12-6 薛定谔方程.doc

1§12－－6 薛定薛定谔谔方程方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验一、薛定一、薛定谔谔方程方程1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变 一维自由运动粒子的波函数(前已讲) (x, t) = 0 e-i(2/h) (Et  px)由此有 再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程2）若粒子在势场U (x, t) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x)中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ipxh pxh 22pEm222282hhimxt 22ppEEm222282phhEimxt2 ( , )( ) ( )( )iEthx tx f tx e 2式中  = (x, t)是粒子在势场U = U (x, t)中运动的波函数。

将 = (x, t) = (x)T(t)代入得一维定态薛定谔方程式中 = (x)是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态定态的概率密度(x,t) *(x,t)   (x)  *(x)定态下的概率密度和时间无关在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)二、一二、一维维无限深方无限深方势势阱中的粒子阱中的粒子 粒子在一种简单的外力场中做一维运动，求解定态薛定谔方程；即给定势函数U(x)，求解能量和波函数(结构问题)；1 一维无限深方势阱中的粒子势阱是一种简单的理论模型自由电子在金属内部可以自由运动，但很难a金属U(x) U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱(potential well)一维无限深方势阱02222( )8() ( )0pdxmEExdxh222282phhEimxt3逸出金属表面这种情况下，自由电子就可以热那是处于以金属表面为边界的无限深势阱中在粗略地分析自由电子的运动（不考虑点阵离子的电场）时，就可以利用无限深势阱模型。

1）势函数 0 (0 0)入射能量 E 0 区)|2(x)|2  e-2x可见x >0 区(E < U0)粒子出现概率  0 (和经典不同)，且U0越大、x越大其概率越小例：电子逸出金属表面的模型量子解释：电子透入势垒，在金属表面形成一层电子气经典解释：电子不能进入E(总能量) < U的区域(因动能 0)2 隧道效应(tunneling effect)(势垒穿透)粒子能量效应势垒高度时，仍能穿透势垒的现象，称为隧道效应例 放射性核的放射性核的   粒子释放粒子释放xoEU = 0U= U0U (x)I 区II 区Eox (x)U = 0U= U0U (x)aU = 0UU(x)xo  (x)核内势垒及粒子的隧道效应0 28()22( )m uExhxe 7黑洞：黑洞：黑洞边界是物质(包括光)只能进不能出的“单向壁” ，对黑洞内的物质来说， “单向壁”就是一个绝对高的势垒，但黑洞内的物质可通过隧道效应逸出，即黑洞蒸发 热核反应：热核反应：热核反应是两个带正电的核(如2H 和3H)聚合时产生的两核间的库仑斥力作用相当于一高势垒，2H 和3H 通过隧道效应聚合到一起，核能越大，势垒厚度越小，聚合的概率越大(这是热核反应需 108K 的高温的原因)扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)：：1986 年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了隧道效应。

隧道电流I与样品和针尖间的距离d关图象处理系统图象处理系统扫描探针扫描探针样品表面电子云样品表面电子云AB dEU0U0U0电子云重叠ABU隧道电流 id探针样品用隧道效应观察样品表面的微结构8原子搬迁：原子搬迁：1993 年 5 月 IBM 的科学家 M.Crommie 等在液氮温度用电子束将单层的 Fe 原子蒸发到 Cu(111)表面，然后用 STM 针尖将 48 个铁原子排成圆圈，铁原子间距：9.5 Å，圆圈平均半径：71.3 Å圆圈由分立的铁原子组成而不连续，却能围住圈内处于铜表面的电子，故称作量子围栏(quantum corral)扫描隧道显微镜 扫描隧道显微镜(Scannins Tunneling Microscope，英文缩写为 STM)是 20 世纪 80 年 代初发展起来的一种显微镜，其分辨本领是目前各种显微镜中最高的：横向分辨本领为 0.1nm～0.2nm(1nm=10-9m)，深度分辨本领为 0.01nm．通过它可以清晰地看到排列在物质 表面的直径大约为 10-10m 尺度的单个原子(或分子)．扫描隧道显微镜的观察条件要求不高， 可以在大气、真空中的各种温度下进行工作．在扫描隧道显微镜发明之前，对原子级的微 观世界的观察往往带有一定的破坏性，例如用场离子显微镜对样品研究时，由于被观测的 样品表面要受到很大的电场力，所以样品极容易受损．由于扫描隧道显微镜进行的是无损 探测，被探测的样品不会受到高能辐射等的作用，因而，已被使用在尖端科学的许多领 域． 扫描隧道显微镜在进行与物质表面电子行为有关的物理、化学性质的观察研究时，是 很有效的工具，正在微电子学(例如研究由几十个原子组成的电路)、材料科学(例如晶体中 原子级的缺陷)、生命科学(例如研究单个蛋白分子或 DNA 分子)等许多领域的研究中发挥着 重要的作用，具有广阔的应用前景．国际科学界公认，扫描隧道显微镜是 20 世纪 80 年代 世界科技成就之一． 扫描隧道显微镜是 1982 年由美国 IBM 公司设在瑞士苏黎士的实验室里的两位科学家 葛·宾尼(Gerd Binning)和海·罗雷尔(Hein-rich Rohrer)发明的．这个发明使人类实现 了直接看到原子的愿望．由于对科学做出的杰出贡献，葛·宾尼和海·罗雷尔获得了 1986 年度诺贝尔物理奖． 我们知道，对于直径的数量级为 10-10m 那么小的粒子，用一般的显微镜是看不见的， 即使用场离子显微镜也只能看到粒子的位置．而用扫描隧道显微镜拍摄的照片上，石墨原 子却清晰可见．那么，扫描隧道显微镜是怎样对物质进行观察的呢？ 一、扫描隧道显微镜的工作原理一、扫描隧道显微镜的工作原理 扫描隧道显微镜的工作原理与通常光学显微放大的原理截然不同．它是应用量子力学 的隧道效应来观察物质的原子(或分子)的． 我们知道，当两个导体之间有一个绝缘体时，如果在这两个导体之间加一定的电压， 一般是不会形成电流的．这是因为，虽然两个导体间有电压，各具有一定的电势，但它们 之间的绝缘体阻碍电子从高电势向低电势的运动，导体中的自由电子不能穿过绝缘体运动 到另一个导体上，也就不能形成电流，即在两个导体之间存在势垒(图 2 甲)．经典物理学 认为，只有电压增大到能把绝缘层击穿，也就是势垒被击穿时，电子才会通过绝缘体． 量子力学认为，微观粒子在空间的运动是按一定的几率密度分布的．根据量子力学的 计算知道，如果势垒厚度小到只有几个 10-10m 时，电子可能穿过势垒，即从势垒的这一边 到达势垒的另一边，形成电流(图 2 乙)．也就是说，在势垒相当窄的情况下，这一侧的电 子可能在势垒上打通一条道路，穿过势垒到达势垒的另一侧，形成电流．在势垒相当窄的 情况下，电子能穿过势垒的现象，在量子力学中叫做隧道效应，这样形成的电流叫做隧道 电流．9隧道电流的大小由电子穿透厚度为 Z 的势垒的几率的大小决定．用扫描隧道显微镜探测时， 隧道电流的强度对探针针尖与样品表面之间的距离非常敏感，这个距离每减小 1×10- 10m，隧道电流就增加一个数量级．也就是说，当探针针尖与样品靠得距离很近时，会在探 针针尖与被测样品之间的绝缘层中形成隧道电流．绝缘层薄，形成隧道电流的机会多，否 则形成隧道电流的机会少．由于得到的隧道电流的大小可以直接反映样品表面的凸凹情况， 因此记录了隧道电流的大小也就记录了样品表面的情况． 二、扫描隧道显微镜的工作过程二、扫描隧道显微镜的工作过程 扫描隧道显微镜与一般的光学显微镜不同，它没有一般光学显微镜的光学器件，主要 由四部分组成：扫描隧道显微镜主体；电子反馈系统；计算机控制系统；显示终端(图 3)．其主体的主要部分是极细的探针针尖；电子反馈系统主要用来产生隧道电流，控制隧 道电流和控制针尖在样品表面的扫描；计算机控制系统用来控制全部系统的运转和收集、 存储得到的显微图象资料，并对原始图象进行处理；显示终端为计算机屏幕或记录纸，用 来显示处理后的资料． 扫描隧道显微镜工作时，探针针尖和被研究的样品的表面是两个电极，使样品表面与 探针针尖非常接近(一般＜10-9m)，并给两个电极加上一定的电压，形成外加电场，以在样 品和探针针尖之间形成隧道电流．在用扫描隧道显微镜对样品表面进行观测时，通过电子 反馈电路控制隧道电流的大小，探针针尖在计算机控制下对样品表面扫描，同时可以在计 算机屏幕或记录纸上记录下扫描样品表面原子排列的图象． 探针针尖在样品表面上进行扫描有两种方式：恒电流方式和恒高度方式．扫描时，一 般沿着平面坐标的 XY 两个方向作二维扫描．如果用恒电流扫描方式就要用电路来控制隧道 电流的大小不变，于是探针针尖就会随样品表面的高低起伏运动，从而反映出样品表面的 高度信息．由此可见，用扫描隧道显微镜获得的是样品表面的三维立体信息．如果采用恒 高度扫描方式，扫描时要保持针尖的绝对高度不变，由于样品表面由原子(分子)构成呈凸 凹不平状，使得扫描过程中探针针尖与样品的局部区域的距离是变化的，因而隧道电流的 大小也化．通过计算机把这种变化的隧道电流电信号转换为图象信号，就可以在它的终端 显示出来． 我们可以把扫描隧道显微镜的工作过程总结为：利用探针针尖扫描样品，通过隧道电 流获取信息，经计算机处理得到图象． 要看到原子，必须达到原子级的分辨率．各种光学显微镜中都有光学透镜，进行观察 时都要受到光的衍射等影响而产生像差，根本不能达到原子级的分辨率．而扫描隧道显微 镜的中心装置仅仅是作为电极的针尖，根本没有一般显微镜的光学透镜．不用透镜观察物 体，也不用光或其他辐射进行聚焦，从而杜绝了由于光的衍射现象对像的清晰度的干扰． 为了达到原子级的分辨率，扫描隧道显微镜的探针针尖必须是原子的．如是针尖有多 个原子，样品表面与探针针尖之间同时产生多道隧道电流，仪器采集到的隧道电流为所有 隧道电流的平均值，而不是一个原子的隧道电流．另外，如果探针针尖较粗，在对样品扫 描时，就不能随样品表面原子的细微起伏而上下运动，不能根据探针针尖对样品进行精细 的扫描，也就不能测出样品表面的原子排列．因此，探针针尖是否只有一个原子，是扫描 隧道显微镜达到原子级分辨率的一个关键．制备扫描隧道显微镜的探针针尖，一般采用电 化学腐蚀的方法．实验时，还要用其他技巧帮助形成单原子针尖．。