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功能梯度输流管的振动和失稳分析刘辰，柯燎亮(北京交通大学力学系，北京100044)摘要：本文将功能梯度材料(FGMs)应用到输流管结构中，采用Timoshenko梁模型模拟功 能梯度输流管，讨论在不同的边界条件下，梯度指数对输流管的振动和失稳特性的影响假 定管道中的流体为不可压缩的理想流体在分析计算过程中，本文采用能量法推导出控制方 程和对应的边界条件，再通过微分求积法(DQ法)对控制方程进行离散和数值求解另外， 采用经典的均匀分层模型来近似模拟梁梯度变化的材料参数关键词：功能梯度梁；输流管；DQ法；均匀分层模型；振动；失稳Flow-induced vibration and instability analysis offunctionally graded pipesLIU Chen, KE Liaoliang(Institute of Engineering Machanics, Beijing Jiao tong University, Beijing 100044.) Abstract: In this paper, the functionally graded material (FGM) is applied into the fluid-conveying pipe structures. By using the Timoshenko beam theory, the influence of the gradient index on the vibration and instability of the FGM fluid conveying pipe will be discussed in details under different boundary conditions. In the analysis, the Hamiltons principle is used to derive the governing equations and boundary conditions, and the differential quadrature method (DQM) is used to solve the numerical solutions of the governing equations. And also, the classical homogeneous multi-layered model is used in calculating the material coefficients of the FGM pipe.Key words: Founctionally graded materials; Fluid-conveying pipe; DQM; Homogeneous multi-layered model; Vibration; Instability0引言输流管道(Fluid-conveyingPipe)系统的流固耦合振动问题被称为"典型的动力学问 题”［1］,具有物理模型简单明了，数学描述形式简洁的特点。

又因为易于设计制造，使此类 问题的理论研究与实验研究可以协同发展振动问题是影响输流管道工作性能的关键因素之 —i因此，控制输流管的机械振动是十分重要和必要的为改善输流管的振动和稳定特性， 本文中采用功能梯度材料作为管壁材料功能梯度材料(Functionally Graded Materials, FGMs),首次由日本科学家于1984年提出［2-3］,指材料的结构组成沿某一方向由一侧向另 一侧呈连续梯度变化，从而使材料性质和功能也呈梯度变化的一种新型非均匀复合材料［4］ o 通过有针对性地改变功能梯度材料各组份材料体积含量的空间分布规律，可以达到优化结构 内部应力分布的目的，同时可以减少热应力值至最小，抑制自由边界与界面处的严重的应力 集中和奇异性固近年来，均匀输流管的振动和稳定性被国内外大量学者广泛关注［6一7］Reddy 等凶详细的论述了用能量原理推导输流管道振动和稳定特性分析的控制方程，分别利用Euler 梁和Timoshenko梁模拟输流管，解析求解出输流管的振动频率和模态形状本文采用Reddy 等［旬建议的方法，进一步分析功能梯度输流管的振动和稳定性问题基金项目：教育部博士点新教师基金(No. 20100009120018 作者简介：刘辰(1988-),男，博士生，新型材料梁板结构通信联系人：柯燎亮(1979-),男，副教授，新型智能材料和结构.llke@1问题的描述1.1控制方程推导FGM输流管结构如图1所示，长度为L ,管壁内径为n ,夕卜径为n。

假设管壁材料的 杨氏模量 ( r) >密度p ( r)和Poisson比v (厂)均沿管的横截面半径方向，以幕函数形式变化：丫 ( nE(r)=Ei + ( E2-E1 )\r~y, o(r) = ^1 + (^2- )\ I "\r2-ri) \r2-n )(厂一门)1厂2 - ir )其中，下标的T"和“2”分别表示FGM管的内、外表面的材料属性在管道内传输的流体占 满了整个管的内部空间，流体的密度为W ,流速为vo o对于梁上任意一点，在x轴和z轴方向上的位移U(x9z,t)和W (x, z, 0分别可以表示为：[/ (兀,y, z, t)=必(兀昇)+ z qo (x, t), W (兀,y, z, t) = wo (兀，t) (2)假设管中输送的流体为不可压缩流体，FGM输流管的总应变能FL和总动能口丁的表达式为：f 7 l duo Ocpo duIL -Usp - 2 Jo M Sr + Mx dx + Qx dx dxX\.T =T\tP + T\.Tf__ 1 l[ (duo、 (duo、(Qcpo、(O(po、 (dwo)"2 [lLll~l U Al IM 两 丿0 —根据Hamilton原理，系统的应变能EL和动能E应满足如下等式关系：J(bn 厂 = 0 (5)将式(3)-(4)代入式(5)求变分，并将6附、5

对应的系数都化为零，即可得到求 解功能梯度输流管系统的振动和失稳问题的控制方程：diuo diua71加=饉(/i +mf) ddtW2o = k.-mf V02 ddxwlo + 怎 A55 55(pxo - 2m/ vo ddxwdto^2(p ^2(p dw(/3 + J/ ) dt20 = Dll 8x20 - ks A55 fl 8x0 + (pol I I \其中，m f = p f Af02WO,dt2为横向加速度,Y为转角加速度,CT 22vodxdts-w为向心加速度另外，对应的边界条件为: dxi在兀=0禾口 x = L处，wo = 0, or No = 0wo = 0, or Qo = 0(po = 0, or Mo = 01.2无量纲化向上面的控制方程组(6)中引入下面的无量纲化量x LwojvoL， "w)7TD —lAno，廿Znolino1\mf, /3 , Jy j = | • , , [^/no + m/Ino + m/(lno+/n/)xn no+ m/)x^22 (/ 控制方程可以转化为无量纲化形式：_ S1U~ 2还/1 鸟 2 Fl 〃2 —1,1 +而)丽=(凉z— — 2 如 8W 2(3 + 〃)碉=朋玄2 ",即—-ksassr^ip当输流管两端较支时，边界条件应该满足"I _|u 卜o」=0, w ;=o,i = 0,_ =0 必2『R 口,1当输流管两曹固支时，呼界条件应if满足u = 0, w i=o,] = 0, (p 口」=0Jf2微分求积法求解在无量纲形式的控制方程组中，式(9-a)与后两式间为解耦关系。

仅考虑 动，控制方程可以简化为(6)Coriolis加速度,(7)(8)(9-a)(9-b)(9-c)(10-a)(10-b)FGM梁横向振2 ,如2)邂w + ka J g2a="11 醜 _ ks Q55T| ddC,W - ks O55T) (p2N{w,(p} = (匚){w/n (nt ) ,(pi (匚也,T )}m=\N—工C(fm)(匚){w/n (s ,T ) ,

考虑到边界条件的影响，将 离散点的坐标取为：” 1 r 兀(” -1)], 、=1匚 , 丨，” = 2,3”..,N-1 (12)2L N-2」在离散点选定之后，相对应的位移分量w和＜p ,以及位移分量对匚的k阶偏微分可以表示为将离散后的位移分量w和cp改写为向量形式可以表示为： [da } = {wi , WN ,(pl ,(pN } [db } = [wi ‘ W3 WN-1 ,(p2 ,(p3， / (18) 其中，{da }表示边界点处的位移，和边界条件的处理相关；{山}表示中间点处的位移则控制方程可以写为矩阵形式： ||I - I I「Ku腔2〔1 翩H el 九〕咆j 涮1!怀Lo (19)L 21 22」〔b J 21 22 」k/d L 21 22 _l I 血 I输流管结构的振动位移可以表示为如下简谐振动形式：{da, d b } = {da, db} (20)其中，3为无量纲化频率，{d,』}为未知无量轍振鳳频率顶的实部Re)代表输流管=⑺”,叭,则方程阳勖(21)其中,(22)J—M 右% I」其中,E表单位矩阵根据方程(21), FGM输流管的振动频率和失稳特性就可以直接求出。

3数值计算结果假定FGM材料管采用铝-SiC陶瓷材料复合而成，管的长度L = 6m,内径n= 0.19m , 外径T2 = 0.2m ,内壁材料为铝(E, = 7 xlbN/n2 , pi = 2.7 xlO kg 3, vi = 0.33 ),外壁 材料为 SiC 陶瓷(E2 = 42.7 xlO1(Sf n^2 , p2 = 3.1x10kgiw/, V2 = 0.17 )管道内的流体为 水，密度为 pf= 1x10 kg m3/ ovo(Ino/Aiio)(a)Vo(hio/Aiio)(b)图2两端固支管在不同材料梯度情况下的无量纲振动频率Fig.。