勾股定理16种经典证明方法—幸运的车前子.doc

1 -1勾股定理的证明勾股定理的证明幸运的车前子幸运的车前子 【【证法证法 1】1】 （课本的证明）（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即abcabba214214222 ， 整理得 222cba. . 【【证法证法 2】2】 （邹元治证明）（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. . ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. . ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. . ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. . 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. .∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2ba . .∴ 22 214cabba . . ∴ 222cba. . 【【证法证法 3】3】 （赵爽证明）（赵爽证明） 以 a、b 为直角边（b>a） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2.DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacba cbacbacbacbabac GDACBFEH- 2 -2ababccABCDEPHGFEDCBAabcabcabcab c∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º. .∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形，它的面积等于2ab .∴ 22 214cabab . .∴ 222cba. . 【【证法证法 4】4】 （（18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明）证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. . 把这两个直角 三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. . ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. . ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. . ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于2 21c . . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2 21ba  . .∴ 22 21 21221cabba . .∴ 222cba. . 【【证法证法 5】5】 （梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. . 把它们拼成如图那样的一个多边 形，使 D、E、F 在一条直线上. . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. . ∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. . 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. . ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. . 即 ∠CBD= 90º. . 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. . ∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSbaabSc2122 ,- 3 -3cccbacbaABCEF PQMN∴ 222cba. .【【证法证法 6】6】 （项明达证明）（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正 方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. . 过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点 F 作 FN⊥PQ，垂足为 N. . ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. . ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. . 同理可证 RtΔQNF ≌ RtΔAEF. . 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. . 【【证法证法 7】7】 （欧几里得证明）（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. . 过 C 作 CL⊥DE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. . ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB 的面积等于2 21a ， ΔGAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，∴ 矩形 ADLM 的面积 =2a. .同理可证，矩形 MLEB 的面积 =2b. . ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积∴ 222bac，即 222cba. . 【【证法证法 8】8】 （利用相似三角形性质证明）（利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D. . 在 ΔADC 和 ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. . AD∶AC = AC ∶AB，即 ABADAC2. .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 ABBDBC2. .∴ 222ABABDBADBCAC，即 222cba. . 【【证法证法 9】9】 （杨作玫证明）（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形. . 过 A 作 AF⊥AC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 BP⊥AF，垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. .ABDCacbcbacba ABCDEFGHMLK- 4 -4∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. . ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. . 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = b―a. . ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. . ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形. . ∴ GF = FH = a . . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b―a，下底 BP= b，高 FP=a +（b―a）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSSSSc①∵ abaabbSSS21438= abb212 ，985SSS，∴ 82 4321SabbSS = 812SSb. . ② 把②代入①，得98812 212SSSSbSSc= 922SSb= 22ab . .∴ 222cba. .【【证法证法 10】10】 （李锐证明）（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a） ，斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼 成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. . 用数字表示面积的编号（如图）. . ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. . ∴ HT = AE = a. . ∴ GH = GT―HT = b―a. . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. . ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. . 即 27SS . . 过 Q 作 QM⊥AG，垂足是 M. . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtΔABE ≌ RtΔQAM . . 又 RtΔHBT ≌ RtΔABE. . 所以 RtΔHBT ≌ RtΔQAM . . 即 58SS . . 由 RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得 QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. . 987654321PQRTHGFEDCBAabcabcccMHQRTGFEDCBAcba87654321- 5 -5∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. . 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. . 即64SS . .∵ 543212SSSSSc，612SSa，87。