大学经典课件之高等数学——11-3任意项级数.pdf

第十一章第十一章第三节任意项级数第三节任意项级数一、交错级数及其判别法一、交错级数及其判别法机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛定理 1（莱布尼茨判别法） ：定理 1（莱布尼茨判别法） ：如果交错级数如果交错级数∑ ∑∞ ∞= =− −− −11)1(nnnu，其中，其中0> >nu，，L, 2 , 1= =n，满足条件： ，满足条件： 一、交错级数及其判别法一、交错级数及其判别法定义1:定义1:正、负项相间的数项级数称为交错级数.正、负项相间的数项级数称为交错级数., )1()1(111 n nn n nnuu∑∑∑∑∞ ∞= =∞=−∞=−−−或−−或)0(> >nu其中其中机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束（1）（1）), 3 , 2 , 1(1L=≥=≥+ +nuunn； ； 则级数则级数∑ ∑∞=−∞=−− −11)1(nnnu收敛，且其和 收敛，且其和 1us ≤ ≤，其余项 ，其余项 nr的绝对值 的绝对值 1+ +≤ ≤nnur （2）（2）0lim= = ∞→∞→nnu n 充分大以后满足即可充分大以后满足即可证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(− −− −− −− −− −−=−=− −− −L又又)()()(21243212nnnuuuuuus− −+ ++ +− −+ +− −= =∴∴− −L1u≤ ≤, 01≥ ≥− −− −nnuuQ.lim12ussnn≤ ≤= =∴∴ ∞ ∞→→, 0lim12= =+ +∞ ∞→→nnuQ是单调增加的数列是单调增加的数列ns2,2是有界的数列是有界的数列ns机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束)(limlim12212+ +∞ ∞→+→+∞ ∞→→+ += =∴∴nnnnnuss, s= =.,1uss≤ ≤∴∴且级数收敛于和且级数收敛于和, )(21L+ +− −±= ±=+ ++ +nnnuur余项余项,21L+ +− −= =++++nnnuur满足收敛的两个条件,满足收敛的两个条件,.1+ +≤ ≤∴∴nnur例 1：例 1：讨论下列级数的敛散性讨论下列级数的敛散性 解：解：显然显然pn1单调下降趋于零，级数收敛特别地单调下降趋于零，级数收敛特别地∑ ∑∞ ∞= =− −1)1(nnn收敛收敛)0( ,)1()1(1>−>−∑ ∑∞=∞=pnnpn机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束nnnnn1 12)1()2(1⋅+⋅++ +− −∑ ∑∞=∞=解：解：,1 12 nnnun+ ++ += =11 231 121 + ++ +++ +++ += =+ + nnnnnnuunn11 )3)(1()2(2 ≥+ +++=≥+ +++=nn nnn单调下降即，则单调下降即，则nnnunuu), 2 , 1(1L= =≥ ≥+ +0lim= = ∞ ∞→→nnu由莱布尼兹公式，级数收敛由莱布尼兹公式，级数收敛机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解解2)1(2)1()1(− −+ +− −=′−=′−xxx xxQ)2(0≥ >∴∴nnuu1limlim− −= = ∞→∞→∞→∞→nnu nnn又又. 0= =原级数收敛.原级数收敛.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1− −= =nnun记记.1)1()3(2∑ ∑∞=∞=−− −−nnnn思考题：思考题：是否一定发散？那麽莱布尼兹定理中的条件如果它不满足交错级数是否一定发散？那麽莱布尼兹定理中的条件如果它不满足交错级数,,)1(111nnnnnuuu≤−≤−+ +∞ ∞=−=−∑ ∑研究例子:研究例子:∑ ∑∞ ∞= =−+− −+−2)1()1()1(nnnn∑ ∑∞=∞=−+−−+−2)1()1()2(nnnn发散发散!收敛收敛!机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛定义2: 定义2: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定义 3： 定义 3： 若若∑ ∑∞ ∞= =1nnu收敛， 则称收敛， 则称∑ ∑∞ ∞= =1nnu为绝对收敛；若为绝对收敛；若∑ ∑∞=∞=1nnu发散，而发散，而∑ ∑∞ ∞= =1nnu收敛， 则称收敛， 则称∑ ∑∞ ∞= =1nnu为条件收敛.为条件收敛. 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理定理 2：：若若∑ ∑∞ ∞= =1nnu收敛，则收敛，则∑ ∑∞ ∞= =1nnu收敛。

即绝收敛即绝对对收敛的级数必收敛收敛的级数必收敛 证明证明),, 2 , 1(L= =+ += =nuuvnnn令令,20nnuv ≤ ≤≤ ≤显然显然,1收敛收敛∑ ∑∞ ∞= =∴∴nnv),(11∑∑∑∑∞ ∞= =∞=∞=−=−=nnn nnuvuQ又又∑ ∑∞ ∞= =∴∴1nnu收敛.收敛. 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例 2：例 2：判别级数判别级数∑ ∑∞ ∞= =12sinnnn的收敛性的收敛性 解解,1sin 22nnn≤ ≤Q,112收敛而收敛而∑ ∑∞ ∞= =nn,sin12∑ ∑∞ ∞= =∴∴nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛，从而收敛故由定理知原级数绝对收敛，从而收敛机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束),,3,2,1(0L= =≠ ≠nun设设则级数则级数( () )).(11)1(111+ +∞ ∞=+=++−+−∑ ∑ nnnn uu (A) 发散 ; 发散 ; (B) 绝对收敛;绝对收敛;(C) 条件收敛 ; 条件收敛 ; (D) 收敛性不能确定.收敛性不能确定.解:解:)11(21uusn+−=+−=)11(32uu++++C)11(43uu+−+−)11(54uu++++)11()1(11+ ++ ++−+++−++nnn uuL1111)1(1+ ++ +−+−=−+−=nn uu机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束, 1lim= = ∞→∞→nnun且且收敛⇒ 收敛⇒例3 . 例3 . , 1lim11lim==== ∞→∞→∞→∞→nnnnun nu又由又由2111lim=+=+ ∞→∞→nuunnn知知∴∴(B) 错错上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数由上定理知， 绝对收敛的级数必定收敛，但收敛的级数未必绝对收敛。

由上定理知， 绝对收敛的级数必定收敛，但收敛的级数未必绝对收敛 例：例：p-级数 -级数 ∑ ∑∞ ∞= =11npn，当，当1> >p时收敛，时收敛，1≤ ≤p时发散机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束则级数 则级数 ∑ ∑∞ ∞= =− −1)1(npnn，当，当1> >p时 绝对收敛， 时 绝对收敛， 10≤ ≤=≤>=0,00,nnn uuu类似地，可构造级数类似地，可构造级数,1∑ ∑∞ ∞= =nnw其一般项为：其一般项为：)|(|21 nnnuuw−=−= ⎩⎨⎩⎨⎧ ⎧ 原级数发散时当>a机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4 例4 解解.1) 1(,11条件收敛级数化为时当条件收敛级数化为时当∑ ∑∞=∞=−=−=nn na.1,11发散级数化为时当发散级数化为时当∑ ∑∞=∞=−= −=nna,1时当= 时当=a结论:结论:.,1级数绝对收敛时当级数发散时及当−=>aa.,1级数条件收敛时当 =级数条件收敛时当 =a∑ ∑∞=∞=− −1)1(nn n na机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束（1）因为（1）因为∑ ∑∞=∞=1||nnu是正项级数，因此可用正项级数的判别法来判别级数的绝对收敛性。

是正项级数，因此可用正项级数的判别法来判别级数的绝对收敛性 （2）一般说来，如果（2）一般说来，如果∑ ∑∞ ∞= =1||nnu发散，我们不能断定发散，我们不能断定∑ ∑∞ ∞= =1nnu也发散 也发散 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明:说明:但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数∑ ∑∞ ∞= =1||nnu发散，则我们就能断定发散，则我们就能断定∑ ∑∞ ∞= =1nnu也发散 也发散 定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)：定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)： 设设∑ ∑∞=∞=1nnu是任意项级数,且 是任意项级数,且 ρ ρ= =+∞→+∞→nnnuu1lim，则 （1），则 （1）1ρ >ρ（或 （或 +∞= +∞=）时级数发散 ）时级数发散 定理 4：根值判别法 (柯西判别法)：定理 4：根值判别法 (柯西判别法)： 设设∑ ∑∞=∞=1nnu是任意项级数,且 是任意项级数,且 ρ ρ= = ∞→∞→nnnu ||lim， 则（1）， 则（1）1ρ >ρ（或 （或 +∞= +∞=）时级数发散时级数发散。

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束这是因为：这是因为：，根据，根据1lim1>=>=+∞→+∞→ρ ρnnnuu，或，或1||lim> >= = ∞ ∞→→ρ ρnnnu可推知：可推知：,0||lim 0≠ ≠ →→nnu,0lim 0≠ ≠ →→nnu从而从而因此级数发散因此级数发散机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例 5：例 5：讨论讨论∑ ∑∞ ∞= =12nnnnx的敛散性，其中 的敛散性，其中 x是实数 是实数 解解nxnxuunnnnnn2)1(2111+=+=+ ++ ++ + 12|| + += =nnx 2|| xn⎯⎯ →⎯ ⎯⎯ →⎯∞→∞→2|| >x时，级数发散；时，级数发散； ,2||时时= =x,2)1(= =x∑∑∑∑∞ ∞= =∞ ∞= == =111 2nnnnnnx级数发散级数条件收敛级数发散级数条件收敛,2)2(− −= =x∑∑∑∑∞ ∞= =∞ ∞= =−=−=11)1( 2nnnnnnnx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例 6：例 6：讨论讨论∑ ∑∞ ∞= =− −12)2(nnnx的敛散性，其中 的敛散性，其中 x是实数。

是实数 解解nnnnnxu2||2||= =222||2xx= == =21|| >x时，级数发散；时，级数发散； ,21||时=时=x级数发散级数发散∑∑∑∑∞ ∞= =∞ ∞= =−=−−=−112)1()2(nnnnnx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理 5：定理 5：若级数若级数∑ ∑∞ ∞= =1nnu绝对收敛，任意改变它的各项 的次序所得的新级数绝对收敛，任意改变它的各项 的次序所得的新级数∑ ∑∞=∞=1nnv也绝对收敛，也绝对收敛，且且其和不变 其和不变 绝对收敛的两个性质：说明：绝对收敛的两个性质：说明：此定理说明，绝对收敛的级数有类似于有限和的交换律，但条件收敛的级数没有上述性质此定理说明，绝对收敛的级数有类似于有限和的交换律，但条件收敛的级数没有上述性质机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束证明：证明：略略（见书（见书P360））例 7 例 7 已知交错级数已知交错级数∑ ∑∞ ∞= =− −− −111)1(nn n条件收敛，设其和为条件收敛，设其和为s，即 ，即 )1(81 71 61 51 41 31 211L+−+−+−+−=+−+−+−+−=sL+−+−=+−+−=81 61 41 21 21s机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束)2(810610410210L+−+++−++=+−+++−++=得得)2()1(+ +L+−++++−++=+−++++−++=41071051 21 310123s显然，此级数是原级数 显然，此级数是原。