扭转时横截面上的应力.doc

第三节扭转时横截面上的应力一、应力分布规律为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形下面通过一个具体的实例来看看扭转变形風棒扭转变形取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图在轴的两端施加转向相反的力偶矩m、m,在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：．1变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度€，原来的矩形变成平行四边形两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度9,叫做相对扭转角，见下图观看动画,理解微元体的获得㈤⑹捕转圆轴犠元堆段圆轴扭转变形通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。

所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段来分析上图假想ope截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动€，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角丫，而经过半径卩上任意点h的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度丫，它也就是横截面上任一点E处的剪应变应该注意，上,述剪应变都是在垂直于半径的平面内的设H点到轴线的距离为P,由于构件的变形通常很小，即DD'~AD=HR丽=HRdx所以由于截面ope象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上^OzHH'与AOzOD'相似，得HH'p而=元y_2?将式代入式得上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大各点的剪应变作与离中心的距离P成正比根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即,G•€°在弹性范围内剪应变€越大，则剪应力,也越大；横截面上离中心为P的点上，其剪应力为,；轴表面的剪应力为,因此有PpPG・€,，G・€pS=£代入（4式可得XX上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。

圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力,最大分布情况如下图所示岡轴扭榜横截面上剪应力分布演示动画在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律即二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应力,之间的关系在截面上任取一距中心为P的微面积dA,作用在微面积上的力的总和,・dA,P对中心的力矩等于,・dA・p截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即A/=春J将式（4代入得尺”令心一"创，称做截面的极惯性矩则上式可以改写为再令r称做抗扭截面模量则得到将式（1-4代3入）式（1-4，2可）得出横截面上任一点的剪应力计算公式三、极惯性矩p与抗扭截面模量Wp的计算极惯性矩p与抗扭截面模量Wp是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算实心闻轴求代对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积dA，贝l」dA兀・p・dp，因此-4曲432«0.1^40对内径为d外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩P与抗扭截面模量Wp分别为令dD,，则心=警〔1-〃)沁1"〔1-巧%=学〔1-a4)n0.2罚〔1-o4)应当注意的是：圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。

下面是两道例题，供读者参照例设搅拌轴的转速为n=/搅拌功率为NkW,搅拌轴的直径dmm,求轴内的最大应力解析：A/=9.55xl0:—=9550x^-=382轴的外力偶矩为N・m=0.2^:=0.2x403=12.8x1O^nmi1XT抗扭截面模量为“N.m杆在扭转时的最大剪应力为M3S2xlO:,,x-=^=m^=29'84N/mffi=2934MP例有一实心圆轴，直径为dmm；另一空心轴的内径为dmm,外径为Dmm,这两根轴的截面积相同，等于m试比较这两根轴的抗扭截面模量解析：实心轴N.m空心轴fyp=0.2B\l-oc4)=0.2xl02:=183.3xl0:lN.m由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料这从圆截面的应力分布也可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪应力相差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高，在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。