重积分计算（直角坐标.ppt

7.2.1 利用直角坐标 计算二重积分,Double integrals in rectangular coordinates,The Type I Region,,,,,D,,,,a,b,x,X型区域,X型区域,The Type II Region,,,D,,,,c,d,y,,,Y型区域,,,,,,,,,X型&Y型,X型，非Y型,,,非X型，非Y型,,,,划分为若干X型区域,(1) X型区域上的二重积分,X型区域,求二重积分,回忆：,求立体体积的 “切片法”,已知：平行截面的面积,则立体的体积为：,,,,,,,,,,,,,,x 视为常数,,,二次积分,累次积分,Iterated integral,,积分次序：,,,视为常数,,先 y,后 x,,,,第一次积分中， 将 x 视为常数， 对 y 积分 （偏积分）,,(2) Y型区域上的二重积分,Y型区域,求二重积分,,,,,,,,y 视为常数,,,二次积分,积分次序：先 x 后 y,,,,视为常数,积分次序：,,先 x,后 y,,,,,第一次积分中， 将 y 视为常数， 对 x 积分 （偏积分）,矩形区域,先 y 后 x,先 x 后 y,(3) 矩形区域上的二重积分,Fubini’s Theorem,,,,Fubini’s Theorem,,特别地，如果,即分别计算两个定积分，再相乘,（3）定限：确定两次定积分的上限和下限， 将二重积分化为二次积分；,计算二重积分的步骤,（1）作图：作出积分区域 D 的图形；,（2）确定积分次序：根据 D 的类型， 选择方便、可行的积分次序：,X型：先 y 后 x,Y型：先 x 后 y,X型&Y型：选择方便、可行的次序,（4）计算：计算二次积分。

Example,Find,解 利用公式,第一次积分中， 将 x 视为常数， 对 y 积分,,,,另解,解,第一次积分中， 将 y 视为常数， 对 x 积分,,,视D为Y型区域：先 x 后 y,解,,X型区域,,,,另解,,,Y型区域,将D视为Y型区域：,,例,计算,解,作图,,,,,,交点：(1, 1),quxian:=implicitplot(y=1/x,x=0.12.22,y=02.2,thickness=3,scaling=constrained): x_axis:=implicitplot(y=0,x=-0.42.55,y=-0.10.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black): y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.10.1,y=-0.12.2,thickness=3,scaling=constrained,color=black): display(quxian,x_axis,y_axis);,(1/2, 2),(2, 2),比较麻烦,,,,,,按X型区域定限,,,按Y型区域定限,此题按Y型区域定限较简单,例,计算,解,quxian:=implicitplot(y^2=2*x+6,x=-46,y=-55,thickness=3,scaling=constrained): x_axis:=implicitplot(y=0,x=-46,y=-0.10.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black): y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.10.1,y=-55,thickness=3,scaling=constrained,color=black): display(quxian,x_axis,y_axis);,,,,作图,求交点：,,,quxian:=implicitplot(y^2=2*x+6,x=-46,y=-55,thickness=3,scaling=constrained): x_axis:=implicitplot(y=0,x=-46,y=-0.10.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black): y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.10.1,y=-55,thickness=3,scaling=constrained,color=black): display(quxian,x_axis,y_axis);,宜按Y型区域定限,,,改变积分次序,将已知二次积分的积分次序 改变成另一积分次序,Reversing the order of integration,改变积分次序的步骤,根据所给的二次积分上、下限画出积分区域 D 的图形；,2. 将 D 视为另一类型的区域，重新定限,解,,X型区域,,,Y型区域,,,根据所给的二 次积分上下限 画出积分区域 D的图形,将D视为另一类型的区域,重新定限,,改变积分次序：,,,,,,,,,,Y型区域,X型区域,原积分,合并,计算二次积分,,解,若先积分,则“积不出”,原函数不是初等函数,常见的“积不出”的积分：,在二重积分中不要先去碰这些积分,,怎么办？,改变积分次序，避开这个“积不出”的积分,X型,Y型,,这下好办了！,,,,,视为常数！,例,,,,,,圆环区域用直角坐标定限十分复杂,利用积分区域的对称性 和被积函数的奇偶性 计算二重积分,回忆：,二重积分有类似的结论,若D关于 y 轴 (x = 0) 对称,当 f(x, y) 关于 x 为奇函数,当 f(x, y) 关于 x 为偶函数,f(x, y) 关于 x 为奇函数：,f(x, y) 关于 x 为偶函数：,,,则,若D关于 x 轴 (y = 0) 对称,当 f(x,y) 关于 y 为奇函数,当 f(x, y) 关于 y 为偶函数,f(x, y) 关于 y 为奇函数：,f(x, y) 关于 y 为偶函数：,,,则,若D关于 x 轴 和 y 轴都对称,且 f(x, y) 关于 x 和 y 均为偶函数,,则,若D关于直线 y=x 对称,且 f(x, y) 关于 x 和 y 对称：,,则,题,,解,关于 x 轴和 y 轴均对称,关于 x 为奇函数,关于 y 为奇函数,只有D关于坐标轴对称 而被积函数没有与之匹配的奇偶性 则不能利用相应的公司,分段函数的二重积分,（B）题11,,,,,,,。