机器人控制技术动力学.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6.1 引言,6.2 拉格朗日力学,6.3 机械手的动力学方程,第六章 动力学,Chapter,Dynamics,动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机械手的动力学问题机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特性本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题，因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学方程本章的主要内容如下：,运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；,介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；,推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程6.1,引言(,Introduction),拉格朗日算子,L,定义为系统的动能,K,与势能,P,的差,L=K P,(6.1),系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示，并不一定要使用笛卡尔坐标动力学方程通常表述为,其中，,q,i,是表示动能和势能的坐标值，是速度，而,F,i,是对应的力或力矩，,F,i,是力还是力矩，这取决于,q,i,是直线坐标还是角度坐标。

这些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标6.2),6.2 拉格朗日力学,一个简例,(,Lagrangian Mechanics A Simple Example),为了说明问题，我们看一个具体例子，假定有如图6.1所示的两连杆的机械手，两个连杆的质量分别为,m,1,、m,2,，,由连杆的端部质量代表，两个连杆的长度分别为,d,1,、d,2,，,机械手直接悬挂在加速度为,g,的重力场中，广义坐标为,1,和,2,m,2,d,1,d,2,m,1,x,y,图6.1 两连杆的机械手,动能的一般表达式为 ，质量,m,1,的动能可直接写出,势能与质量的垂直高度有关，高度用,y,坐标表示，于是势能可直接写出,对于质量,m,2,，,由图,6.1,，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分，以便得到速度,(6.4),(6.3),(6.5),(6.6),6.2.1 动能和势能(,The Kinetic and Potential Energy),速度的直角坐标分量为,速度平方的值为,(6.8),(6.7),(6.9),从而动能为,(6.10),质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是,(6.11),拉格朗日算子,L=K P,可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得,(6.12),6.2.2 拉格朗日算子(,The Lagrangian),为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分,（6.13）,（6.14）,（6.15）,6.2.3 动力学方程(,The Dynamics Equations),根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩,（6.16）,(6.17),(6.18),(6.19),用拉格朗日算子对 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程,于是关节,2,的力矩为,（6.20）,将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式,（6.21）,（6.22）,在方程（,6.21,）和（,6.22,）中各项系数,D,的含义如下：,D,ii,关节,i,的等效惯量（,Effective inertia,），,关节,i,的加速度使关节,i,产生的力矩,D,ij,关节,i,与关节,j,之间的耦合惯量（,Coupling inertia,）,关节,i,或关节,j,的加速度分别使关节,j,或,i,产生的力矩 和,D,ijj,由关节,j,的速度产生的作用在关节,i,上的向心力 系数,（,Centripetal force,）,D,ijk,作用在关节,i,上的复合向心力（哥氏力,Coriolis force,）的组合项,系数，这是关节,j,和关节,k,的速度产生的结果,D,i,作用在关节,i,上的重力（,Gravity,）,把方程(6.16)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值：,等效惯量,D,11,=(m,1,+m,2,)d,1,2,+m,2,d,2,2,+2m,2,d,1,d,2,cos(,2,)(6.23),D,22,=m,2,d,2,2,(6.24),耦合惯量,D,12,=m,2,d,2,2,+m,2,d,1,d,2,cos(,2,)(6.25),向心加速度系数,D,111,=0 (6.26),D,122,=,-,m,2,d,1,d,2,sin(,2,)(6.27),D,211,=m,2,d,1,d,2,sin(,2,)(6.28),D,222,=0 (6.29),哥氏加速度系数,D,112,=D,121,=,-,m,2,d,1,d,2,sin(,2,)(6.30),D,212,=D,221,=0 (6.31),重力项为,D,1,=(m,1,+m,2,)gd,1,Sin(,1,)+m,2,gd,2,Sin(,1,+,2,)(6.32),D,2,=m,2,gd,2,Sin(,1,+,2,)(6.33),下面给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态（）和在无重力环境中的机械手求解方程(6.21)和(6.22)。

求解在下列两种条件下进行:关节2处于锁定状态（）；关节2处于自由状态,(,T,2,=0,)在第一种条件下,方程(6.21)和(6.22)简化为,在第二种条件下，,T,2,=0，,我们可以由方程(6.22)解出 ，再把它代入方程(6.21)，得到,T,1,于是,代入方程(6.21)有,(6.36),(6.35),(6.34),现在，取定,d,1,=d,2,=1，m,1,=2，,而对于三个不同的,m,2,值，分别求出各个系数：,m,2,=1，,表示机械手无负载情况；,m,2,=4，,表示有负载；,m,2,=100，,表示位于外太空,(,无重力环境,),的机械手的负载在外太空，没有重力负载，允许非常大的工作负载根据求得的系数以及方程(6.34)和(6.35)，分别对应关节2的四种不同的锁定状态,I,L,和自由状态,I,f,，,计算关节1的惯量如下表所示（表中,I,L,表示锁定状态，,I,f,表示自由状态）表6.1,m,1,=2,m,2,=1,d,1,=1,d,2,=1,D,11,D,12,D,22,I,L,I,f,Cos,2,1 6 2 1 6 2,0 4 1 1 4 3,-1 2 0 1 2 2,0 4 1 1 4 3,2,表6.2,m,1,=2,m,2,=4 ,d,1,=1,d,2,=1,D,11,D,12,D,22,I,L,I,f,Cos,2,1 18 8 4 18 2,0 10 4 4 10 6,-1 2 0 4 2 2,0 10 4 4 10 6,表6.3,m,1,=2,m,2,=100,d,1,=1,d,2,=1,D,11,D,12,D,22,I,L,I,f,Cos,2,1 402 200 100 402 2,0 202 100 100 202 102,-1 2 0 100 2 2,0 202 100 100 202 102,2,2,上面三个表格中，靠右两列表明关节1的等效惯量。

表,6.1,说明，对于无负载的机械手来说，,2,从,0,变为,180,，在锁定状态情况下，等效惯量,I,L,的变化为,3:1,同时，在,2,0,时，锁定状态（,I,L,）和自由状态（,I,f,）等效惯量的变化也为,3:1,从表6.2可以看出，对于加载机械手，,2,从,0,变为,180,，在,锁定状态情况下，等效惯量,I,L,的变化为 9,:1,而自由状态等效惯量,I,f,的变化为 3,:1,对于表6.3所示的负载为100的外太空机械手，在不同状态下惯量的变化竟为 201,:1,这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有重要的影响6.3 机械手动力学方程,(,The Manipulator Dynamics Equation),推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行,首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度 ；,再计算它的动能,K,；,然后推导势能,P,；,形成拉格朗日算子,L=K,P,；,对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程 假定机械手的连杆,i,上有一个点,i,r,，它在基坐标中的位置为,于是，它的速度就是,速度的平方,或者用矩阵形式表为,（6.37）,（6.39）,（6.38）,6.3.1 机械手上一点的速度,(,The Velocity of a Point on the Manipulator),z,0,z,i,y,x,i,r,y,i,x,i,T,i,根据方程(6.38)可得,（6.40）,在连杆,i,上,i,r,处，质量为,dm,的质点动能是,于是，连杆,i,的动能就是,(6.42),(6.41),6.3.2 动能,(,The Kinetic Energy),式(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定,（6.43）,回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为,从而,(6.46),(6.44),(6.45),于是，,J,i,就能表示为,（6.47）,机械手的总动能就是,（6.48）,上面这个方程表示了机械手结构的动能，然而，动能还有另外一个重要组成部分，即各个关节的传动机构的动能（对非直接驱动机械手而言）。

我们通过传动机构的惯量以及有关的关节速度表示这部分动能,把,Trace,运算和求和运算相互交换一下，再加上传动机构的动能部分，最后得到机械手的总动能为,在棱柱形滑动关节的情况下，,I,a,成为一个等价质量6.49),在重力场,g,中，一个物体的质量为,m,，,位于某个参考零点之上的高度为,h,，,它的势能为,P=m g h,(6.50),如果由重力引起的加速度表示为矢量,g,，,物体质心的位置表为矢量 ，那么式(6.50)就变为,例如，在重力场中，,g,=0,i,+0,j,32.2,k,，=10,i,+20,j,+30,k,，位于,r,处的质量,m,就有势能,966 n,m,6.51),6.3.3 势能,(,The Potential Energy),如果连杆,i,的质心用矢量 表示，它相对于坐标系,T,i,的势能为,其中,从而，机械手的总势能就是,(6.52),(6.54),(6.53),由式(6.49)和(6.54)得到的,K,和,P,，,可计算拉格朗日算子,L,=,K-P,应用欧拉拉格朗日方程,我们就可求得动力学方程6.55),(6.56),6.3.4 拉格朗日算子,(,The Lagrangian),先求方程(6.56)第一项中的偏微分,把上式第二项中的脚标,j,变为,k,，,把第一项中,Trace,运算换成,(6.57),我们就得到,(6.58),6.3.5 动力学方程,(,The Dynamics Equations),由于,(,p,i,时,),，,最后得到,现在求式(5.59)对于时间,t,的微分,(6.59),(6.60),欧拉拉格朗日方程的第二项是,把式(6.61)第二项中求和运算的脚标,j,换成,k,，再把第二项与第一项合并，就得到,(6.61),(6.62),按照方程(6.56)，把式(6.60)减去(6.62)，再把式(6.62)中求和运算的脚标,j,换成,m,，,这样，式(6.62)的第一项就与式(6.60)中的第三项抵消，可得到,最后，把求和运算的脚标,p,和,i,换成,i,和,j,，就得到动力学方程,(6.63),(6.64),这些方程与求和的次序是无关的，所以可以把方程(6.64)重写为,其中,(6.65),(6.66),(6.67),(6.68),上面这些式子与在第6.2.3小节中得到的那些式子形式完全一样。

其中形式为,D,i,的项表示关节,i,的,等效惯量,；形式为,D,ij,的项表示关节,i,和关节,j,之间的,耦合惯量,；形式为,D,ijj,的项表示由于关节,j,的速度所产生的作用在关节,i,上的,向。