《微分方程的数值解》ppt课件.ppt

第五节 微分方程的数值解,在实用上有重大意义的许多微分方程，虽然满足解的存在唯一性定理的相关条件，但是它们的解常常不能表达成初等函数的形式，这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性、定性方法进行讨论之外，最常用的方法就是用数值方法求解它们了，即微分方程的数值解法，现已逐步形成一门新的、独立的研究分支了求Cauchy问题(初值问题) 的解 ，根据初值条件 ，按照一定的步长h，用某种方法（算法）计算微分方程解 的近似值 ，这样求出的解称为数值解第一部分 欧拉方法,一、欧拉格式,规定：相邻两个节点的间距 称为步长，在以后如不特别声明，步长就为定值h讨论下列节点列上 的近似解：,并用 的近似值 代入上式的右端，记所得结果为 ，于是有,欧拉公式(Euler),把方程（1）离散化，其基本方法是用差商代替微商，如以点 列代入方程（1），有：,并用差商代替其中的导数项，即,有：,例1 求解以下初值问题,解：分析 1、 确定步长h＝0.1，由欧拉格式，有,2、通过计算分析欧拉格式的精度较低。

在 的前提下估计 的误差称为局部截断误差1、欧拉公式（欧拉格式）,2、差分方程,由（3）构成的方程称为差分方程，由此逐步求 3、局部截断误差和精度,如果一种数值方法的局部截断误差为 ，则称这种方法的精度为 阶二、隐式欧拉格式（一阶精度）,用向后差商 替代方程 中的导数项 ，有,（隐式欧拉格式）,欧拉格式的精度是 阶事实上，有,三、两步欧拉格式（二阶精度）,用中心差商 替代方程 中的导数项 ，有,（两步欧拉格式）,计算当前步的值需要用到前两步的值，因此，得名两步格式同时，也称前两种方法为单步方法小 结,介绍了常微分方程初值问题数值求解的欧拉格式，这些格式分别具有一阶和二阶精度注意： 1、欧拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商（向 前、向后和中心差商）； 2、步长的选取； 3、算法的收敛和稳定性分析是一个算法的重要部分欧拉格式,隐式欧拉格式,两步欧拉格式,一阶精度,一阶精度,二阶精度,。