桩顶弯矩加大，桩身弯距减小，群桩平均每根桩的水平承载力仍高于单桩见图减小，群桩平均每根桩的水平承载力仍高于单桩见图7-5-57-5-5 1、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应、水平力作用下的群桩效应 2 2 2 2、受荷方式的影响：、受荷方式的影响：、受荷方式的影响：、受荷方式的影响： 循循环环荷荷载载及及双双向向循循环环荷荷载载作作用用下下承承载载力力比比静静荷荷载载下下水水平平承承载力低，后者更低。

呆重（垂直荷载）可以提高水平承载力载力低，后者更低呆重（垂直荷载）可以提高水平承载力 3 3 3 3、、、、承承承承台台台台着着着着地地地地的的的的影影影影响响响响：：：：承承台台伏伏地地（（增增加加摩摩擦擦力力）） 承承台台入入土土（增加被动土压力）（增加被动土压力） 都使水平承载力提高都使水平承载力提高二．二．二．二． 群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率η ηsgsg 若若已已知知单单桩桩承承载载力力HH0 0 0 0，，则则群群桩桩承承载载力力HHg g g g为为单单桩桩承承载载力力××桩桩数数××ηηηηsgsgsgsg 式中：式中：Hg、、Ho-----分别为群桩与单桩水平承载力分别为群桩与单桩水平承载力 7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率 --- 分别为纵向（荷载作用方向）横向与桩数分别为纵向（荷载作用方向）横向与桩数 --- 反映单群桩关系的群桩效率反映单群桩关系的群桩效率 （一）由试验导出的经验公式：（一）由试验导出的经验公式： 1.1.1.1.玉置公式（日本人玉置公式（日本人玉置公式（日本人玉置公式（日本人）））） 式中：各值见书式中：各值见书P138。

K 桩顶嵌固程度影响系数，桩顶嵌固程度影响系数， K = M/Mf M -----实际的桩顶约束弯矩实际的桩顶约束弯矩; Mf ----- 桩顶完全嵌固时的桩顶约束弯矩桩顶完全嵌固时的桩顶约束弯矩; m 、、n ---- 群桩纵向一行的桩数和横向一列的桩数群桩纵向一行的桩数和横向一列的桩数 群桩水平承载力群桩水平承载力群桩水平承载力群桩水平承载力 = = 单桩水平承载力单桩水平承载力单桩水平承载力单桩水平承载力× ×桩数桩数桩数桩数× ×η η 群桩水平位移群桩水平位移群桩水平位移群桩水平位移 = = 与群桩中各桩受相同荷载的单桩位移与群桩中各桩受相同荷载的单桩位移与群桩中各桩受相同荷载的单桩位移与群桩中各桩受相同荷载的单桩位移×1×1/ /η η二．二．二．二． 群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率η η7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率 2. 2. 宫本法宫本法 影响水平抗力群桩效应的主要因素：影响水平抗力群桩效应的主要因素： （（a) a) 弹性应力传播；弹性应力传播； （（b) b) 桩周土塑性区的重叠引起地基的松弛。

桩周土塑性区的重叠引起地基的松弛 由由由由( ( ( (第一版教材第一版教材第一版教材第一版教材) ) ) )图图图图3-5-93-5-93-5-93-5-9可见可见可见可见（图中从左至右为（图中从左至右为（图中从左至右为（图中从左至右为①①号号 、、、、②②号、号、 ③③ 号桩）号桩）号桩）号桩）③③ 号桩前只有号桩前只有Δhf 的高度滑移面重叠，土抗力（被动土压力）的高度滑移面重叠，土抗力（被动土压力） 损失最小损失最小②② 号桩前有号桩前有Δhf 与与 Δhr 两个高度的滑移面重叠（即有两处两个高度的滑移面重叠（即有两处 重叠）土抗力（被动土压力）重叠）土抗力（被动土压力） 损失最大；损失最大； ①① 号桩前只有号桩前只有Δ hr 的高度滑移面重叠，桩前土抗力（被动的高度滑移面重叠，桩前土抗力（被动 土压力）损失比土压力）损失比 ②② 桩小，桩小， 比比 ③③ 桩大二．二．二．二． 群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率η η7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率（二）根据弹性理论导得计算式：（二）根据弹性理论导得计算式：略略。

三）作者建议方法（三）作者建议方法 群桩效率的两种理解：群桩效率的两种理解：（（a a）群桩效率仅考虑桩与桩之间的相互影响（不考虑承台群桩效率仅考虑桩与桩之间的相互影响（不考虑承台 呆重等影响），呆重等影响），ηη＜＜1.0 1.0 ；；（（b b）将群桩中每根桩能承受的水平力与相应单桩所能承受水）将群桩中每根桩能承受的水平力与相应单桩所能承受水 平力之比作为群桩效率，平力之比作为群桩效率， η 可能＞可能＞1.01.0因为其中考因为其中考 虑了承台、呆重的影响，是整体考虑虑了承台、呆重的影响，是整体考虑 前前前前者者者者概概概概念念念念清清清清楚楚楚楚，，，，后后后后者者者者工工工工程程程程上上上上较较较较适适适适用用用用，，，，教教教教材材材材作作作作者者者者倾倾倾倾向向向向于于于于先先先先考虑前者，再考虑其他因素的影响考虑前者，再考虑其他因素的影响考虑前者，再考虑其他因素的影响考虑前者，再考虑其他因素的影响 --- --- --- --- 群桩综合效率群桩综合效率群桩综合效率群桩综合效率 7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率（三）作者建议方法（三）作者建议方法 1.1.1.1.群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率 ① ① 基本假定：土中应力按土的内摩擦角扩散，传布到垂直基本假定：土中应力按土的内摩擦角扩散，传布到垂直 于荷载平面的应力近似为抛物线分布于荷载平面的应力近似为抛物线分布------简化为三角形；简化为三角形； ② ② 考虑应力重叠影响时，群桩中的水平力均匀分配到每根考虑应力重叠影响时，群桩中的水平力均匀分配到每根 桩上，且每根桩具有相同的水平承载力。

桩上，且每根桩具有相同的水平承载力二．二．二．二． 群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率η η 在此基础上考虑桩与桩之间的相互影响，再根据群桩中水在此基础上考虑桩与桩之间的相互影响，再根据群桩中水平力分配不均匀性，提出行列式桩基水平承载力的群桩效率平力分配不均匀性，提出行列式桩基水平承载力的群桩效率计算式计算式（式中各值见第一版教材（式中各值见第一版教材p142 ~ 143 ）） 7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率 2.2.群桩综合效率：群桩综合效率： 考考虑虑呆呆重重及及承承承承台台台台作作用用，，引引入入桩桩顶顶嵌嵌固固增增长长系系数数 K3、、承承台台与与土土的的摩摩擦擦作作用用增增长长系系数数 K4、、侧侧土土抗抗力力增增长长系系数数 K5、、呆呆重重作作用用增长系数增长系数 K6，于是可导得群桩综合效率，于是可导得群桩综合效率二．二．二．二． 群桩效率群桩效率群桩效率群桩效率η η（三）作者建议方法（三）作者建议方法 式中各值见教材式中各值见教材 p 87 ~ 907.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算（一）工程中常用的简化方法（一）工程中常用的简化方法 1. 1. 1. 1. 低桩台低桩台低桩台低桩台 当桩材和截面尺寸相同时，则每根桩分配到相同的水平力当桩材和截面尺寸相同时，则每根桩分配到相同的水平力（属于近似计算）即：（属于近似计算）即： Hi = H / n式中：式中： H ----- 作用在群桩上的水平力作用在群桩上的水平力; n ----- 桩数。

桩数 （该法简单，但没有考虑承台与土的摩擦力和侧土抗力，也没（该法简单，但没有考虑承台与土的摩擦力和侧土抗力，也没有考虑水平力在群桩中分配的不均匀性，不够合理）有考虑水平力在群桩中分配的不均匀性，不够合理）7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率 2. 2. 2. 2. 高桩台高桩台高桩台高桩台 《《港口工程技术规范港口工程技术规范》》：采用等效嵌固概念来计算全部由直：采用等效嵌固概念来计算全部由直桩组成的高桩排架计算步骤如下：桩组成的高桩排架计算步骤如下： （（1 1）满足土弹性抗力作用和使结构上）满足土弹性抗力作用和使结构上部部结点内力（或变形）结点内力（或变形）等效的两个要求下，确定弹性长桩的受弯假想嵌固深度等效的两个要求下，确定弹性长桩的受弯假想嵌固深度t t t t （常数法）（常数法）（常数法）（常数法） 式中式中：：η1、、η2 ---- 分别为按常数法及分别为按常数法及m法计算时反映与桩台法计算时反映与桩台 嵌固程度和桩的自由长度大小的系数，嵌固程度和桩的自由长度大小的系数， η1 = 1.8 ~ 2.2，， η2= 1.0 ~ 1.4。

取值见书取值见书 一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算（（（（m m 法）法）法）法） 7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率 2. 2. 2. 2. 高桩台高桩台高桩台高桩台 （（1 1）满足土弹性抗力作用和使结构上）满足土弹性抗力作用和使结构上部部结点内力（或变形）结点内力（或变形）等效的两个要求下，确定弹性长桩的受弯假想嵌固深度等效的两个要求下，确定弹性长桩的受弯假想嵌固深度t t t t 一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算 （（2 2））按按结结构构力力学学方方法法求求解解上上述述假假想想嵌嵌固固点点的的一一般般超超静静定定框框架，求得桩顶内力架，求得桩顶内力 （（3 3））将将桩桩顶顶内内力力作作为为作作用用在在单单桩桩桩桩顶顶上上的的荷荷载载计计算算桩桩在在泥泥面下的内力和变位面下的内力和变位 （（该该法法适适用用于于长长桩桩，，其其嵌嵌固固深深度度的的确确定定仍仍有有一一定定近近似似，，群群桩桩水平地基系数的确定也有困难）水平地基系数的确定也有困难）7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算（三）（三） 根据单群关系计算根据单群关系计算 1. 群桩水平承载力计算公式群桩水平承载力计算公式 实际工程中，进行单桩原型试验实际工程中，进行单桩原型试验→单桩水平承载力和由计算单桩水平承载力和由计算所得所得ξsg 来推算群桩水平承载力来推算群桩水平承载力Hg 如进行了如进行了双桩原型双桩原型试验，同样可得：试验，同样可得： 将将 计算式（计算式（3-5-103-5-10）（）（第一版教材第一版教材）代入上式，得）代入上式，得 7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算一、水平承载力计算 2. 计算式的使用条件计算式的使用条件 ①① 利利用用单单群群关关系系计计算算时时，，仅仅适适用用于于自自由由长长度度近近似似为为零零的的群群桩（即高桩不适合）。

但以双群关系计算时，不受此限制桩（即高桩不适合）但以双群关系计算时，不受此限制 ②② 群群距距较较小小时时，，群群桩桩可可能能发发生生整整体体破破坏坏，，此此时时对对计计算算式式应应慎重使用慎重使用 ③③ 地地基基分分层层时时，，取取地地面面下下影影响响桩桩侧侧土土抗抗力力的的某某一一深深度度hm内内的的φ角计算，角计算， hm是桩径是桩径 D 的函数，一般取的函数，一般取 hm = 2（（D + 1） 承台底摩擦作用并不十分可靠国内外看法不一致当承台底摩擦作用并不十分可靠国内外看法不一致当承台与土有可能会脱空，不应考虑桩间土的作用；当桩基下承台与土有可能会脱空，不应考虑桩间土的作用；当桩基下沉量较大时，则应予考虑但垂直荷载下桩土共同作用，土沉量较大时，则应予考虑但垂直荷载下桩土共同作用，土体的分担系数体的分担系数λ的确定也还存在问题因此考虑的确定也还存在问题因此考虑 k4 应慎重7.2 7.2 水平力作用下的群桩效率水平力作用下的群桩效率1 1、、、、如图，某预制混凝土方桩，桩宽如图，某预制混凝土方桩，桩宽B为为700 mm，入土深度，入土深度30m，粘性土地基，粘性土地基m = 4000kN/m4，混凝土方桩，混凝土方桩EI = 9.6×105kN·m2，当桩顶（地面处）受水平力，当桩顶（地面处）受水平力H0= 240 kN，和力矩，和力矩M0= 560 kN·m时，试求桩身水平位移时，试求桩身水平位移 y 曲线曲线 (画出示意图画出示意图) 、弯矩、弯矩M 图曲线图曲线(画出示意图画出示意图)和土中桩身最大弯矩和土中桩身最大弯矩Mmax。

作业五（必做）作业五（必做）作业五（必做）作业五（必做）M0H0l以后以后PPTPPT诸版内容包括诸版内容包括 微分方程求解的详细过程等内容，微分方程求解的详细过程等内容，同学们在今后工作或学习中可根据同学们在今后工作或学习中可根据需要再次学习需要再次学习（四）单桩、单排桩与多排桩（四）单桩、单排桩与多排桩 计算基桩内力先应根据作计算基桩内力先应根据作用在承台底面的外力用在承台底面的外力N、、H、、M计算出作用在每根桩顶的荷计算出作用在每根桩顶的荷载载Pi、、Qi、、Mi值，然后才能计值，然后才能计算各桩在荷载作用下的各截面算各桩在荷载作用下的各截面的内力与位移桩基础按其作的内力与位移桩基础按其作用力用力H与基桩的布置方式之间与基桩的布置方式之间的关系可归纳为单桩、单排桩的关系可归纳为单桩、单排桩与多排桩两类来计算各桩顶的与多排桩两类来计算各桩顶的受力，如图受力，如图4-19所示 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-19 单桩、单排桩及多排桩单桩、单排桩及多排桩  单桩、单排桩：指在与水平外力单桩、单排桩：指在与水平外力 H 作用面相垂直的平作用面相垂直的平面上，由单根或多根桩组成的单根（排）桩的桩基础，如面上，由单根或多根桩组成的单根（排）桩的桩基础，如图图4-19a）、）、b）所示，对于单桩来说，上部荷载全由它承）所示，对于单桩来说，上部荷载全由它承担。

对于单排桩（如图担对于单排桩（如图4-20所示桥墩作纵向验算时），若作所示桥墩作纵向验算时），若作用于承台底面中心的荷载为用于承台底面中心的荷载为 N、、H、、My，当，当 N 在承台横桥在承台横桥向无偏心时，则可以假定它是平均分布在各桩上的，即向无偏心时，则可以假定它是平均分布在各桩上的，即4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （4-34）式中：式中：n — 桩的根数桩的根数4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 图图4-20 单排桩的计算单排桩的计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 当竖向力当竖向力 N 在承台横桥向有偏心距在承台横桥向有偏心距 e 时，如图时，如图4-20b））所示即所示即 Mx = Ne，因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计，因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计算，即算，即 （4-35） 当按上述公式求得单排桩中每根桩桩顶作用力后，即可以当按上述公式求得单排桩中每根桩桩顶作用力后，即可以单桩形式计算桩的内力。

单桩形式计算桩的内力 多排桩如图多排桩如图4-19c），指在水平外力作用平面内有一根以上），指在水平外力作用平面内有一根以上的桩的桩基础（对单排桩作横桥向验算时也属此情况），不能的桩的桩基础（对单排桩作横桥向验算时也属此情况），不能直接应用上述公式计算各桩顶作用力，须应用结构力学方法另直接应用上述公式计算各桩顶作用力，须应用结构力学方法另行计算（见后述），所以另列一类行计算（见后述），所以另列一类（五）（五） 桩的计算宽度桩的计算宽度 桩在水平外力作用下，除了桩身宽度范围内桩侧土受桩在水平外力作用下，除了桩身宽度范围内桩侧土受挤压外，在桩身宽度以外的一定范围内的土体都受到一定挤压外，在桩身宽度以外的一定范围内的土体都受到一定程度的影响（空间受力），且对不同截面形状的桩，土受程度的影响（空间受力），且对不同截面形状的桩，土受到的影响范围大小也不同为了将空间受力简化为平面受到的影响范围大小也不同为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的相互遮蔽作力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的相互遮蔽作用，将桩的设计宽度（直径）用，将桩的设计宽度（直径） 换算成相当实际工作条件下，换算成相当实际工作条件下，矩形截面桩的宽度矩形截面桩的宽度 b1, , b1 称为桩的计算宽度。

根据已有的称为桩的计算宽度根据已有的试验资料分析，现行规范认为计算宽度的换算方法可用下试验资料分析，现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示：式表示：4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算当当d≥1.0m时时当当d＜1.0m时时 （六）刚性桩与弹性桩（六）刚性桩与弹性桩 弹性桩：当桩的入土深度弹性桩：当桩的入土深度 时，桩的相对刚度小，时，桩的相对刚度小，必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算其中必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算其中 称为桩称为桩的变形系数，的变形系数， （详见后述）一般情况下，桥梁（详见后述）一般情况下，桥梁桩基础的桩多属弹性桩桩基础的桩多属弹性桩 刚性桩：当桩的入土刚性桩：当桩的入土 深度时，则桩的相对刚度深度时，则桩的相对刚度较大，可按刚性桩计算（第五章介绍的沉井基础就可看作刚较大，可按刚性桩计算（第五章介绍的沉井基础就可看作刚性桩构件），其内力位移计算方法详见第五章。

性桩构件），其内力位移计算方法详见第五章4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算二、、“m”法弹性单排桩基桩内力和位移计算法弹性单排桩基桩内力和位移计算 考虑到桩与土共同承受外荷载的作用，为便于计算，在基考虑到桩与土共同承受外荷载的作用，为便于计算，在基本理论中做了一些必要的假定，如下：本理论中做了一些必要的假定，如下：Ø将土视作弹性变形介质，它具有随深度成比例增长的地基系将土视作弹性变形介质，它具有随深度成比例增长的地基系数（数（ ）；）；Ø土的应力应变关系符合文克尔假定；土的应力应变关系符合文克尔假定；Ø计算公式推导时，不考虑桩与土之间的摩擦力和黏结力；计算公式推导时，不考虑桩与土之间的摩擦力和黏结力；Ø桩与桩侧土在受力前后始终密贴；桩与桩侧土在受力前后始终密贴；Ø桩作为一弹性构件桩作为一弹性构件 下面先讨论单桩在地面或局部冲刷线处受水平外力及弯矩下面先讨论单桩在地面或局部冲刷线处受水平外力及弯矩作用下桩的内力计算方法作用下桩的内力计算方法4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（一）桩的挠曲微分方程的建立及其解（一）桩的挠曲微分方程的建立及其解 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-25 桩身受力图示桩身受力图示4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 如图如图4-25所示，桩的入土深度为所示，桩的入土深度为h，桩的宽度为，桩的宽度为b（或直径）（或直径），桩的计算宽度为，桩的计算宽度为b1 1。

桩顶若与地面（或局部冲刷线）平齐，且桩顶若与地面（或局部冲刷线）平齐，且已知桩顶在荷载为水平力已知桩顶在荷载为水平力 及弯矩及弯矩 作用下，产生横向位作用下，产生横向位移移 、、 转角转角 我们对桩因我们对桩因 、、 作用，在不同深度作用，在不同深度处产生的处产生的 、、 、、 、的符号规定为：横向位移（挠度）、的符号规定为：横向位移（挠度）顺轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维顺轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维受拉时为正；横向力顺轴正方向为正值，如图受拉时为正；横向力顺轴正方向为正值，如图4-26所示4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-26 力与位移的符号规定力与位移的符号规定 在此情况下，桩产生弹性挠曲，由材料力学可知，梁轴的在此情况下，桩产生弹性挠曲，由材料力学可知，梁轴的挠曲与梁上分布荷载挠曲与梁上分布荷载 q 之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为：之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为：4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（4-40） 由图由图4-25可知，在深度可知，在深度z z处处 , , 而而 ，，且假定地基系数且假定地基系数 ，代入式（，代入式（4-40）则得：）则得：（4-41）上式中：上式中：E、、I—— 桩的弹性模量及截面惯矩；桩的弹性模量及截面惯矩； pzx —— 桩侧土抗力桩侧土抗力pzxzx= = Cxzxz= = mz zxz z，，C 为地基系数；为地基系数； b1 —— 桩的计算宽度；桩的计算宽度； xz—— 桩在深度桩在深度 z 处的横向位移（即桩的挠度）。

处的横向位移（即桩的挠度）将上式整理可得：将上式整理可得： 或或 式中：式中：  —— 桩的变形系数桩的变形系数， 从上式中不难看出：桩的横向位移与截面所在深度、桩从上式中不难看出：桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有的刚度（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，关，  是与桩土变形相关的系数（也称柔性系数）是与桩土变形相关的系数（也称柔性系数）4-42）4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（4-43）4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算并知道，在地面处（或局部冲刷线）有：并知道，在地面处（或局部冲刷线）有：（（4-44）） 式（式（4-43）这样的一个四阶线性变系数常微分方程，可）这样的一个四阶线性变系数常微分方程，可以利用高等数学幂级数展开的方法求解以利用高等数学幂级数展开的方法求解4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算设：设： （（4 - 45）） 式中式中为待定系数。

对式（为待定系数对式（4 - 45）求一阶导数，得：）求一阶导数，得：（（4 - 46））对式（对式（4-45）求二阶导数，得：）求二阶导数，得： （（4 - 47））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算对式（对式（4-45）求三阶导数，得：）求三阶导数，得：对式（对式（4-45）求四阶导数，得：）求四阶导数，得： （（4 - 48）） （（4 - 49）） 因为假定方程式（因为假定方程式（4 - 43）之解为一幂级数，因此可将）之解为一幂级数，因此可将式（式（4 - 49）及式（）及式（4 - 45）代入式（）代入式（4 - 43）而得如下恒等式：）而得如下恒等式： （（4-50））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算展开式展开式( (4 - 50) )得：得： 对此恒等式两边对此恒等式两边 z 之幂相之幂相同的项，其系数应该相等因同的项，其系数应该相等因此比较两边系数可得：此比较两边系数可得： （（4-51））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算由此可见除外，其他各系数的通式为：由此可见除外，其他各系数的通式为：（（4-52））式中：式中： 根据式（根据式（4 - 51）及式（）及式（4 - 52），各系数可改写为：），各系数可改写为：（因为（因为 是是 的倍的倍, ,而而 ，故，故 亦等于零）亦等于零） 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（（4-544-54））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算式中：式中：（（4-554-55））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（（4-604-60））由材料力学可知：由材料力学可知： 故式（故式（4-604-60）可改写为：）可改写为： （（4-614-61））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 摩擦桩、支承桩在外荷作用下，摩擦桩、支承桩在外荷作用下，桩底将产生位移桩底将产生位移xh h、、 h h。

当桩底产当桩底产生转角位移生转角位移 h h时，桩底的土抗力时，桩底的土抗力情况如右图所示，与之相应的桩底情况如右图所示，与之相应的桩底弯矩值弯矩值Mh h为为4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-27 式中：式中：A0——桩底面积；桩底面积； I0——桩底面积对其重心轴的惯性矩；桩底面积对其重心轴的惯性矩； C0——基底土的竖向地基系数基底土的竖向地基系数C0=m0h1 1．摩擦桩、柱桩．摩擦桩、柱桩xo, o的计算的计算  这是一个边界条件，此外由于忽略桩与桩底土之间这是一个边界条件，此外由于忽略桩与桩底土之间的摩阻力，所以认为的摩阻力，所以认为Qh=0，这为另一个边界条件这为另一个边界条件将将分别代入式（分别代入式（4）、（）、（5）中得）中得又又4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算解以上联立方程，并令解以上联立方程，并令 ，则得，则得 根据分析，摩擦桩且根据分析，摩擦桩且ah>2.5或支承桩且或支承桩且ah≥3.5时，时，Mh几几乎为零，且此时乎为零，且此时Kh对、对、……等影响极小，可以认为等影响极小，可以认为Kh=0，则，则上式上式 可简化为可简化为均为均为 z的函数，已根据的函数，已根据 z值制成值制成表格，可参考表格，可参考《《公桥基规公桥基规》》。

4-65）） 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （（4-64）） 2.2.嵌岩桩嵌岩桩xo , o的计算的计算 如果桩底嵌固于未风化岩层内有足够的深度，可根据如果桩底嵌固于未风化岩层内有足够的深度，可根据桩底桩底xh h、、 h h等于零这两个边界条件，解得等于零这两个边界条件，解得 也都是也都是 z的函数，根据的函数，根据  z值制值制成表格，可查阅有关规范成表格，可查阅有关规范4-66）） 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 求得求得x0 0、、 0 0后，便可连同已知的后，便可连同已知的M0 0、、Q0 0一起代入式一起代入式（（4-57）、式（）、式（4-59）、式（）、式（4-61）、式（）、式（4-63）及式（）及式（4-58），从而求得桩在地面以下任一深度的内力、位移及桩），从而求得桩在地面以下任一深度的内力、位移及桩侧土抗力。

侧土抗力 大量计算表明，大量计算表明， 时，桩身在地面处的位移时，桩身在地面处的位移x0 0、、转角转角 0与桩底边界条件无关，因此与桩底边界条件无关，因此 时，嵌岩桩时，嵌岩桩与摩擦桩（或柱桩）计算公式均可通用与摩擦桩（或柱桩）计算公式均可通用（二）计算桩身内力及位移的无量纲法 按上述方法，用基本公式（按上述方法，用基本公式（4-57）、式（）、式（4-59）、式）、式（（4-61）、式（）、式（4-63）计算）计算xz、 z、Mz、Qz时，计算工作量相时，计算工作量相当繁重若桩的支承条件及入土深度符合一定要求，可采用当繁重若桩的支承条件及入土深度符合一定要求，可采用无量纲法进行计算，即直接由已知的无量纲法进行计算，即直接由已知的M0、Q0求解求解1．．αh>2.5的摩擦桩及的摩擦桩及αh≥2.5 的支承桩的支承桩将式（将式（4-65）代入式（）代入式（4-57）得）得 式中： （4-67a）4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 同理，将式（同理，将式（7）分别代入式（）分别代入式（3）、（）、（4）、（）、（4-5）再）再经整理归纳即可得经整理归纳即可得 （（4-67b））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（（4-67c））（（4-67d））2．．  h > 2.5 的嵌岩桩的嵌岩桩 将式将式( (4 - 66) )分别代入式分别代入式( (4-57) )、式、式( (4-59) )、式、式( (4 - 61) )、、式式( (4 - 63) )再经整理得：再经整理得： （（4-68a））（（4-68b））（（4-68c））（（4-68d））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 当当  h≥4时，无论桩底支承情况如何，均可采用式时，无论桩底支承情况如何，均可采用式（（4 - 67）或式（）或式（4 - 68）及相应的系数来计算。

其计算结）及相应的系数来计算其计算结果极为接近果极为接近 由式（由式（4 - 67）及式（）及式（4 - 68）可较迅速地求得桩身各）可较迅速地求得桩身各截面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩侧土抗力，截面的水平位移、转角、弯矩、剪力，以及桩侧土抗力，从而可验算桩身强度、决定配筋量，验算桩侧土抗力及桩从而可验算桩身强度、决定配筋量，验算桩侧土抗力及桩上墩台位移等上墩台位移等（三）桩身最大弯矩位置ZMmax和最大弯矩Mmax的确定 目的：目的：用于检验桩的截面强度和配筋计算（关于配用于检验桩的截面强度和配筋计算（关于配筋的具体计算方法，见结构设计原理教材内容）筋的具体计算方法，见结构设计原理教材内容） 一般方法：一般方法：要找出弯矩最大的截面所在的位置及相要找出弯矩最大的截面所在的位置及相应的最大弯矩应的最大弯矩Mmax值一般可将各深度值一般可将各深度 z 处的处的Mz值求出值求出后绘制后绘制 z －－Mz图，即可从图中求得图，即可从图中求得 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 数解法数解法 ：： 在最大弯矩截面处，其剪力在最大弯矩截面处，其剪力Q等于零等于零，因此，因此 Qz = 0 处的处的截面即为最大弯矩所在的位置截面即为最大弯矩所在的位置 。

4-69））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算由式（由式（4 - 67d））令令Qz = Q0AQ+  M0BQ = 0，，则则 式中：式中：CQ——与与  z 有关的系数，可按附表有关的系数，可按附表13采用C0值从式值从式（（4-69）求得后即可从附表）求得后即可从附表13中求得相应的中求得相应的  z 值，因为值，因为 为已知，所以最大弯矩所在的位置为已知，所以最大弯矩所在的位置 值即可求得值即可求得4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算由式（由式（4 - 69）可得：）可得：（（4 - 70））将式（将式（4 - 70）代入式（）代入式（4-67c）则得：）则得：（（4 - 71））（四）桩顶位移的计算公式 右图为置于非岩石地基右图为置于非岩石地基中的桩，已知桩露出地面长中的桩，已知桩露出地面长l0，若桩顶为自由，其上作用，若桩顶为自由，其上作用了了Q 及及 M，顶端的位移可应，顶端的位移可应用叠加原理计算设桩顶的用叠加原理计算。

设桩顶的水平位移为水平位移为 x1，它是由：桩，它是由：桩在地面处的水平位移在地面处的水平位移x0、地、地面处转角面处转角 0 0所引起在桩顶的所引起在桩顶的位移位移 0 0l0 0、桩露出地面段作、桩露出地面段作为悬臂梁桩顶在水平力为悬臂梁桩顶在水平力Q作用作用下产生的水平位移下产生的水平位移xQ Q以及在以及在M M作用下产生的水平位移作用下产生的水平位移xm m组组成，即成，即图图4-28 桩顶位移计算桩顶位移计算4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 桩顶转角桩顶转角 1 1则由：地面处的转角则由：地面处的转角 0 0，桩顶在水平力，桩顶在水平力Q作作用下引起的转角用下引起的转角 Q Q及弯矩作用下所引起的转角及弯矩作用下所引起的转角 M M组成即组成即4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （（4-72b））上两式中的上两式中的x0 0及及 0 0可按计算所得的可按计算所得的 及 分别代入式（分别代入式（4 - 67a）及式（）及式（4 - 67b）（此时式中的无量纲）（此时式中的无量纲系数均用系数均用z=0时的数值）求得，即时的数值）求得，即（（4-72c）） （（4-72d））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算式（式（4-72a）、式（）、式（4-72b）中的）中的xQ、xM、Q、M是把露出段作是把露出段作为下端嵌固、跨度为为下端嵌固、跨度为l0的悬臂梁计算而得，即的悬臂梁计算而得，即（（4-73）） 由式（由式（4-72c）、式（）、式（4-72d）及式（）及式（4-73）算得）算得x0 、 xM及及xQ 、 xM 、 Q 、 M ，代入式（代入式（4-72a）、式（）、式（4-72b）再经整理归纳，）再经整理归纳，便可写成如下表达式：便可写成如下表达式：（（4-74）） 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 对桩底嵌固于岩基中，桩顶为自由端的桩顶位移计算，对桩底嵌固于岩基中，桩顶为自由端的桩顶位移计算，只要按式（只要按式（4-68a）式（）式（4-68b）计算出）计算出z=0时的时的即可按即可按按上述方法求出桩顶水平位移按上述方法求出桩顶水平位移x1及转角及转角1，其中其中xQ、xM、Q、M仍可按式（仍可按式（4-73）计算。

计算 当桩露出地面（或局部冲刷线）部分为变截面，其上部截当桩露出地面（或局部冲刷线）部分为变截面，其上部截面抗弯刚度为面抗弯刚度为E1I1（（直径为直径为d1，高度为高度为h1）），下部截面抗弯刚度下部截面抗弯刚度为为EI（直径（直径d d，高度高度h2））如图如图4-294-29所示，设，所示，设， 则则桩桩顶顶x1和和1分别为分别为 （（4-75））4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（五）单桩及单排桩桩顶按弹性嵌固的计算 前述的单桩、单排桩露出地面（或局部冲刷线）段的前述的单桩、单排桩露出地面（或局部冲刷线）段的桩顶点是假定为自由端，但对一些中小跨径的简支梁或板桩顶点是假定为自由端，但对一些中小跨径的简支梁或板式桥梁其支座采用切线、平板、橡胶支座或油毛毡垫层时，式桥梁其支座采用切线、平板、橡胶支座或油毛毡垫层时，桩顶就不应作为完全自由端考虑，由于梁或板的弹性约束桩顶就不应作为完全自由端考虑，由于梁或板的弹性约束作用，在受水平外力作用时，限制了桩墩盖梁转动，甚至作用，在受水平外力作用时，限制了桩墩盖梁转动，甚至不能产生转动，而仅产生水平位移，形成了所谓弹性嵌固。

不能产生转动，而仅产生水平位移，形成了所谓弹性嵌固若采用桩顶弹性嵌固的假定，则可使桩入土部分的桩身弯若采用桩顶弹性嵌固的假定，则可使桩入土部分的桩身弯矩减少，从而可减少桩身钢筋用量矩减少，从而可减少桩身钢筋用量4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（五）单桩及单排桩桩顶按弹性嵌固的计算 前述的单桩、单排桩露出地面（或局部冲刷线）段的前述的单桩、单排桩露出地面（或局部冲刷线）段的桩顶点是假定为自由端，但对一些中小跨径的简支梁或板桩顶点是假定为自由端，但对一些中小跨径的简支梁或板式桥梁其支座采用切线、平板、橡胶支座或油毛毡垫层时，式桥梁其支座采用切线、平板、橡胶支座或油毛毡垫层时，桩顶就不应作为完全自由端考虑，由于梁或板的弹性约束桩顶就不应作为完全自由端考虑，由于梁或板的弹性约束作用，在受水平外力作用时，限制了桩墩盖梁转动，甚至作用，在受水平外力作用时，限制了桩墩盖梁转动，甚至不能产生转动，而仅产生水平位移，形成了所谓弹性嵌固不能产生转动，而仅产生水平位移，形成了所谓弹性嵌固若采用桩顶弹性嵌固的假定，则可使桩入土部分的桩身弯若采用桩顶弹性嵌固的假定，则可使桩入土部分的桩身弯矩减少，从而可减少桩身钢筋用量。

矩减少，从而可减少桩身钢筋用量4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 如所要计算的单桩或单排桩基础桩顶符合上述弹性嵌如所要计算的单桩或单排桩基础桩顶符合上述弹性嵌固条件，在桩顶受水平力固条件，在桩顶受水平力H作用时，它就只产生水平位移，作用时，它就只产生水平位移，而不产生转动（如图而不产生转动（如图4-30所示）则所示）则图图4-30 4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （（4-76）） 可将弹性嵌固端用双联杆支点表示，并以未知弯矩可将弹性嵌固端用双联杆支点表示，并以未知弯矩MA（使顶端不产生转动的弯矩）代替联杆的约束转动作用后，（使顶端不产生转动的弯矩）代替联杆的约束转动作用后，利用前述的无量纲法，即可求出利用前述的无量纲法，即可求出MA和和xA令式（令式（4-75）中）中 1=0，其相应的，其相应的M即为即为MA，故，故 （（4-77））同理：同理： 当桩墩为等截面时：当桩墩为等截面时：（（4-78））（六）单桩、单排桩计算步聚及验算要求 综上所述，对单桩及单排桩基础的设计计算，首先应根综上所述，对单桩及单排桩基础的设计计算，首先应根据上部结构的类型，荷载性质与大小，地质与水文资料，施据上部结构的类型，荷载性质与大小，地质与水文资料，施工条件等情况，初步拟定出桩的直径、承台位置、桩的根数工条件等情况，初步拟定出桩的直径、承台位置、桩的根数及排列等，然后进行如下计算：及排列等，然后进行如下计算： 1．计算各桩桩顶所承受的荷载．计算各桩桩顶所承受的荷载Pi、、Qi、、Mi；； 2．确定桩在最大冲刷线下的入土深度（桩长的确定）；．确定桩在最大冲刷线下的入土深度（桩长的确定）； 3．验算单桩轴向承载力；．验算单桩轴向承载力； 4．确定桩的计算宽度．确定桩的计算宽度b1；； 5．计算桩的变形系数．计算桩的变形系数 值；值；4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 6．计算地面处桩截面的作用力．计算地面处桩截面的作用力Q0、、M0，并验算桩在地面，并验算桩在地面或最大冲刷线处的横向位移或最大冲刷线处的横向位移x0不大于不大于6mm。

然后求算桩身各截然后求算桩身各截面的内力，进行桩身配筋及桩身截面强度和稳定性验算；面的内力，进行桩身配筋及桩身截面强度和稳定性验算； 7．计算桩顶位移和墩台顶位移，并进行验算；．计算桩顶位移和墩台顶位移，并进行验算； 8．弹性桩桩侧最大土抗力是否验算，目前无一致意见，．弹性桩桩侧最大土抗力是否验算，目前无一致意见，现行现行《《公桥基规公桥基规》》对此也未作要求对此也未作要求4-2 单排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算第三节 多排桩基桩内力与位移计算 如右图所示多排桩基础，其具有如右图所示多排桩基础，其具有一个对称面的承台，且外力作用于此一个对称面的承台，且外力作用于此对称平面内，在外力作用面内由几根对称平面内，在外力作用面内由几根桩组成，并假定承台与桩头的联结为桩组成，并假定承台与桩头的联结为刚性的由于各桩与荷载的相对位置刚性的由于各桩与荷载的相对位置不尽相同，桩顶在外荷载作用下其变不尽相同，桩顶在外荷载作用下其变位也就不同，外荷载分配到桩顶上的位也就不同，外荷载分配到桩顶上的Pi、、Qi、、Mi也各异，因此，也各异，因此，Pi、、Qi、、Mi的的值就不能用简单的单排桩计算方法进值就不能用简单的单排桩计算方法进行计算。

此时，可将外力作用平面内行计算此时，可将外力作用平面内的桩作为一平面框架，用结构位移法的桩作为一平面框架，用结构位移法解出各桩顶上的作用力解出各桩顶上的作用力Pi、、Qi、、Mi后，后，再应用单桩的计算方法来进行桩的承再应用单桩的计算方法来进行桩的承载力与位移验算载力与位移验算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-33 多排桩桩顶位移多排桩桩顶位移与承台位移的关系与承台位移的关系 一、桩顶荷载的计算 为计算群桩在外荷载为计算群桩在外荷载N、、H、、M作用下各桩桩顶的作用下各桩桩顶的Pi、、Qi、、Mi的数值，先要求得承台的变位，并确定承台变位与的数值，先要求得承台的变位，并确定承台变位与桩顶变位的关系，然后再由桩顶的变位来求得各桩顶受力桩顶变位的关系，然后再由桩顶的变位来求得各桩顶受力值 假设承台为一绝对刚性体，桩头嵌固于承台内，当假设承台为一绝对刚性体，桩头嵌固于承台内，当承台在外荷载作用下产生变位后，各桩顶之间的相对位置承台在外荷载作用下产生变位后，各桩顶之间的相对位置不变，各桩桩顶的转角与承台的转角相等，现设承台底面不变，各桩桩顶的转角与承台的转角相等，现设承台底面中心点中心点O在外荷载在外荷载N、、H、、M作用下，产生横轴向位移作用下，产生横轴向位移a0、、竖轴向位移竖轴向位移c0及转角及转角 0（（a0、、c0以坐标轴正方向为正，以坐标轴正方向为正， 0以以顺时针转动为正），则可得第顺时针转动为正），则可得第i排桩桩顶（与承台联结处）排桩桩顶（与承台联结处）沿沿x轴和轴和z轴方向的线位移轴方向的线位移ai0、、ci0和桩顶的转角和桩顶的转角 i0分别为：分别为：4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（一）计算公式及其推导4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算式中：式中：xi——第第i排桩桩顶的排桩桩顶的x坐标。

坐标 若以若以 分别代表第分别代表第i排桩桩顶处沿桩的轴向位排桩桩顶处沿桩的轴向位移、横轴向位移及转角，则桩顶轴向位移、转角分别为：移、横轴向位移及转角，则桩顶轴向位移、转角分别为：式中：式中：xi ——第第i根桩桩轴线与竖直线夹角，即倾斜角，见图根桩桩轴线与竖直线夹角，即倾斜角，见图4-33 ( (4-79) )（（4-80）） 4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-34 第第i根桩桩顶的作用力根桩桩顶的作用力 图图4-35 第第i根桩的变位计算图式根桩的变位计算图式4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 第第i根桩桩顶引起的轴向力根桩桩顶引起的轴向力Pi、横轴向力、横轴向力Qi及弯矩及弯矩Mi值为值为只要解出只要解出 及及一根桩桩顶的一根桩桩顶的Pi、、Qi、、Mi值，然后就可以利用单桩的计算方值，然后就可以利用单桩的计算方法求出桩的内力与位移法求出桩的内力与位移单桩的桩顶刚度系数）后，即可从式（（单桩的桩顶刚度系数）后，即可从式（4-81）求解出任意）求解出任意4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （（4-81）） 4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 图图4-364-364-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-37 4-37 取隔离体显示桩顶内力示意图取隔离体显示桩顶内力示意图4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-37 4-37 取隔离体显示桩顶内力示意图取隔离体显示桩顶内力示意图4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（二）竖直对称多排桩的计算 上面讨论的桩可以是斜的，也可以是直的。

目前钻孔灌上面讨论的桩可以是斜的，也可以是直的目前钻孔灌注桩常采用全部为竖直桩，且设置成对称型，这样计算就可注桩常采用全部为竖直桩，且设置成对称型，这样计算就可简化将坐标原点设于承台底面竖向对称轴上，此时将简化将坐标原点设于承台底面竖向对称轴上，此时将 代入式代入式4-87）可得）可得 （（4-91））（（4-92））4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 （（4-93））当桩基中各桩直径相同时，则当桩基中各桩直径相同时，则 （（4-94））（（4-95）） （（4-96））4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 求得桩顶作用力后，桩身任一截面内力与位移即可按求得桩顶作用力后，桩身任一截面内力与位移即可按前述单桩计算方法计算前述单桩计算方法计算因为桩均为竖直且对称，式（因为桩均为竖直且对称，式（4-81）可写成）可写成 （（4-97））三、基桩自由长度承受土压力时的计算 如图如图4-39所示这种桥台桩基形式，应考虑桥头路堤填土所示这种桥台桩基形式，应考虑桥头路堤填土直接作用于露出地面（或局部冲刷线）段桩身直接作用于露出地面（或局部冲刷线）段桩身l0上的土压力上的土压力影响，除此之外，它基本上与前述形式的高桩承台桩基础的影响，除此之外，它基本上与前述形式的高桩承台桩基础的受力情况一样。

因此，同样可应用式（受力情况一样因此，同样可应用式（4-87）来计算各桩的）来计算各桩的受力值，而不同之处仅是式中外力这一项多了路堤填土土压受力值，而不同之处仅是式中外力这一项多了路堤填土土压力及其引起的弯矩，式（力及其引起的弯矩，式（4-87）可改用下式来表达：）可改用下式来表达：4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算（（4-98））图图4-39 桥台桩基承受土压力示意图桥台桩基承受土压力示意图4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-40 桩受土压力作用时桩受土压力作用时的弯矩和剪力的弯矩和剪力Mq、、Qq的计算：的计算： 认为桩顶与承台为刚性联结，下端与土的联结为弹性认为桩顶与承台为刚性联结，下端与土的联结为弹性嵌固，如图嵌固，如图4-41所示，按力学原理则得：所示，按力学原理则得：（（4-99）） 4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算图图4-41 桩受土压力作用时的弯矩和剪力计算桩受土压力作用时的弯矩和剪力计算 由图由图4-41c）按材料力学变位计算及将式（）按材料力学变位计算及将式（4-99）代入可）代入可得：得： （（4-100））4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 桩在地面（或局部冲刷线）以下部分，由于地面（或局部冲桩在地面（或局部冲刷线）以下部分，由于地面（或局部冲刷线）处作用、，则地面（或局部冲刷线）处桩的位移根据式刷线）处作用、，则地面（或局部冲刷线）处桩的位移根据式（（4-67a）、式（）、式（4-67b）为：）为：（（4-101）） 由于变形连续条件，将式（由于变形连续条件，将式（4-100）代入式（）代入式（4-101）可得：）可得：（（4-102））4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 在求得桩顶的在求得桩顶的Q和和M之后，地面（或局部冲刷线）处的之后，地面（或局部冲刷线）处的剪力剪力Q0和弯矩和弯矩M0即为：即为： （（4-105）） （（4-106））4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算四、低桩承台考虑桩—土—承台共同作用的计算 承台埋入地面或局部冲承台埋入地面或局部冲刷线以下时（见图刷线以下时（见图4-42），），可考虑承台侧面土的水平抗可考虑承台侧面土的水平抗力与桩和桩侧土共同作用抵力与桩和桩侧土共同作用抵抗和平衡水平外荷载的作用。

抗和平衡水平外荷载的作用图图4-42 低桩承台侧面土抗力计算图式低桩承台侧面土抗力计算图式4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 若承台埋入地面或局部冲刷线的深度为若承台埋入地面或局部冲刷线的深度为hn，，z为承台侧面任为承台侧面任一点距底面距离（取绝对值），则一点距底面距离（取绝对值），则z点的位移为点的位移为 为承台底面中心的水平位移，为承台底面中心的水平位移， 为转角），承台侧面（宽度为为转角），承台侧面（宽度为B）土作用在单位宽度上的水平抗力）土作用在单位宽度上的水平抗力Ex，及其对垂直于，及其对垂直于xOz平面平面y轴的弯矩轴的弯矩MEx为：为：4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算 考虑低桩承台侧面土的水平土抗力参与共同作用时，桩考虑低桩承台侧面土的水平土抗力参与共同作用时，桩的内力与位移计算仍旧可按前述方法，只需在力系平衡中考的内力与位移计算仍旧可按前述方法，只需在力系平衡中考虑承台侧面土的抗力因素。

虑承台侧面土的抗力因素 因此，式（因此，式（4-87）中的相关项需增加承台侧土抗力相应作）中的相关项需增加承台侧土抗力相应作用项，即用项，即式中式中B1=B+1，为承台侧面的计算宽度为承台侧面的计算宽度4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算4-3 多排桩基桩内力和位移计算 第四章 桩基础的设计计算。