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谈谈高斯-勒让德公式推导过程27页.doc

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    • 4章 数值积分与数值微分4.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分.有些数值方法,如微分方程和积分方程的求解,也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理,对于积分.只要找到被积函数的原函数,便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式:但实际使用这种积分方法往往有困难,因为大量的被积函数,诸如等等,我们找不到用初等函数表示的原函数;另外,当是由测量或数值计算给出的一张数据表时,牛顿-莱布尼兹公式也不能直接使用.因此有必要研究积分的数值计算问题.积分中值定理告诉我们,在积分区间内存在一点,成立就是说,底为而高为的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积(图4-1).问题在于点的具体位置一般是不知道的,因而难准确算出的值.我们将称为区间上的平均高度.这样,只要对平均高度提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.如果我们用两端点“高度”和的算术平均平均作为平均高度的近似值,这样导出的求积公式           (4.1.1)便是我们所熟悉的梯形公式(几何意义参看图4-2).而如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度,则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)             (4.1.2)更一般地,我们可以在区间上适当选取某些节点,然后用加权平均得到平均高度的近似值,这样构造出的求积公式具有下列形式:              (4.1.3)式中称为求积节点;称为求积系数,亦称伴随节点的权.权仅仅与节点的选取有关,而不依赖于被积函数的具体形式.这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要求原函数的困难.4.1.2 代数精度的概念数值求积方法是近似方法,为要保证精度,我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立,这就提出了所谓代数精度的概念.定义1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立,但对于次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有次代数精度.不难验证,梯形公式(4.1.1)的矩形公式(4.1.2)均具有一次代数精度.一般地,欲使求积公式(4.1.3)具有次代数精度,只要令它对于都能精确成立,这就要求         (4.1.4)为简洁起见,这里省略了符号中的上下标.如果我们事先选定求积节点,臂如,以区间的等距分点作为节点,这时取求解方程组(4.1.4)即可确定求积系数,而使求积公式(4.1.3)至少具有次代数精度.本章第2节介绍这样一类求积公式,梯形公式是其中的一个特例.为了构造出形如(4.1.3)的求积公式,原则上是一个确定参数和的代数问题.4.1.3 插值型的求积公式设给定一组节点且已知函数在节点上的值,作插值函数(参见第2章(2.9)式).由于代数多项式的原函数是容易求出的,我们取作为积分的近似值,这样构造出的求积公式             (4.1.5)称为是插值型的,式中求积系数通过插值基函数的积分得出(4.1.6)由插值余项定理(第2章的定理2)即知,对于插值型的求积公式(4.1.5),其余项         (4.1.7)式中与变量有关,.如果求积公式(4.1.5)是插值型的,按式(4.1.7),对于次数不超过的多项式,其余项等于零,因而这时求积公式至少具有次代数精度.反之,如果求积公式(4.1.5)至少具有次代数精度,则它必定是插值型的.事实上,这时公式(4.1.5)对于插值基函数应准确成立,即有注意到,上式右端实际上即等于,因而式(4.1.6)成立.综上所述,我们的结论是:定理1 形如(4.1.5)的求积公式至少具有次代数精度的充分必要条件是,它是插值型的.4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义2 在求积公式(4.1.3)中,若.其中,则称求积公式(4.1.3)是收敛的.在求积公式(4.1.3)中,由于计算可能产生误差,实际得到,即.记.如果对任给小正数,只要误差充分小就有,      (4.1.8)它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的,由此给出:定义3 在任给,若,只要就有(4.1.8)成立,则称求积公式(4.1.3)是稳定的.定理2 若求积公式(4.1.3)中系数,则此求积公式是稳定的.证明 对任给,若取,对都有,则有由定义3可知求积公式(4.1.3)是稳定的.证毕.定理2表明只要求积系数,就能保证计算的稳定性.4.2 牛顿-4.3 柯特斯公式4.2.1 柯特斯系数设将积分区间划分为等分,步长,选取等距节点构造出的插值型求积公式         (4.2.1)称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式,式中称为柯特斯系数.按(4.1.6)式,引进变换,则有     (4.2.2)由于是多项式的积分,柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.当时,这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1).当时,按(4.2.2)式,这时柯特斯系数为相应的求积公式是下列辛普森(Simpson)公式, (4.2.3)而当的牛顿-柯特斯公式则特别称为柯特斯公式,其形式是    (4.2.4)为里.下表列出柯特斯系数表开头的一部分.  12345678从表中看到时,出现负值,于是有,特别地,假定,且,则有它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大,即计算不稳定,故时的牛顿-柯特斯公式是不用的.4.2.2 偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式,阶的牛顿-柯特斯公式至少具有次代数精度(定理1).实际的代数精度能否进一步提高呢?先看辛普森公式(4.2.3),它是二阶牛顿-柯特斯公式,因此至少具有二次代数精度.进一步用进行检验,按辛普森公式计算得另一方面,直接求积得.这时有,即辛普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成立,又容易验证它对通常是不准确的,因此,辛普森公式实际上具有三次代数精度.一般地,我们可以证明下述论断:定理3 当阶为偶数时,牛顿-柯特斯公式(4.2.1)至少具有次代数精度.证明 我们只要验证,当为偶数时,牛顿-柯特斯公式对的余项为零.按余项公式(4.1.7),由于这里,从而有.引进变换,并注意到,有,若为偶数,则为整数,再令,进一步有,据此可以断定,因为被积函数是个奇函数.证毕.4.2.3 几种低阶求积公式的余项首先考虑梯形公式,按余项公式(4.1.7),梯形公式(4.1.1)的余项,这里积分的核函数在区间上保号(非正),应用积分中值定理,在内存在一点,使.  (4.2.5)再研究辛普森公式(4.2.3)的余项.为此构造次数不超过3的多项式,使满足         (4.2.6)这里.由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于构造出的三次多项式是准确的,即,而利用插值条件(4.2.6)知,上式右端实际上等于按辛普森公式(4.2.3)求得的积分值S,因此积分余项.对于满足条件(4.2.6)的多项式,其插值余项由第2章(2.5.11)得,故有.这时积分的核函数在上保号(非正),再用积分中值定理有. (4.2.7)关于柯特斯公式(4.2.4)的积分余项,这里不再具体推导,仅列出结果如下:.      (4.2.8)4.3 复4.4 化求积公式前面已经指出高阶牛顿-柯特斯求公式不稳定的,因此,不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间(通常是等分),再在每个子区间上用低阶求积公式.这种方法称为复化求积法.本节讨论复化梯形公式与复化辛普森公式.4.4.1 复4.4.2 化梯形公式将区间划分为等分,分点,在每个子区间上采用梯形公式(4.1.1),则得        (4.3.1)记,  (4.3.2)称为复化梯形公式,其余项可由(4.2.5)得.由于,且.所以使.于是复化梯形公式余项为.         (4.3.3)可以看出误差是阶,且由(4.3.3)立即得到,当,则,即复化梯形公式是收敛的.事实上只要设,则可得到收敛性,因为只要把改写为.当时,上式右端括号内的两个和式均收敛到积分,所以复化梯形公式(4.3.2)收敛.此外,的求积系数为正,由定理2知复化梯形公式是稳定的.4.4.3 复4.4.4 化辛普森求积公式将区间分为等分,在每个子区间上采用辛普森公式(4.2.3),若记,则得    (4.3.4)记     (4.3.5)称为复化辛普森求积公式.其余项由(4.2.7)得,于是当时,与复化梯形公式相似有.    (4.3.6)由(4.3.6)看出,误差阶为,收敛性是显然的,实际上,只要则可得收敛性,即此外,由于中求积系数均为正数,故知复化辛普森公式计算稳定.例1 对于函数,给出的函数表(见表4-2),试用复化梯形公式(4.3.2)及复化辛普森公式(4.3.5)计算积分01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709,并估计误差.解 将积分区间[0,1]划分为8等分,应用复化梯形法求得;而如果将[0,1]分为4等分,应用复化辛普森法有.比较上面两个结果和,它们都需要提供9个点上的函数值,计算量基本相同,然而精度却差别很大,同积分的准确值I=0.9460831比较,复化梯形公式的结果只有两位有效数字,而复化辛普森的结果却有六位有效数字.为了利用余项公式估计误差,要求的高阶导数,由于,所以有,于是.由(4.3.3)得复化梯形公式的误差.对复化辛普森公式误差,由(4.3.6)得.4.5 高斯求积公式4.5.1 一般理论形如(1.3)的机械求积公式含有个待定参数.当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次,如果适当选取,有可能使求积公式具有次代数精度,这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.为使问题更具有一般性,我们研究带权积分,这里为权函数,类似(4.1.3),它的求积公式为,      (4.5.1)为不依赖于的求积系数,为求积节点,可适当选取及使(4.5.1)具有次代数精度.定义4 如果求积公式(4.5.1)具有次代数精度,则称其节点为高斯点,相应公式(4.5.1)称为高斯求积公式.根据定义要使使(4.5.1)具有次代数精度,只要取,对,(4.5.1)精确成立,则得.    (4.5.2)当给定权函数,求出右端积分,则可由(4.5.2)解得及.例5 试构造下列积分的高斯求积公式:.      (4.5.3)解 令公式(4.5.3)对于准确成立,得           (4.5.4)由于,利用(4.5.4)的第1式,可将第2式化为.同样地,利用第2式化第3式,利用第3式化第4式,分别得到从上面三式子消去,有进一步整理得由此解出,从而求出于是形如(4.5.3)的高斯求积公式是.从此例看到求解非线性方程组(4.5.2)较为复杂,通常就很难求解.故一般不通过求解方程(4.5。

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