2022年2022年函数类型及性质.pdf

函数类型及性质1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型： y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型： y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型： y＝abx＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型： y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型： y＝axn＋b. 2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式： f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式： f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式： f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 3.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域(－∞，＋∞ )(－∞，＋∞ ) 值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在 x∈ －b2a，＋∞ 上单调递增在 x∈ －∞，－b2a上单调递增在 x∈ －∞，－b2a上单调递减在 x∈ －b2a，＋∞ 上单调递减奇偶性当 b＝0 时为偶函数， b≠0 时为非奇非偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性图象关于直线 x＝－b2a成轴对称图形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂： an＝a· a· ,·an个(n∈N*)；②零指数幂： a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂： a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：mna＝nam(a＞0，m、n∈ N*，且 n＞1)；(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q) ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q) ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．(3)指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞ ) 性质过定点 (0,1) 当 x＜0 时，0＜y＜1当 x＜0 时，y＞1. 在(－∞，＋∞ )上是减函数当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＞0 时，y＞1；在(－∞，＋∞)上是增函数5．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②Naloga＝N(a＞0 且 a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式： logbN＝logaNlogab(a，b 均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广 logab· logbc· logcd＝logad. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - (3)对数的运算法则如果 a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②NalogM＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④naMlogm＝nmlogaM. 6．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域： (0，＋∞ ) 值域： R过点(1,0) 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x＜1，y＜0 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 是(0，＋∞ )上的增函数是(0，＋∞ )上的减函数7.反函数指数函数 y＝ax与对数函数 y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．8．幂函数的（1）定义：一般地，形如 y＝xα(α ∈R)的函数称为幂函数， 其中底数 x 是自变量，α为常数．（2）图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝21x，y＝x－1的图象分别如右图．名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 9． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域RR{x|x∈R 且 x≠π2＋kπ ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性[－π2＋2kπ ，π2＋2kπ ]( k∈Z)上递增；[π2＋2kπ ，3π2＋2kπ ]( k∈Z)上递减[－π ＋2kπ ，2kπ ]( k∈Z)上递增；[2kπ ， π ＋2kπ ]( k∈Z)上递减(－π2＋kπ ，π2＋kπ )( k∈ Z)上递增最值x＝π2＋2kπ( k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ (k∈Z)时， ymin＝－ 1 x＝2kπ( k∈ Z)时，ymax＝1；x＝π ＋2kπ( k∈Z)时， ymin＝－ 1 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ ，0)(k∈Z)(π2＋kπ ，0) (k∈Z) (kπ2， 0)(k∈ Z) 对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z) ]x＝kπ( k∈Z) 周期2π2ππ10．函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx ＋φ )的图象的步骤名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3．当函数 y＝Asin(ωx ＋φ )(A＞0，ω ＞0，x∈[0，＋∞ ))表示一个振动时， A 叫做振幅， T＝2πω叫做周期， f＝1T叫做频率， ωx ＋φ叫做相位， φ叫做初相．双基自测1．若点 (a,9)在函数 y＝3x的图象上，则 tanaπ6的值为 (D)．A．0 B.33C．1 D.3 2．函数 f(x)＝2|x－1|的图象是 (B)．3．若函数 f(x)＝12x＋1，则该函数在 (－∞，＋∞ )上是(A)．A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值4．已知 a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝15log30.3，则(C)．A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b 5．2 log510＋log50.25＝(C)．A．0 B．1 C．2 D．4 6．已知 a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则 a，b，c 的大小关系是 (C)．A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b7．函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为 (A)．A．(0，＋∞ ) B．[0，＋∞ ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - C．(1，＋∞ ) D．[1，＋∞ ) 8．列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(D)．A．(－∞， 1] B.－1，43C. 0，32D．[1,2) 9. 已知 a12＋a－12＝3，则 a＋a－1＝__7____；a2＋a－2＝___47_____. 10．若 loga23>1，则 a 的取值范围是 ___23，1 _____．考向一指数函数的性质1、已知函数 f(x)＝1ax－1＋12· x3(a＞0 且 a≠1)．(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数 f(x)的奇偶性；(3)求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成立．[审题视点 ] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解(1)由于 ax－1≠0，且 ax≠1，所以 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为 { x|x∈R，且 x≠0}．(2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)当 a＞1 时，对 x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，∴ax－1＞0，1ax－1＋12＞0. 又 x＞0 时，x3＞0，∴x31ax－1＋12＞0，即当 x＞0 时，f(x)＞0. 又由(2)知 f(x)为偶函数，即 f(－x)＝f(x)，则当 x＜0 时，－ x＞0，有 f(－x)＝f(x)＞0 成立．名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 综上可知，当 a＞1 时，f(x)＞0 在定义域上恒成立．当 0＜a＜1 时，f(x)＝ax＋1 x32 ax－1. 当 x＞0 时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，ax－1＜0，x3＞0，此时 f(x)＜0，不满足题意；当 x＜0 时，－ x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．综上可知，所求 a 的取值范围是 a＞1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(－x)± f(x)，f xf －x来判断．(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法．【训练 2】 设 f(x)＝e－xa＋ae－x是定义在 R 上的函数．(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若 f(x)是偶函数，试研究其在 (0，＋∞ )的单调性．解(1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，即exa＋aex＝－e－xa＋ae－x，整理得 a＋1a(ex＋e－x)＝0，即 a＋1a＝0，即 a2＋1＝0 显然无解．∴f(x)不可能是奇函数．(2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，即exa＋aex＝e－xa＋ae－x，整理得 a－1a(ex－e－x)＝0，又∵对任意 x∈R 都成立，∴有 a－1a＝0，得 a＝± 1. 当 a＝1 时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，任取 x1，x2∈(0，＋∞ )且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ ex2－e－x2＝ex1－ex2ex1＋x2－1ex1＋x2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - ∵x1，x2∈(0，＋∞ )且 x1＜x2，∴ex1＋x2＞1，ex1－ex2＜0，∴ex1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，∴函数 f(x)＝e－xa＋ae－x，当 a＝1 时在(0，＋∞ )为增函数，同理，当 a＝－1 时，f(x)在(0，＋∞ )为减函数．考向二指数函数图象的应用【例 3】?(2009·山东)函数 y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为 ()．[审题视点 ] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析y＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，当 x＞0 时，e2x－1＞0 且随着 x 的增大而增大，故y＝1＋2e2x－1＞1 且随着 x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于 1 且单调递减，又函数 y 是奇函数，故选 A. 答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数 y＝ax－1ax＋1，y＝ex－e－x2，y＝lg(10x－1)等．【训练 3】 已知方程 10x＝10－x，lg x＋x＝10 的实数解分别为 α和 β ，则 α ＋β的值是 ________．解析作函数 y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lg x，y＝h(x)＝10－x 的图象如图所示，由于 y＝f(x)与 y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x 对称的．又直线y＝h(x)与 y＝x 垂直，∴ y＝f(x)与 y＝h(x)的交点 A 和 y＝g(x)与 y＝h(x)的交点 B是关于直线 y＝x 对称的．而 y＝x 与 y＝h(x)的交点为 (5,5)．又方程 10x＝10－x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 的解 α为 A 点横坐标，同理， β为 B 点横坐标．∴α ＋β2＝5，即 α ＋β ＝10. 答案10 考向一对数式的化简与求值【例 1】?求值： (1)log89log23；(2)(lg 5)2＋lg 50 ·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点 ] 运用对数运算法则及换底公式．解(1)原式＝log2332log23＝23. (2)原式＝ (lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二原式＝ lg4 27－lg 4＋lg(75)＝lg4 2×7 57×4＝lg10＝12. 对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、 对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．【训练 1】 (1)若 2a＝5b＝10，求1a＋1b的值．(2)若 xlog34＝1，求 4x＋4－x的值．解(1)由已知 a＝log210，b＝log510，则1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知 x＝log43，则 4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋13＝103. 考向二对数值的大小比较名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【例 2】?已知 f(x)是定义在 (－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.2－0.6)，则 a，b，c 的大小关系是 ()．A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c[审题视点 ] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析log123＝－ log23＝－ log49， b＝ f(log123)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝15－35＝5125＞532＝2＞log49，又 f(x)是定义在 (－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故 f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)＜f(log123)＜f(log47)，即 c＜b＜a，故选 B. 答案B 一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指 (同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练 2】 (2010· 全国)设 a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则()．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析法一a＝log32＝1log23，b＝ln 2＝1log2e，而 log23＞log2e＞1，所以 a＜b，c＝5－12＝15，而5＞2＝log24＞log23，所以 c＜a，综上 c＜a＜b，故选 C. 法二a＝log32＝1log23，b＝ln 2＝1log2e，1＜log2e＜log23＜2，∴12＜1log23＜1log2e＜1；c＝5－12＝15＜14＝12，所以 c＜a＜b，故选 C. 答案C 考向三对数函数性质的应用【例 3】?已知函数 f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数 a，使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点 ] a＞0 且 a≠1，问题等价于在 [0,1]上恒有a＞12－ax＞0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解∵a＞0，且 a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于 x 的减函数．又 f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数，∴函数 y＝logau 是关于 u 的增函数，且对 x∈[0,1]时，u＝2－ax 恒为正数．其充要条件是a＞12－a＞0，即 1＜a＜2. ∴a 的取值范围是 (1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性， 一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减 ”．本题的易错点为：易忽略2－ax＞0 在[0,1]上恒成立，即 2－a＞0.实质上是忽略了真数大于0 的条件．【训练 3】 已知 f(x)＝log4(4x－1) (1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)求 f(x)在区间12，2 上的值域．解(1)由 4x－1>0 解得 x>0，因此 f(x)的定义域为 (0，＋∞ )．(2)设 0