基本特征数及计算.doc

1第三周星期二，第三次课（4）课时题目：基本特征数及其计算一、教学目的：掌握几种特征数的作用、计算方法和性质二、教学内容：1 平均数2 标准差3 变异系数三、重点难点：标准差的性质、作用与计算教学内容：一、平均数1 算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为 算术x平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算一）直接法 主要用于样本含量 n≤30 以下、未经分组资料平均数的计算设某一资料包含 n 个观测值： x1、 x2、 …、 xn，则样本平均数 可通过下式计算： xi1（二）加权法 对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：fxffffxxkikiik121 式中： —第 i 组的组中值；ix—第 i 组的次数；f—分组数k第 i 组的次数 fi是权衡第 i 组组中值 xi在资料中所占比重大小的数量，因此 fi称为是 xi的“权” ，加权法也由此而得名例 3.1】 将 100 头长白母猪的仔猪一月窝重（单位： kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。

表 3—1 100 头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表组别 组中值（ x） 次数（ f） f x10— 15 3 4520— 25 6 15030— 35 26 91040— 45 30 135050— 55 24 132060— 65 8 520270— 75 3 225合计 100 4520利用（3—2）式得： )(2.4510kgfx即这 100 头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为 45.2kg例 3.2】 某牛群有黑白花奶牛 1500 头，其平均体重为 750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛 1200 头，平均体重为 725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？ )(89.73270155kgfx（三）平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零或简写成0)(1xnii 0)(x2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小xi- )2几何平均数>调和平均数二、标准差1 标准差的意义：反映了样本的变异程度及平均数的代表性大小方差公式：S 2= （3—6）1/)(2nx相应的总体参数叫总体方差，记为 σ 2。

对于有限总体而言，σ 2的计算公式为：σ 2 μ） 2/N （3—7）x(由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根统计学上把样本方差 S2的平方根叫做样本标准差，记为 S，即：（3-8）1)(2nx可改写为： （3-9）2)(nSx2、标准差的计算方法（一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计算标准差例 3.9】 计算 10 只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差此例 n=10，经计算得：Σ x=5400，Σ x2=2955000，代入（3—12）式得：4(g)82.6510/54291/)( 222 nxS即 10 只辽宁绒山羊产绒量的标准差为 65.828g二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差计算公式为：（3—14）1/)(1)( 222ffxffxS式中， f 为各组次数； x 为各组的组中值；Σ f = n 为总次数。

例 3.10】 利用某纯系蛋鸡 200 枚蛋重资料的次数分布表（见表 3-4）计算标准差将表 3-4 中的 Σ f、 Σ fx、 Σ fx2代入（3—14）式得：（ g）524.31200/.75.571/)( 2ffxS即某纯系蛋鸡 200 枚蛋重的标准差为 3.5524g表 3—4 某纯系蛋鸡 200 枚蛋重资料次数分布及标准差计算表组别 组中值（ x） 次数（ f） fx fx244.15— 45.0 3 135.0 6075.045.85— 46.7 6 280.2 13085.3447.55— 48.4 16 774.4 37480.9649.25— 50.1 22 1102.2 55220.2250.95— 51.8 30 1554.0 80497.2052.65— 53.5 44 2354.0 125939.0054.35— 55.2 28 1545.0 85317.1256.05— 56.9 30 1707.0 97128.3057.75— 58.6 12 703.2 41207.5259.45— 60.3 5 301.5 18180.4561.15— 62.0 4 248.0 15376.00合计 Σ f=200 Σ fx=10705.1 Σ fx2=575507.113、标准差的特性（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。

二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变三）当每个观测值乘以或除以一个常数 a，则所得的标准差是原来标准差的 a 倍或 1/a 倍四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有 68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（ ±S）范围内；约有 95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（ ±2S）范围内；约有 99.73%的观测x x5值在平均数左右三倍标准差（ ±3S）范围内也就是说全距近似地等于 6 倍标准差，可用（ ）x 6/全 距来粗略估计标准差三、变异系数当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值来比较标准差与平均数的比值称为变异系数，记为 C·V变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响变异系数的计算公式为：（3—15）%10xSVC【例 3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg，标准差为 10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为 196kg，标准差为 8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。

此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度的大小由于，长白成年母猪体重的变异系数： %53.1095.VC大约克成年母猪体重的变异系数： 4.6.8所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出习 题1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？ 2、何谓算术平均数？算术平均数有哪些基本性质？3、何谓标准差？标准差有哪些特性？4、何谓变异系数？为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？5、10 头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9 头试计算这 10 头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数 （ =9.8 头， S=2.098 头， C·V=21.40%） x6、随机测量了某品种 120 头 6 月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数组别 组中值（ x） 次数（ f）80— 84 288— 92 1096— 100 29104— 108 28112— 116 20120— 124 15128— 132 136136— 140 3（ =111.07cm， S=12.95cm, C·V=11.66%） 。

x6、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高（ cm）如下表，试比较两地成年母水牛体高的变异程度甲地 137 133 130 128 127 119 136 132乙地 128 130 129 130 131 132 129 130（ S 甲 =5.75cm, C.V 甲 =4.42%； S 乙 =1.25cm， C.V 乙 =0.96%）。