
5.2-导数在研究函数中的应用.doc
9页第2讲 导数在研究函数中的应用★ 知 识 梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内 ;如果,那么函数在这个区间内 .解析:单调递增;单调递减2. 鉴别f(x0)是极大、极小值的措施若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的 ,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是 解析:极大值点;极小值.3.解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的环节:(1)拟定函数的定义区间,求导数f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间提成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处获得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处获得极小值;如果左右不变化符号,那么f(x)在这个根处无极值.4.求函数最值的环节:(1)求出在上的极值.(2)求出端点函数值.(3)比较极值和端点值,拟定最大值或最小值.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点:熟悉运用导数解决单调性、极值与最值的一般思路,纯熟掌握求常用函数的单调区间和极值与最值的措施2.难点:与参数有关单调性和极值最值问题3.重难点:借助导数研究函数与不等式的综合问题(1)在求可导函数的极值时,应注意可导函数的驻点也许是它的极值点,也也许不是极值点。
问题1. 设,.令,讨论在内的单调性并求极值;点拨:根据求导法则有,故,于是,2减极小值增列表如下:故知在内是减函数,在内是增函数,因此,在处获得极小值.(2)借助导数解决函数的单调性,进而研究不等关系核心在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数,若在时恒成立.(1)求证:函数在上是增函数;(2)求证:当时,有. 点拨:由转化为为增函数是解答本题核心.类似由转化为为增函数等思考问题的措施是我们必须学会的.(1)由得由于,因此在时恒成立,因此函数在上是增函数.(2)由(1)知函数在上是增函数,因此当时,有成立,从而两式相加得★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数与函数的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(广东高考)设,函数,,,试讨论函数的单调性.【解题思路】先求导再解和【解析】 对于,当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是减函数,在上是增函数;对于,当时,函数在上是减函数;当时,函数在上是减函数,在上是增函数名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般环节.(1) 求函数的导数(2)令解不等式,得的范畴就是单调增区间;令解不等式,得的范畴就是单调减区间(3)对照定义域得出结论.[误区警示]求函数单调区间时,容易忽视定义域,如求函数的单调增区间,错误率高,请你一试,该题对的答案为.题型2.由单调性求参数的值或取值范畴例2: 若在区间[-1,1]上单调递增,求的取值范畴.【解题思路】解此类题时,一般令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再运用解决不等式恒成立的措施获解.解析:又在区间[-1,1]上单调递增在[-1,1]上恒成立 即在[-1,1]的最大值为 故的取值范畴为【名师指引】:本题重要考察函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.【新题导练】.1. 若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范畴是A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.00恒成立,∴y=x3+x在(-∞,+∞)上为增函数,没有减区间.答案:A3. 已知函数,,设.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;解析:(I),∵,由,∴在上单调递增。
由,∴在上单调递减∴的单调递减区间为,单调递增区间为II),恒成立当时,获得最大值∴,∴考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.运用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数在处获得极值,则 .【解题思路】若在附近的左侧,右侧,且,那么是的极大值;若在附近的左侧,右侧,且,那么是的极小值.[解析]由于可导,且,因此,解得.经验证当时, 函数在处获得极大值.【名师指引】 若是可导函数,注意是为函数极值点的必要条件.要拟定极值点还需在左右判断单调性.例2.(·深圳南中)设函数(),其中,求函数的极大值和极小值.【解题思路】先求驻点,再列表判断极值求出极值解析:.,.令,解得或.由于,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处获得极小值,且;函数在处获得极大值,且.【名师指引】求极值问题严格按解题环节进行例3.已知函数.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若对所有均有,求实数的取值范畴.【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一种极大(小)值时,该值就是最大(小)值解析:的定义域为, …………1分 的导数. ………………3分令,解得;令,解得.从而在单调递减,在单调递增. ………………5分因此,当时,获得最小值. ………………………… 6分(Ⅱ)解法一:令,则, ……………………8分① 若,当时,,故在上为增函数,因此,时,,即.…………………… 10分② 若,方程的根为 ,此时,若,则,故在该区间为减函数.因此时,,即,与题设相矛盾. ……………………13分综上,满足条件的的取值范畴是. ……………………………………14分解法二:依题意,得在上恒成立,即不等式对于恒成立 . ……………………8分令, 则. ……………………10分当时,由于, 故是上的增函数, 因此 的最小值是, ……………… 13分因此的取值范畴是. …………………………………………14分【名师指引】求函数在闭区间上的最大值(或最小值)的环节:①求在内的极大(小)值,②将极大(小)值与端点处的函数值进行比较,其中较大者的一种是最大者,较小的一种是最小者.题型2.已知函数的极值和最大(小)值,求参数的值或取值范畴。
例3.已知函数图像上的点处的切线方程为.(1)若函数在时有极值,求的体现式(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范畴【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法,求参数的取值范畴一般需建立有关参数的不等式(组)解析:, -----------------2分由于函数在处的切线斜率为-3,因此,即,------------------------3分又得4分(1)函数在时有极值,因此,-------5分解得,------------------------------------------7分因此.------------------------------------8分(2)由于函数在区间上单调递增,因此导函数在区间上的值恒不小于或等于零,--------------------------------10分则得,因此实数的取值范畴为----14分【名师指引】已知在处有极值,等价于新题导练】4.在区间上的最大值为,则=( )A. B. C. D. 或解析:选B在上的最大值为,且在时,,解之或(舍去),选B.5.在区间上的最大值是A. B.0 C.2 D.4[解析],令可得或(2舍去),当时,>0,当时,<0,因此当时,f(x)获得最大值为2.选C6.已知函数是上的奇函数,当时获得极值.(1)求的单调区间和极大值;(2)证明对任意不等式恒成立.[解析](1)由奇函数定义,有. 即 因此, 由条件为的极值,必有 故 ,解得 因此 当时,,故在单调区间上是增函数.当时,,故在单调区间上是减函数.当时,,故在单调区间上是增函数.因此,在处获得极大值,极大值为 (2)由(1)知,是减函数,且在上的最大值为最小值为因此,对任意恒有[措施技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.。
