高三数学综合测试题：立体几何章末.docx

高三数学综合测试题：立体几何章末高三数学章末综合测试题(13)立体几何(1) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A.7 B.6 C.5 D.3 解析　A　依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π(r+3r)3=84π，解得r=7. 2.如下图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则(　　) A.EF与GH平行 B.EF与GH异面 C.EF与 GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D.EF与GH的交点M肯定在直线AC上 解析　D　依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面.由于EH=12BD，FG=23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.由于点M在EF上，故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所 以点M肯定在AC上. 3.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b相互垂直，则k=(　　) A.1 B.15 C.35 D.75 解析　D　k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1，k,2)，2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)= (3,2，-2)，∵两向量垂直，∴3(k-1)+2k-2×2=0，∴k=75. 4.已知直线m、n和平面α，在以下给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是(　　) A.m∥α，n∥α B.m⊥α，n⊥α C.m∥α，nα D.m、n与 α所成的角相等 解析　D　对于选项A，当m∥α，n∥α时，直线m、n可以是平行、相交或异面 ;而当m∥n时，m、n与α的关系不确定，应选项A是m∥n的既不充分也不必要条件;选项B是m∥n的充分不必要条件;选项C是m∥n的既不充分也不必要条件;对于选项D，由m∥n可以得到m、n与α所成的角相等，但是m、n与α所成的角相等得不到m∥n.应选项D符合题意. 5.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，依据图中标出的数据，这个几何体的体积是(　　) A.288+36π B.60π C.288+72π D.288+18π 解析　A　依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6+12×π×32×8=288+36π，应选A. 6.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则以下命题正确 的是(　　) A.l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3 B.l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解析　B　在空间中，垂直于同始终线的两条直线不肯定平行，故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另 一条也垂直于第三条直线，B正确;相互平行的三条直线不肯定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错;共点的三条直线不肯定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错. 7.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则外表积增加了(　　) A.6a2　 　 　 B.12a2 C.18a2　　　 D.24a2 解析　B　依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的外表积总和为27×6×a32=18a2，故外表积增加量为18a2-6a2=12a2. 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A.63 B.265 C.155 D.105 解析　D　如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知∠C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角. ∵BC=2，CC1=1，∴BC1=22+1=5， 又C1O1=12A1C1=1222+22=2， ∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1=O1C1BC1=25=105. 9.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题，假如把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的全部命题中，真命题有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析　C　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γb⊥γ”，此命题为真命题;若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥bb⊥β”，此命题为假命题;若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥αa⊥b”，此命题为真命题. 10.如下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=10，AD=5，AA1=4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三局部，其体积分别记为V1=VAEA1-DFD1，V2=VEBE1A1-FCF1D1，V3=VB1E1B-C1F1C.若V1∶V2∶V3=1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　) A.410 B.83 C.202 D.162 解析　C　由V1=V3，可得AE=B1E1，设AE=x，则12x×4×5∶[(10-x)×4×5]=1∶3，得x=4，则A1E=42+42=42，所以截面A1EFD1的面积为202. 11.如图是一个无盖的正方体盒子绽开后的平面图，A，B，C是绽开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　C　复原正方体，如下列图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC=60°.应选C. 12.连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M; ②弦AB、CD可能相交于点N; ③MN的值为5; ④MN的最小值为1. 其中真命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　C　易求得M、N到球心O的距离分别为OM=3，ON=2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横 线上) 13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满意条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能状况) 解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不) 【答案】　M位于线段FH上 14.已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________. 解析　同垂直于一个平面的两条直线相互平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也相互平行. 【答案】　②③④① 15.已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线;②都是平面;③x，y是直线，z是平面;④x，z是平面，y是直线.上述推断中，正确的有________(请将你认为正确的序号都填上). 解析　当字母x，y，z都表示直线时，命题成立;当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立;当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立; 当x，y表示直线，z表示平面时，x⊥z不肯定成立，还有可能x∥z或x与z相交，故①②④正确，③不正确. 【答案】　①②④ 16.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________. 解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB、OC，则OC⊥l.设AB与β所成角为θ， 则∠ABO=θ ，由图得sin θ=AOAB=ACABAOAC=sin 30°sin 60°=34. 【答案】　34 三、解答题(本大 题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如下图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上. (1)求证：平面ACD⊥平面ABC; (2)求三棱锥 A-BCD的体积. 解析　(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD. 又BC⊥CD， 且AE∩BC=E， ∴CD⊥平面ABC. 又CD平面ACD， ∴平面ACD⊥平面ABC. (2)由(1)知，CD⊥平面ABC， 又AB平面ABC，∴CD⊥AB. 又∵AB⊥AD，CD∩AD=D， ∴AB⊥平面ACD. ∴VA-BCD=VB-ACD=13S△ACDAB. 又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD=BC=4，AB=CD=3， ∴AC=AD2-CD2=42-32=7. ∴VA-BCD=13×12×7×3×3=372. 18.(12分)如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点. (1)求证：CF∥平面ADE; (2)求证：平面ABG⊥平面CDG; (3)求二面角C-FG-B的余弦值. 解析　(1)∵BF∥DE，BC∥AD，BF∩BC=B，DE∩AD=D，∴平面CBF∥平面ADE. 又CF平面CBF， ∴CF∥平面ADE. (2)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接GM、GN、MN、AC、BD，设AC、MN、BD交于O，连接GO. ∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形， AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF的中点， 则GO⊥平面ABCD，GO=12MN， ∴GN⊥MG。