必修4案例02--三角函数模型的简单应用-潮汐问题.pdf

第 1 页 共 6 页案例解析—三角函数模型的简单应用- 潮汐问题安徽师范大学附属中学叶祥才一、内容分析1. 课题：三角函数模型的简单应用--- 潮汐问题教材内容选自人民教育出版社编写的《普通高中课程标准实验教科书数学必修 4(A 版）》的“ 1.6 三角函数模型的简单应用”的例42. 课标要求 ：会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型3. 地位分析： 三角函数是刻画现实世界某些现象的重要数学模型周期变化现象在现实中大量存在， 如音乐的旋律、 波浪、昼夜的交替、 潮汐、钟摆的运动、交流电等， 这些现象都可以用三角函数来描述与传统的处理方法不同的是，把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，潮汐问题就是一个典型的案例， 通过用三角函数解决实际问题， 让学生在实践中体会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法4. 学情分析： 在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转 ,, 都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子,, 是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体。

在知识贮备上， 学生已经学习了三角函数的图像和性质、利用图象解三角不等式、利用二分法求相应方程的近似解，而且在必修1中，学习了函数建模，初步具有利用信息技术处理一些实际计算的能力，这些为本节课提供了知识和方法的准备二、目标与重难点1. 教学目标 ：通过三角函数解决潮汐问题， 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，在实践中体会数学的作用和价值，进而培养数学应用意识2. 教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题3. 教学难点： 对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型4. 教学流程：第 2 页 共 6 页三、主要教学过程：1. 情景展示，新课导入教师：请看这样一副画面：这是温州市区著名景点--- 江心屿 (图 1) ，江心屿上面有座峙庙 --- 江心峙 ( 图 2)，旁边这位人物是 ( 稍微停顿 )温州南宋时期著名状元诗人 --- 王十朋 (图 3) 学生不是很熟悉，已经淡忘了)他在江心峙中题了一副非常知名对联学生又想起来了）（呈现对联）上联是：云朝朝，朝朝朝，朝朝朝散；下联是：潮长长，长长长，长长长消教师：在这里，诗人王十朋巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面，当然他对瓯江潮水的描述也是感性的。

今天我们将从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题2. 问题提出，探究解决教师：老师想问大家一个问题：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？学生：水深情况教师：是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表 那么这张表格是如何产生的呢？请同学们看下面这个问题问题探究 1：如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时间0.00 1.00 3.00 6.00 8.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深5.0 6.25 7.5 5.0 2.84 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 教师：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？学生：（思考中）发现水深的最大值是7.5 米，最小值是 2.5 米教师：水的深度变化有什么特点吗？学生：水的深度开始由5.0 米增加到 7.5 米，后逐渐减少一直减少到2.5 ，又开始逐渐变深，增加到7.5 米后，又开始减少第 3 页 共 6 页教师：大家发现， 水深变化并不是杂乱无章， 而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，我们需要做什么工作呢？学生：需要画图。

教师：非常好，下面大家拿出一张白纸，以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去 学生活动：作图）教师：（电脑呈现作图结果）大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相像？学生：跟三角函数模型很象教师：下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗？学生：由图得教师：这样一来我们 就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，有了这个模型， 我们要制定一张一天 24 内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在 4 时的时候水深是多少？（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）时刻1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 水深5.000 6.250 7.165 7.500 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 时刻13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 水深6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 教师：有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时， 每艘船只的吃水深度是不一样， 下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究 2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？教师：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？（师生一起分析）第 4 页 共 6 页教师：只有当“实际水深吃水深度 +安全间隙”时，船只才可以进去或离开港口。

怎样用数学语言将这一条件给转述出来呢？学生：，即，（师生齐分析）解三角不等式，通常我们是算去边界值，然后再确定解的范围学生活动：操作计算器计算），令教师：我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在 [0 ，24]范围内，其他一些解该怎么求呢？我们来看图象情况电脑呈现图象）发现：在 [0 ，24] 范围内，方程的解一共有 4 个，从小到大依次记为：那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）教师：得到了 4 个交点的横坐标值后， 大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（学生讨论，交流）学生 1：货船可以在 0 时 30 分钟左右进港，早晨5 时 30分钟左右出港；或者是中午 12 时 30 分钟左右进港，在傍晚17 时 30 分钟左右出港学生 2：货船可以在 0 时 30 分钟左右进港，可以选择早晨5 时 30 分，中午12 时 30分，或者傍晚 17 时 30分左右出港教师：上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全学生讨论， 最后确定方案 1 为安全方案， 因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶， 但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨， 也很可能船身不再上浮）教师：大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变， 也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货， 在卸货的过程中， 由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化， 这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题：问题探究 3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离） ，该船在 2：00 开始卸货，第 5 页 共 6 页吃水深度以每小时0.3 米的速度减少， 那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？教师：题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？学生：当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。

教师：那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：学生：安全即需要：实际水深安全水深，即：教师：这样的不等式大家会解吗？学生：不会教师：用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题电脑作图并呈现）通过图象可以看出， 当快要到 P时刻的时候， 货船就要停止卸货，驶向深水区那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）教师：P点横坐标即为方程解，很显然，精确解我们是无法求得， 我们只能是求得其近似解， 同学们回忆回忆， 前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？学生：二分法，教师：如何用二分法求得近似解呢？（师生一道分析）：由图得点P在[6 ，7] ，故我们只需要算出6，6.5 ，7 三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题时间实际水深安全水深是否安全6．0 5 米4．3 米安全6．5 4．2 米4．1 米较安全7．0 3．8 米4．0 米危险货船应该在 6 时 30 分驶离港口可能有的同学有些异议，可以讨论）教师：从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上帐后在驶回来。

这样会造成才力、物力上的巨大浪费！这显然不是愿意看到的那改怎么来做呢？学生：可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度问题探究 4：若船的吃水深度为4 米，安全间隙为 1.5 米，该船在 2：00 开始卸货，货物卸空后吃水深度为2 米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？（学生课后探究）3. 课时小结，认识深化(1) 回顾探究过程，经历三个阶段第 6 页 共 6 页第一阶段：收集数据 -----画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）第二阶段：根据图象特征--- 选择适当函数类型，并求得函数类型第三阶段：函数模型在实际问题中的应用(2)在整个探究过程，用到数学常见的一些思想方法：①对实际问题处理过程是， 首先是挖掘其中的数学本质， 将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；②在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；③在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；④在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想教师：这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中货船进出港问题，这只是三角函数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程做个有心人， 学会用数学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时并努力去尝试用学过的数学知识处理一些实际问题。

4. 作业布置，延时探究(1) 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次 请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期2)请调查本地区的每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案3) 一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论注：本文参考了章建跃主持的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组部分成果。