小学奥数：7-9-1 概率.学生版.pdf

7-9-1.概率7-9-1.概率 教学教学目目标标 “统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸 贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题 3.理解和运用概率性质进行概率的运算 知识要点知识要点 一、概率的古典定义 如果一个试验满足两条：试验只有有限个基本结果； 试验的每个基本结果出现的可能性是一样的 这样的试验，称为古典试验对于古典试验中的事件 A，它的概率定义为： m P A n ，n表示该试验中 所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数小学奥数中所涉及的概率都属于 古典概率其中的m和n需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出 二、对立事件 对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件 如果事件A和B为对立事件 （互斥事件） ， 那么A或B中之一发生的概率等于事件A发生的概率与事件B 发生的概率之和，为 1，即： 1P AP B 三、相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 如果事件A和B为独立事件，那么A和B都发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之 积，即： P A BP AP B 例题精讲例题精讲 模块一、概率的意义 【例 1】 气象台预报【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是本市明天降雨概率是 80%”对此信息，下列说法中正确的是对此信息，下列说法中正确的是_ 本市明天将有 本市明天将有 80%的地区降水本市明天将有的地区降水本市明天将有 80%的时间降水 明天肯定下雨明天降水的可能性比较大 的时间降水 明天肯定下雨明天降水的可能性比较大 【考点】概率的意义【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，决赛 【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间80%的概率也不是指肯定 下雨，100%的概率才是肯定下雨80%的概率是说明有比较大的可能性下雨 【答案】 【例 2】 【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，这样轮流掷下去若约翰连 续两次掷得的结果相同，则记 ，这样轮流掷下去若约翰连 续两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记分，否则记 0 分若汤姆连续两次掷得的结果中至少有分若汤姆连续两次掷得的结果中至少有 1 次硬币的 正面向上，则记 次硬币的 正面向上，则记 1 分，否则记分，否则记 0 分谁先记满分谁先记满 10 分谁就赢分谁就赢赢的可能性较大（请填汤赢的可能性较大（请填汤 姆或约翰） 姆或约翰） 【考点】概率的意义【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题 【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正） ； （正，反） ； （反，正） ； （反，反）共四种情况。

约翰 扔的话，两种情况记 1 分，两种情况记 0 分；汤姆扔的话三种情况记 1 分，一种情况记 0 分所以 汤姆赢得的可能性大 【答案】汤姆 【例 3】 在某个池塘中随机捕捞【例 3】 在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞 200尾，发现其中有尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么 请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？ 条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么 请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？ 【考点】概率的意义【难度】2星【题型】解答 【解析】【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125， 所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800尾 【答案】800 【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔 放这个木块规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得 ，小光、小亮两人随意往桌面上扔 放这个木块规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分当小亮扔时，如果朝上的 一面写的是奇数，得 分当小亮扔时，如果朝上的 一面写的是奇数，得1分每人扔分每人扔100次，次，_得分高的可能性比较大得分高的可能性比较大 【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空 【解析】【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较 大，即小亮得分高的可能性较大 【答案】小亮得分高的可能性较大 【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依 次求和，当总点数超过 ，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依 次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是. 【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空 【解析】【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17） 当总点数是8时， 再掷一次， 总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大 当总点数在9至12之间时， 再掷一次， 总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小 例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即 总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性 最大 【答案】总点数是13的可能性最大 【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有1路、路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆小 红到车站后，只要看见 分中开来一辆小 红到车站后，只要看见1路或路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后路车过去以后3分钟就来分钟就来 9路车，而路车，而9路车过去以后路车过去以后7分钟才来分钟才来1路车小红乘坐路车小红乘坐_路车的可能性较大路车的可能性较大 【考点】概率的意义【难度】4星【题型】填空 【解析】【解析】首先某一时刻开来1路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示： 分钟12345678910111213141516171819 车号1999111111199911111 显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为 7 10 ， 乘坐9路车的几率均为 3 10 ， 因此小红乘坐1路 车的可能性较大 【答案】1路车的可能性较大 模块二、计数求概率 【例 7】如图所示， 将球放在顶部， 让它们从顶部沿轨道落下， 球落到底部的从左至右的概率依次是【例 7】如图所示， 将球放在顶部， 让它们从顶部沿轨道落下， 球落到底部的从左至右的概率依次是_ 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空 【解析】【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为 1 16 、1 4 、3 8 、 1 4 、 1 16 【答案】左至右落到底部的概率依次为 1 16 、 1 4 、 3 8 、 1 4 、 1 16 【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9 五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五 个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是 五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五 个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是_ 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】填空 【解析】【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能， 第二位数字有4种可能，第五位数字有1种可能，所以一共有5432 1120 种可能，则 输入正确车牌号的可能性是 1 120 【答案】 1 120 【例 9】分别先后掷【例 9】分别先后掷2次骰子，点数之和为次骰子，点数之和为6的概率为多少的概率为多少?点数之积为点数之积为6的概率为多少的概率为多少? 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答 【解析】【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636 将点数为6的情况全部枚举出来有： 1,52,43,34,25,1 点数之积为6的情况为： 1,62,33,26,1 两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是 5 36 ； 点数之积为6的概率为 41 369 【答案】 （1） 5 36 ， （2） 1 9 【例 10】甲、乙两个学生各从【例 10】甲、乙两个学生各从09这这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同） ，求：这两个数字的 差不超过 个数字中随机挑选了两个数字（可能相同） ，求：这两个数字的 差不超过2的概率，两个数字的差不超过的概率，两个数字的差不超过6的概率的概率 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答 【解析】【解析】两个数相同（差为0）的情况有10种， 两个数差为1有2918种， 两个数的差为2的情况有2 816种， 所以两个数的差不超过2的概率有 10181611 10 1025 两个数的差为7的情况有23种 两个数的差为8的情况有224种 两个数的差为9的情况有2种 所以两个数字的差超过6的概率有 6423 10 1025 . 两个数字的差不超过6的概率有 322 1 2525 . 【答案】 （1） 11 25 ， （2） 22 25 【例 11】工厂质量检测部门对某一批次的【例 11】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品， 那么质检人员随机抽取 件产品中有两件产品是次品， 那么质检人员随机抽取2件产品， 这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是 次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 件产品， 这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是 次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答 【解析】【解析】从10件产品中选择2件一共有 2 10 45C种情况. 所以这两件产品恰好都是次品的概率为 1 45 两件产品中有一件次品的情况有 11 28 16CC种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为 16 45 . 两件产品中都不是次品的概率有 2 8 28C种情况，所以两件产品都不是次品的概率为 28 45 . 【答案】 （1） 1 45 ， （2） 16 45 ， （3） 28 45 【例 12】一个班有女生【例 12】一个班有女生25人人,男生男生27人人,任意抽选两名同学任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几恰好都是女生的概率是几分之几? 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答 【解析】【解析】从25名女生中任意抽出两个人有 2524 300 2 种不同的方法 从全体学生中任意抽出两个人有 5251 1326 2 种不同的方法计算概率： 30050 1326221 【答案】 50 221 【例 13】从【例 13】从6名学生中选名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？ 【考点】计数求概率【难度】3星【题型】解答 【解析】【解析。