与圆有关的轨迹方程-修订编选.pdf

求与圆有关的轨迹方程 概念与规律概念与规律 求轨迹方程的基本方法 （1）直接法直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程 （2）转移法转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是： 设动点 M（x， y），已知曲线上的点为 N（x0，y0）， 求出用 x，y 表示 x0，y0的关系式， 将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程 （3）几何法几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程 （4）参数法参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中 x，y 之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程 （5）定义法定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程 讲解设计重点和难点讲解设计重点和难点 例 1 已知定点 A（4， 0），点 B 是圆 x2+y2=4 上的动点，点 P 分的比为 2：1，求点 P 的轨迹方程AB 例 2 自 A（4，0）引圆 x2+y2=4 的割线 ABC，求弦 BC 中点 P 的轨迹方程 方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OPBC， 当x0 时，kOPkAP1，即 即x2y24x0. 当x0 时，P点坐标(0,0)是方程的解， BC中点P的轨迹方程为x2y24x0(在已知圆内的部分) 方法二：(定义法) 由方法一知OPAP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM||OA|2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是(x2)2y24(在已知圆内的部分) 例 3 已知直角坐标平面上的点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（ 0），求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合是：P=M||MN|=|MQ| 2 圆的半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1， 设点 M 的坐标为（x，y），则 (2+ 2 1)= ( 2)2+ 2 整理得（x-4）2+y2=7 动点 M 的轨迹方程是（x-4）2+y2=7 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为 7 例 4 如图，已知两条直线 l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与 l1，l2都相交， 并且 l1与 l2被截在圆内的两条线段的长度分别是 26 和 24，求圆心 M 的轨迹方程 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2的距离分别为 d1和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得， 即 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为=25, 即=25. 化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 练习与作业练习与作业 1、 已知：点 P 是圆上的一个动点，点 A是轴上的定点，坐标为（12，0），当 P 点在圆上运动时，求线段 22 16xyx PA 的中点 M 的轨迹方程 2、 已知点 A（-1，0）与点 B（1，0），C 是圆 x2+y2=1 上的动点，连接 BC 并延长到 D，使|CD|=|BC|，求 AC 与 OD（O 为 坐标原点）的交点 P 的轨迹方程。

3、 求与轴相切，且与圆也相切的圆 P 的圆心的轨迹方程y 22 40 xyx 4、 由点 P 分别向两定圆及圆所引切线段长度之比为 1：2，求点 P 的轨迹方程 22 1:( 2)1Cxy 22 2:( 2)4Cxy 5、已知与相切的直线 交轴、轴于 A、B 两点，O 为坐标原点， 22 :2210C xyxy lxy .,2,2OAa OBb ab (1)求证:;(2)求线段 AB 中点 P 的轨迹222ab 。