本不等式中的“一正二定三相等”.doc

基本不等式中的“一正二定三相等”4上海中学数学?2011年第9期基本不等式中的”一正二定三相等”442000湖北省十堰市柳林中学范小芳“一正二定三相等”是指在应用基本不等式±≥~/求函数的最值时,需同时满足以下三个条件:(1)各项均为正数;(2)和或积为定值;(3)具有等号成立的条件.然而在求解时,学生往往考虑不周,造成解题错误,主要体现在以下三个方面:一,忽视了不等式成立的前提条件,导致解题错误例1求函数一二兰的最值.对于这个最值问题,学生往往有如下两种解法:解法1:一(一1)+≥2√(t一1)?一4.当且仅当—I--即一3时等号成立,故当x=3时,函数一4.解法2:=--(一1)+.(i)由于≠1,当’r>1时,(x--1)+÷Lr—l厂_一≥2√(x--1)’一4?当且仅当.r一1一.三t_,即.r=3时等号成立.故当lI,一3时,一4.(2)当lI,<I时,(.r—I)+÷一一[(1一-一,)+]≤一2X/(.v--1)?一一4.当且仅当1--亡即SC=--1时一4.综上所述,当.r一3时,一4;当一一1时,v…一一4.另外点P与点Q关于点M对称,M是线段PQ的中点,则有.p+_’一2x,+一2y.那么按照这个公式,刚才已知点P和对称点A的坐标,就可以求出点P的坐标,同理可求出点P.,,P等坐标.显然,上述解法2是正确的,因为它满足“一正二定三相等”这三个条件,.r一1和有可能大于0,也可能小于0,则这两项可能同时为正,也可能为负,而解法1只考虑-一r一1大于0的情况,即忽视了基本不等式成立的前提条件——各项均为正数,从而导致解题错误.二,忽视了基本不等式定值的选取,造成解题错误用基本不等式求函数的最值时要构造出定值关系,首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值,然后构造相应积(和)的定值.例2若0<<÷,求函数—(1～3._,)的最大值.解法1:—.(1—3x)一?-tf?(1—3x)≤f±1.:.当且仅当一1～(————一)—’当且仪当—l～.圳扣去.解法2:...0<.r<÷,.’.I一3.z>0.:.1,.(1--3)=?z?(1—3)一4?萼?警?(1…≤鲁『擎]4当且仅当3,~--1—3即z一百2时,等号成立,即…一‘解法1中不是定值,所以不能直接应用基本不等式,可采取拼凑的办法,使得三项总之解答这些简单的规律探索型问题,必须在认真审题的基础上,找准切入点,可以先从简单,特殊的情况抓起,往往也是从少到多,从简单到复杂,通过分析比较,找出每次变化过程中所具有的规律性东西,从而找到解题方法.上海中学数学?2011年第9期5圆锥曲线定义的几何证明317100浙江省三门县三门中学陈耀用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口瞄线,分别是椭圆,双曲线,抛物线,通常把它们统称为圆锥曲线.那么,为什么截口曲线是椭圆,双曲线或抛物线呢?l为什么截口曲线是椭圆?常见的一段木棒,大体上是一个圆柱,若正截过去,截口是一个圆,若斜截则截口不再是圆的,而是椭圆.如图1,在圆柱内放两个球,与圆柱侧面和截面都相切.令厂l,r2分别是上,下球面∑,∑.和柱面相切的圆.设P是截面厂上任意一点,F,F是球面和截面的切点,QIQ是柱面上过点P的一条线段,Q∈,Q2∈r2,由球的几何性质,则有IPF『:『PQ1『,lPF2I=IPQI,于是1PFI+lPI—l.l为定长,故截图1Z布Ⅱ为足但,以达钊求最但明日的.例支Ⅱ.._,r.>0,求4.+的最值”,此时,就可以把此式写成4+导一2.r+2+导,使得乘积为定值,以达到解题的目的.三,忽视了等号成立的条件,导致解题的错误例3求函数3,箬的最小值.-u解法:.?’+s>.,???一厢+焘?.z.解法2:由一+丽1,令两≥.易证一,(f)一+{(￡≥)为面是椭圆.这种方法可以推广到圆锥截面,数学家GerminelDandelin曾给出如下证法.如图2,F1,是两个球与截面的切点,P是在截面曲线上任取的一点,Q,Q?是两个球分别与圆锥侧面相切的圆上的点,且使线段图2过点P,则由球的性质可知,fPf=lPQ,c,lPF2l—IPQ2I,于是lPFl+lPFI—lPQl+IPQ.l—I.l为定值,满足椭圆的定义.由此证得,按一定的角度斜截圆锥,得到的截面曲线是椭圆.以上证法非常巧妙.那么,这种方法能否推广到双曲线和抛物线的证明呢?2双曲线定义的几何证明如果使截面平行于圆锥的轴,得到的截面曲线就是双曲线.由于双曲线有两支,所以要让增函数’...Y…一厂()=+一竿.即当√0J;:一,即=0时,Y…:.0解法1似乎无懈可击,其实令√.+3一—;,则有=一2,即无实数解,也就是等√.2十3号取不到,因而找不到最小值,而解法2则利用“对勾函数”进行求解.在利用基本不等式求函数的最值时,学生对”一正三相等”理解得比较到位,但对”二定”理解得不够透彻,很难将最值和其和(积)联系在一起,并且不知如何配凑使得其和(积)为定值,因此,在学习此节内容时应从课本例题人手,抽象出其理论知识,然后通过习题加以练习巩固.。