第六章 刚体运动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第六章：刚体运动,(,拉氏量方法应用,),,,1,：运动方程：,Euler-,Lagraingian,,方程,:,,(2s,个状态,,s,个方程,),2,：体系的几种基本时空不变性：,=>,守恒定律,物理原理回顾,,相应地有运动积分,(,不变量,),,31.,角速度,运动学量介绍,刚体,:,质点组,(,多质点,, >2,,不在一直线,),,,,质点相互直接保持距离不变,.,离散质点组 连续质点组,求和,积分,回忆：如何推导出杆子的运动方程,,通过确定广义坐标，写出拉氏量，最后化间发现只需要,3,个和密度有关的内部量进入运动方程,,即头,3,个距，分布联系与：质量、质心、转动惯量,,为了描述，引入坐标,(,系,),注意：为方便，其实可以只研究一个长方体的运动方程，,,研究它的运动学量，设想下，任何一个物体，都可以被,,长方体所包含，因此，总可以扩展成长方体，取新的扩展,,部分密度为,0,即可在这种情况下，后者可以看出固定的几,,个顶角点通常的惯性参照系,(,固定坐标系,),，,,和刚体固连并参与运动的坐标系,(,动坐标系,),,固定坐标系：,X,，,Y,，,Z,,动坐标系,:,,,,自由度、广义自由度,动坐标系的位置，动坐标系的方向,(3,个轴方向,),,(,注：动坐标系,(,轴,),是随刚体运动的，因此虽然相对刚体取定，,,但相对惯性参照系还是原则上任意参数,,,因为刚体本身相对,,参照系可以是任意方向,.),由此：,6,个自由度。

Now,：,6,个独立广义坐标，如何取？,,2,：物理上，如书所解释，可以如下看待，对无穷小位移，,,可以看出是无穷小的固定点平移,+,无穷小转动，如上图，,,对任意一点：,1,：从数学上比较简单：直接选取,o,点,3,个坐标，然后取,3,个轴,,的方向；,(3,个轴的方向,<-2,个轴的方向,<-1,个轴的方向＋另外,,一轴相对转角；或者,3,轴方向本身,6,个自由度，,3,个垂直约束，,,所以最后,3,个独立角,.),,引入,得到,坐标系直接的变换关系，回忆第四章类似内容,V “,质心,”,速度，称为平动速度,,刚体转动角速度，方向同与转动角方向,( ),刚体任意点上速度可用平动速度、转动速度以及相对位置表示,,不同固定点的选取之间关系,如上定义,得到,转动速度不随固定点的选取变换，这样广义坐标选取的好处！,,进一步物理意义：,从 的关系，,即对这样的角速度，刚体上任一点的速度都与之垂直，即,,在一个平面内，也因此意味着可选取到一点，使得其,V’=0,,(,特定的时刻,),，瞬时转动轴！,,32.,惯性张量,Now,：,拉式量,:,动能,对刚体，所有的 都相同,,,定义,( ),,质心定义：,展开第,3,项，得到,物理意义，两部分动能：平动、转动,,固定点不取质点的情况,具体用分量形式写出转动部分动能,可以看到：体系本身量：对比质心,,定义,对比,最后,称为惯性张量，对称张量,,相加量，类比总质量，质心,……,,连续体情况：,Now,：,关于张量，简化等,,选取新的坐标轴,,,对角化惯性张量，,,此时，相应分量，称主转动惯量,:,,注意：正如选取特定的固定点，简化线性项，这里选取特定,,的方向，简化,2,次形项。

不改变自由度，只是变量变换！,性质：,,非对称陀螺：,3,个主转动惯量都不相等,,对称陀螺 ：有,2,个主转动惯量相等,,球星陀螺 ：,3,个主转动惯量都相等,=>,轴可以任意取,对比振动中的简正坐标的选取、简并,,求主转动惯：对称性,Ex,：,平面质点系,取所在平面为,思考,,体系有对称轴,(,对称轴的阶数,),：质心、惯性主轴,一条直线上的质心系，选该直线为,x3,转子,-,杠子,,普遍情况下的惯性张量,容易计算不同固定点选取下转动惯量的变换关系,不同轴选取下转动惯量的变换关系,,刚体：,10,个表征内部性质的量,,Vs.,牛顿质点：,1,个内部量,,Vs.,经典电子：,2,个内部量,,Vs.,现代粒子：,………….,,例题,1:,将分子看作质点间距离不变的体系，求下面情况下,,的主转动惯量,,(a),形状为等腰三角形的,3,原子分子,质心：高上，距离底边,,,(b)4,原子分子，正三菱锥顶角,质心位于三菱锥高上,,距底为,四面体分子,,33.,刚体动量距,回忆：不同参照系之间动量距的变换关系,方便地，取相对质心做为坐标原点，,M,即固有动量距,,由此,,用张量分量表示,球形陀螺，,3,个主转动惯量相等,,先研究不受外力作用刚体，此时，可选取参照系，无平动,回忆，不用运动方程只用守恒条件可求解体系。

对球形陀螺,,动量距守恒＝,>,角速度守恒，即绕定常轴作等速转动,对转子：角速度垂直于转子轴，即在一平面内绕垂直与,,该平面的一轴转动,,34.,刚体运动方程,一般情况下，,6,个自由度，,6,个运动方程,(1),：直接写下,Euler,方程，从前面的拉氏量,(2):,力学分析办法,,平动部分,U,为刚体在势场中势能,外力和，内部约束力和为,0,注意：质心处！,,上面运动方程，自然是可以作为,Euler,方程得到,,转动部分,选择固定,(,惯性,),参考系，使得给定时刻质心静止,在该参考系中,V,＝,0,,则,力矩,,具体地，由于动量距是相对质心定义的，根据伽利略相对性,,原理，上面特定参考系下的运动方程在参考系下不变，,,即对所有参考系不变,.,坐标平移下，力矩的变换,,同样地，上面方程可以由拉氏量给出！,回忆,,无穷小转动下,即,,物理讨论：假设 相互垂直，则存在矢量,a,,使得,a,的选取有一定任意性，可任意叠加平行,F,的矢量,力矩为,0,，并且有一定平行任意性，即力的作用可以归结,,为作用于一直线的一个力,例子：均匀力场,,引入,可得,力场的影响归结为作用在,r0,点上一个力,F.,,34.,欧拉角,确定,3,个动坐标轴,x1,x2,x3,,相对固定坐标轴,X,，,Y,，,Z,,位置，选取同一原点,Z,轴在,x1x2,平面的投影垂直与,N,轴，即和,x1,夹角为,\pi/2-\psi,,对比球坐标,取值范围,一个转动需要一个矢量描述，,,也即转动是有方向,,比如：转动,\theta,或者转动,d\theta,是有方向,,用欧拉角和其导数表示角速度,在,x2,x3,方向上的投影，各分量投影和即是矢量,(,角速度,),,用欧拉角表示时候在,x1,x2,x3,方向上的投影,,,欧拉角的另一种表示：,,如何从,XYZ,到,x,1,x,2,x,3,同上图做如下转动,,即可得欧拉角,,进一步，考虑无穷小时间后，转动,注意： 是矢量， 不代表矢量，或者说不需要是矢量,由上面的转动定义，略去二阶小量，可以得到,这里，在新的角度下，,N,和,N’,差无穷小量，绕,N,或者,N’,再做,,无穷小转动是一样的,(,略去二阶小量下,),,继续即得,,更细致地，无穷小时间下：,1,：明显地，绕着,Z,轴转动,2.,然后,N’,轴转 减去绕,Z,轴转,3.,绕,x,3,’,。

解析代数方法可以证明：忽略二阶小量一致取单位矢量，标出所有坐标，,N’,轴转动,theta’=N,轴转动,theta’,先绕,N,轴转动，再绕,Z,轴转动，不能得到新角度下的,x,1,’x,2,’x,3,’,除非先绕,N‘,,代表的物理意义：,,沿,Z,轴转动,\,fai,角相当于第一步沿,x_1,转如果直接取微分，并认,theta,psi,也是时间相关函数时，,,这时候，表达式为,此时：注意到投影方向已经改变,!,,,换言之：,,我们所选的坐标系为固定坐标系：,,考虑固连坐标系时的运动方程会有所区别，,36,节,.,,最终,选惯性主轴，对对称陀螺,有,,应用：对称陀螺的自由运动,选固定坐标系的,Z,轴沿陀螺定常动量距方向，动坐标系,x3,,轴沿陀螺对称轴，,x1,在给定时刻与,N,轴重合，则有,另,N,轴垂直于,Z,轴,,可得,固定坐标系下的方程求解,Vs.,下面欧拉方程的形式,,36.,欧拉方程,书上首行,:34,节,not 33,节,回忆前面给出的运动方程,固定惯性参考系下,,with,,(,取两坐标系坐标原点重合,),,1,个矢量相对动坐标系不动，则有其相对固定坐标系的变化,进一步，如果矢量本身同时相对动坐标系有运动变化，则,,有矢量叠加,其中第一项为矢量相对动坐标系的变化。

理解为分量形式,,代入运动方程，可得,其中，时间求导是相对于动坐标系中的，,,选取动坐标系中的时间，空间坐标，则直接有分量形式,,(,注：同一坐标系中的时间空间坐标,),,代入,注：,Omega,是固定坐标系相对固连坐标系的转动，,,而不是固连坐标系相对刚体的转动（,0,）,,假定选取的是惯性主轴，则有 等,欧拉方程,定点转动方程,,当,K=0,时，欧拉方程退化为,,具体地，对对称陀螺：,由上面方程可知,其中,代数化简,,得到,其中,A,是常数由此,上述物理解的物理意义,角速度在垂直陀螺轴,(x3),的平面内投影为常数，并且在该,,平面内角速度固定,omega!,Vs.,固定坐标系下求解情况,,固定坐标系下,,欧拉方程：分量为,x1,x2,x3,方向,,固定坐标系方程：分量为,X,Y,Z,方向,,两方程等价，相差一个变换！,理解为分量形式,,37.,非对称陀螺,假设现在的刚体,(,陀螺,),运动积分的应用,(,能量守恒和动量守恒,),,用,M,的分量表示，有,椭球面方程和球面方程！,运动过程中不变,,运动学量,,几何意义！比如两球面相交条件,etc…,精细求解，利用动力学方程，先代换变量,再利用欧拉方程，代入，可得,,假设,做变量代换,(,方便,),,引入参数,最后有,选择初始时间,比较前面能量守恒求一维运动！,,可积分得,雅克比椭圆函数,,,JacobiSN[,u,,,m,],,JacobiCN[,u,,,m,],,,由此可得其他变量的时间变化关系，最后有,周期函数，周期为,4K,K,为第一类椭圆函数,.,,对时间的周期为,当,I1=I2,时，回到对称陀螺公式,当 时,,陀螺在空间的绝对运动,,(,相对固定坐标系,,,注前面用的是欧拉方程！,),引入,x1,x2,x3,和,X,Y,Z,间的欧拉角,由此,取,M,沿,Z,方向,,进一步,另，对,phi,角，有,,消去无关量,积分结果！,,讨论,不做要求,,其他,周期函数之和！,,38.,刚体接触 不要要求,,39.,非惯性参考系中的运动,运动方程的变换归结为,Euler,方程形式不变,,1,：假设参考系,K0,，,K’,相对速度,V(t),，,则,某个函数对时间的全导数,,(,可舍去,),,r’,为质点在参考系,K’,中的径矢,代入,L,，,舍去全导数，可得,,Euler,方程,等价于一个均匀立场,,2,：参考系,K,K’,有共同原点，有相对角速度,(,质点在,K,，,K‘,中的径矢重合,),代入,L,，,有,物理意义,?,,Euler,方程,,运动方程,物理意义,,转动参考系产生的“力,”,3,部分,科里奥利力；等速转动,离心力；等速转动,非等速转动,大小，方向,….,,没有平动且等速转动情况,(,质点对比刚体,,,只是自由度坐标,…),,能量,代入,回忆能量的最本质定义,&,时间平移不变。

离心势能,,故,但能量不相等,,总结,&,习题,,本章内容：,4,个参照系，两组广义坐标以及关于“矢量”约定,(,运动学,),,,拉氏量,(,动力学,),,,,,固定参照系,K0,：,O,X,Y,Z.,,,固定参照系,K0’,：,坐标原点取刚体质心,,X,Y,Z,,,惯性参照系坐标,K’,：,坐标原点取刚体质心,,,且瞬时无相对速度,.,,,动坐标系,K,：,与刚体固连,,,坐标原点取刚体质心，,,任意时刻无相对速度,.,,,,,,,广义“坐标”,(,角度部分,),： 角速度,,欧拉角,对比非惯性系变换情况， 我们用同样的标记！,,,Ex,：,,,1,：,转动惯量各分量与所选轴的关系,,,,2,： 角速度是刚体,K,相对,K’,的转动方向和大小,(,即绕质心,),,,换句话说，也是,K’,相对,K,的负转动方向和大小,,,,,3,：“固有,”,动量距是刚体在,K’,中的瞬时角动量,,在该时刻：下标表示,K’,中的分量,注意：质心固定下，对于球对称刚体，无论轴怎么选取，,,I,都是固定，角动量总是平行于角速度一般情况下，在,K0,K0’,K’,中,I,是随时间变化的,?,,（不对,, I,是在固连坐标系中看到的,,Omega,是固连坐标相对固定坐标系的，,L,已经包含了全部的信息,.,）,,4,： 运动方程形式,1,这里的角动量可以是,K’,中的，也可以是,K0,K0’,中的，,,因为两者都是惯性参考系！,,（注,:,还不完全，成立与否看,L,量的变化，大部分情况下成立）,,但注意，不是,K,中观察到的分量！,,“,矢量,”,的约定,:,,,讨论中，物理质点绝对位置不变，也即矢量本身不变，,,一般情况下，有意义的讨论则是矢量在特定坐标系中的分量。

而这些分量的表达式则取决了坐标系的原点和轴的取向,,比如： 同一质点在,K0,K0‘,，,K,K’,中看到的速度,V,，,dV/dt,之间,,的关系等,,,即是,K‘,，,K,参照系看到矢量的分量之间变换关系Or,物理上：不同参照系看到的“矢量”,,运动方程形式,2,：欧拉方程,,把上述方程变换到,K,中,:,讨论定点转动时候，,K0,，,K0’,，,K’,重合，,,此时,V=0,,且,dV/dt,=0,相应无外力作用，,,无转动时候，动坐标系,K,和固定坐标系,K’,重合相应无力矩物理意义的理解：,,变换后,V1,2,3,是什么？角速度,1,2,3,又是什么？,变换前，,V,是,K,中原点相对,K0,中原点的速度，,,V1,则是这一速度矢量在,K,中看到的分量，也即在,K,中看到,,K0,点,(-),速度在,K,中的投影分量角速度也是同理，是,K’,相对,K,转动的,(-),角度速在,K,中的投影,求解思路，先求出这样的角速度，再通过和欧拉角关系变回,,到固定参考系中的解,(,该参照系中，物理图像清晰,.),,另,:,一些特殊情况下，不需要这样求解！如,P108,P113.,,,欧拉角和角速度之间关系！,,拉氏量,：,(K0,中,),,1:,由 质量、质心位置、转动惯量,,,R,、,转动角速度表述,,,2,：由质量、质心位置、转动惯量,,,R,、,欧拉角,(,速度,),表述,,( ),,习题：,1,：给定坐标系，求转动惯量,,2,：求主转动惯量,(,注：和坐标无关,),,3,：求转动、平动体系动能,,4,：求动量距,,5,：求解运动,,……,,P105,均匀滚动圆柱，求动能,,如图几何情况，有质心平动速度大小，方向,对质心不动坐标系，转动速度＝相对速度,/,相对距离：,,（地面接触点速度为,0,，动坐标系其相对圆心速度为,aomega,,,静止坐标系圆心相对它速度也为,a omega,,故为,0,）,方向,其中,,,注意坐标系，,z,方向在运动过程中不变,,P105,均匀圆锥平面上滚动,,几何如上图,质心位置、质心速度,2alpha,是圆锥顶角,投影,相对转动轴,(,注,:OA,不经过质心,),转动速度，同上题,质心在,OA,上投影，相对速度,/,相对距离,,选主轴，算角度在轴上投影,圆锥主轴：,x3,重合圆锥轴，,x2,垂直于,OA,和圆锥轴,.,,角速度,(OA),投影为,相应的主转动惯量,,圆锥主转动惯量,,计算技巧,,P113,下端点固定，对称陀螺重力场中运动问题,几何图示、运动学量、运动方程。

固定点运动！,,拉氏量，见,35,节,(35.2),和,(32.12),坐标选取,L:,质点到顶点距离,注意：这里的方向都是在,x1,x2,x3,方向，换句话,,角速度的分量都是在,x1,x2,x3,方向的投影，故相应的,,转动惯量也是在,x1,x2,x3,中的！故是常数,,,因为,x1,x2,x3,同刚体,.,,这是不同于选取,X,，,Y,，,Z,坐标系来表示角速度方向的情况！,,矢量和其分量：矢量本身与坐标系无关，分量是和坐标系有关,.,,Or :,,由此，得到,其中,又能量守恒,,可求得,结合能量守恒，可得,,求得,代入前面，即可得到其他欧拉角关于时间的函数关系！,,具体的位形分析研读下,,P131,求地球自转,(,小角速度,),引起自由落体的偏移,,重力场中,有没平动加速度等速转动的参考系中的,,运动公式,(39.9),，再考虑角速度很小，有,微扰逐阶求解！,,代入，保留,1,阶，可得,0,阶近似,积分,,解的物理意义，几何图像：取,z,轴垂直向上，,x,轴经线指向极点,,初始速度为,0,情况,代入,,偏移！,地轴是一根通过地球南北两极和地球中心的假想线在赤道的南北两边，画出许多和赤道平行的圆圈，就是“纬圈”；,,构成这些圆圈的线段，叫做纬线。

从北极点到南极点，可以画出许多南北方向的与地球赤道垂直,,的大圆圈，这叫作“经圈”；构成这些圆圈的线段，就叫经线南极是根据地球旋转方式决定的最南点附录：朗道一书刚体一章可以考虑重新整理下，,,整体如上面的总结比较好！,,确定好运动学内容，然后结合动力学的内容就容易理解了后面的,ppt,顺序是乱的，还没整理！,,现在来看：非惯性系中质点的运动,,(,按照我们的约定：矢量在绝对空间中，其余的都用分量表示,,不同参照系，坐标轴不同,=>,分量不同！,),,有,K0,K’,K,三个参照系中矢量分量的变换关系,(,或者坐标轴,),,相应坐标轴,0,,朗道一书关于“矢量”的约定：,,固定的 都是特定的物理,“,点”！,,关键是全微分时候,,,,Ex：,现在来看矢量,OA,在两个参照系中,,的关系,! x,相对,X,转动加平动,OO’,重合且只有转动时：,,矢量本身在两参照系都是如图所,,示，固定但其在不同参照系的分量随时间,,变化的关系明显会不一样！,,进一步，假的,OA,在,x,中各分量不随,,时间变化,.,即,,再回头看朗道这种约定的其他地方,即是,K‘,，,K,参照系之间的变换关系,,朗道力学,:,矢量在不同参照系中的变换关系,,约定的“订正”,Now,：,约定矢量 仅表征矢量本身，由空间中两点之间决定！,,这样约定的符合与参照系无关！,,其他的讨论可以通过该矢量在不同参照系的分量来表述！,,这样的好处，对比朗道书中表达式，可以少些预语言的区分描述。

比如,P116(36.1),要区分矢量,A,在固定参照系中随时间变化和矢量,,A,在转动参照系中随时间变化,.,固然，明了这种标记区分后，,,也可以准确讨论，但是如上面,,约定后，可以更简洁！,,相应的物理意义：,,左边：矢量在动坐标系中的分量对时间的导数,,右边第一项：矢量在固定坐标系的分量对时间的导数,,右边第二项,:,矢量在固定坐标系的分量,,,,即是,朗道一书的约定：矢量已经直接关联到某个参照系中的分量，,,比如矢量,A,相对固定参照系不变，那么其相对动坐标系看起来自然,,是转动的，因为其分量已变了！,(,认为自己的坐标轴不变！,),,,两种约定的差别，看个人爱好 理解图像，相互自洽就可以。