误差的合成与分配.ppt

第三章第三章 误差的合成与分配差的合成与分配第一第一节 函数函数误差差第二第二节 随机随机误差的合成差的合成第三第三节 未定系未定系统误差差 和和 随机随机误差的合成差的合成第四第四节误差分配差分配第五第五节 最佳最佳测量方案的确定量方案的确定1. 1. 基本概念基本概念间接接测量量通通过直接直接测得的量与被得的量与被测量之量之间的的函数关系函数关系计算算出被出被测量 函数函数误差差间接接测量量误差是各个直接差是各个直接测量量值误差的函数，差的函数，这种种误差称差称为函数函数误差直接直接测量量直接得到被直接得到被测量量值的的测量量间接接测量的数学模型量的数学模型 2.2.函数函数误差的差的计算算 ————a.a.已定系已定系统误差差间接接测量量值直接直接测量量值若已知各个直接若已知各个直接测量量值的系的系统误差差可近似得到函数的系可近似得到函数的系统误差差为：：其中：其中： 为直接直接测量量值的的误差差传递系数系数结论：各个直接：各个直接测量量值的的已定系已定系统误差差对函数函数总误差的函数已定系差的函数已定系统误差差贡献是一种献是一种代数和代数和的形式。

的形式2.2.函数函数误差的差的计算算 ————a.a.已定系已定系统误差差例例用弓高弦用弓高弦长法法间接接测量大工件量大工件直径如图所示，所示，车间工人用一工人用一把卡尺量得弓高把卡尺量得弓高 　　　，弦　　　，弦长　　　　　　，工厂，工厂检验部部门又用高准确度等又用高准确度等级的卡尺量得弓高　　　　，弦的卡尺量得弓高　　　　，弦长 试问车间工人工人测量量该工件直径的系工件直径的系统误差，并差，并求修正后的求修正后的测量量结果解】【解】不考不考虑测量量值的系的系统误差，可求出在　　　　　　差，可求出在　　　　　　处的直径的直径测量量值 建立建立间接接测量大工件直径的函数模型量大工件直径的函数模型O O根据根据误差差传递系数系数为：：已知已知 , ,代入代入则得得 直径的系直径的系统误差差 故修正后的故修正后的测量量结果果 2.2.函数函数误差的差的计算算 ——b.——b.随机随机误差差对n n个个变量各量各测量量N N次，其相次，其相应的随机的随机误差差为：：将右将右侧方程方程组中的每个方程两中的每个方程两边平方平方, , 可得可得将方程将方程组两两边相加可得相加可得将上式等号两将上式等号两边除以除以N, N, 根据根据可得函数可得函数标准差准差 第第i i个直接个直接测得量得量 的的标准准差差 第第i i个个测量量值和第和第j j个个测量量值之之间的相关系数的相关系数 第第i i个直接个直接测得量得量 的的误差差传播系数播系数 若各若各测量量值的随机的随机误差是相互独立的，相关差是相互独立的，相关项 令令则标准差准差当各个当各个测量量值的随机的随机误差都差都为正正态分布分布时, ,标准差用准差用极限极限误差代替，可得函数的差代替，可得函数的极限极限误差差 第第i i个直接个直接测得量得量 的极限的极限误差差 【解】【解】有有用弓高弦用弓高弦长法法间接接测量大工件直径。

量大工件直径车间工人用一把卡尺工人用一把卡尺量得弓高　　　量得弓高　　　 ，弦，弦长　　　　，已知　　　　，已知车间工人工人测量量该工工件弓高的件弓高的标准差　　　　　准差　　　　　 ，弦，弦长的的标准差　　　准差　　　 ，，试求求测量量该工件直径的工件直径的标准差，并求修正后的准差，并求修正后的测量量结果故修正后的故修正后的测量量结果果 例例2 2：：相相对测量量时需用的量需用的量块组作作标准件，量准件，量块组由由4 4块量量块研合而成，它研合而成，它们的基本尺寸的基本尺寸为l l1 1=40mm=40mm，，l l2 2=12mm,=12mm,L L3 3，，l l4 4经测量，它量，它们的尺寸偏差及其的尺寸偏差及其测量极限量极限误差分差分别为试求量求量块组按基本尺寸使用按基本尺寸使用时的修正的修正值及其极限及其极限误差解：由解：由题意得：意得： l l0 0=l=l1 1+l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4所以所以l l0 0=l=l1 1+l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4因因为l=f(ll=f(l1 1，，l l2 2，，l l3 3，，l l4 4 ) )所以所以 故，故，l l的系的系统误差差为所以，量所以，量块组按基本尺寸使用的修正按基本尺寸使用的修正值是是极限极限误差差相关系数相关系数对函数函数误差的影响差的影响 反映了各随机反映了各随机误差分量相互差分量相互间的的线性关性关联对函数函数总误差的影响差的影响 函数函数标准差与各随机准差与各随机误差分量差分量标准差之准差之间具有具有线性的性的传播关系播关系 函数随机函数随机误差公式差公式当相关系数当相关系数 当相关系数当相关系数 时2 2、、 相关系数估相关系数估计相关系数的确定相关系数的确定可判断可判断 的情的情形形 § 断定断定 与与 两分量之两分量之间没有相互依没有相互依赖关系的关系的影响影响 § 当当一个分量依次增大一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正，引起另一个分量呈正负交替交替变化，反之亦然化，反之亦然 § 与与 属于属于完全不相干的两完全不相干的两类体系分量，体系分量，如人如人员操作引起的操作引起的误差分量与差分量与环境湿度引起的境湿度引起的误差分量差分量 § 与与 虽相互有影响，但其影响甚微，相互有影响，但其影响甚微，视为可可忽略不忽略不计的弱相关的弱相关 1 1 1 1、直接判断法、直接判断法、直接判断法、直接判断法可判断可判断 或或 的情形的情形 §断定断定 与与 两分量两分量间近似呈近似呈现正的正的线性关系性关系或或负的的线性关系性关系 §当一个分量依次增大当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然增大或减小，反之亦然 2 2 2 2、、、、试验观试验观察法察法察法察法 （（（（1 1 1 1）））） 观观察法察法察法察法 用多用多组测量的两量的两误差差对应值(ξi, ηi)(ξi, ηi)作作图，将它与，将它与标准准图形相比，看它与哪一形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近形相近，从而确定相关系数的近似似值。

例例3 3：：测量某量某电路的路的电流，流，电压U=12.6V,U=12.6V,测量的量的标准差分准差分别为 ，求所耗功率，求所耗功率P=UIP=UI及其及其标准差准差 解：所耗功率解：所耗功率因因为且且U U、、I I完全完全线性相关，故相关系数性相关，故相关系数 ，所以，所以例：例：用用长30 m30 m的的钢尺丈量了尺丈量了1010个尺段，若每尺段的极个尺段，若每尺段的极限限误差差为±5 mm±5 mm，求全，求全长D D及其极限及其极限误差解解：：1 1）函数式）函数式 D=10L=10×30=300 mD=10L=10×30=300 m按倍数函数式求全按倍数函数式求全长中中误差，将得出差，将得出2 2））实际上全上全长应是是1010个尺段之和，故函数式个尺段之和，故函数式应为 L=l1+l2+…+l10 L=l1+l2+…+l10用和差函数式求全用和差函数式求全长极限极限误差，因各段极限差，因各段极限误差均相差均相等，故得全等，故得全长极限极限误差差为按按实际情况分析用和差公式是正确的，而用情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式倍数公式则是是错误的。

的 注意：注意：在函数式中各在函数式中各观测值是否相互独立？是否相互独立？本本节注意：注意：例：例：z=x+yz=x+y，，y=3xy=3x，求，求 由于没有考由于没有考虑x x，，y y之之间的相关性，的相关性，结果果错误考考虑了了x x，，y y之之间的相关性，的相关性，结果正确果正确第二第二节 随机随机误差的合成差的合成标准差合成准差合成解决解决随机随机误差的合成差的合成问题一般基于一般基于标准差方和根合成准差方和根合成的方法的方法，其中，其中还要考要考虑到到误差差传播系数极限极限误差合成差合成随机随机误差的合成差的合成一、一、标准差合成准差合成q q个个单项随机随机误差，差，标准差准差 误差差传播系数播系数 v由由间接接测量的量的显函数模型求得函数模型求得 v根据根据实际经验给出出 v知道影响知道影响测量量结果的果的误差因素　　差因素　　而不知道每个　而不知道每个　 和和 函数的函数的误差差误差的合成差的合成各个各个误差互不相关，相关系数差互不相关，相关系数 合成合成标准差准差 当当误差差传播系数播系数 、且各相关系数均可、且各相关系数均可视为0 0合成合成标准差准差 随机随机误差的合成差的合成一、极限一、极限误差合成差合成合成极限合成极限误差：差：若若第三第三节未定系未定系统误差差 和和 随机随机误差的合成差的合成系系统误差的合成差的合成• • 定定义：：– – 误差大小和方向均已确切掌握了的系差大小和方向均已确切掌握了的系统误差差• • 表示符号：表示符号： ΔΔ• • 合成方法：合成方法：按照代数和法按照代数和法进行合成行合成一、已定系一、已定系统误差合成差合成 ΔΔi i 为第第i i个系个系统误差，差，ai ai 为其其传递系数系数在在实际测量中，大部分已定系量中，大部分已定系统误差在差在测量量过程中均已程中均已消除，少数未予消除的也只是少数几消除，少数未予消除的也只是少数几项，它，它们按代数和按代数和法合成法合成后，后，还可以从可以从测量量结果中果中修正修正，故最后的，故最后的测量量结果中不再含有已定系果中不再含有已定系统误差差。

系系统误差的合成差的合成一、未定系一、未定系统误差合成差合成对未定系未定系统误差，估差，估计出其可能范出其可能范围，，视为随机随机误差差进行合成行合成未定系未定系统误差差的的取取值具有一定的具有一定的随机性随机性，服从一，服从一定的概率分布，因而若干定的概率分布，因而若干项未定系未定系统误差差综合作合作用用时，，完全可以采用随机完全可以采用随机误差的合成公式来差的合成公式来进行行未定系未定系统误差的合成差的合成，， 这就就给测量量结果的果的处理理带来很大方便来很大方便 已定系已定系统误差差经修正后，影响修正后，影响测量量过程的程的总误差只差只要考要考虑未定系未定系统误差与随机差与随机误差的合成差的合成总误差可差可用用标准差准差来表示，也可用来表示，也可用极限极限误差差来表示来表示 误差合成差合成总结已定系已定系统误差差随机随机误差差a.a.线性无关性无关b. b. 完全正相关完全正相关l用已定系用已定系统误差修正差修正测值l随机随机误差和未定系差和未定系统误差合成差合成Ø未定系未定系统误差取差取值具有随机性，服从一定的概率分具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的抵布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机作用，可以采用随机误差的合差的合成公式成公式进行合成行合成Ø随机随机误差和未定系差和未定系统误差采用方和差合成方式，差采用方和差合成方式，评估估测量量结果的分散性果的分散性误差合成差合成总结第四第四节 误差分配差分配误差分配差分配给定定测量量结果允果允许的的总误差，合理确定各个差，合理确定各个单项误差。

差 给定定 　，如何确定　，如何确定 　，　，满足足假假设各各误差因素皆差因素皆为随机随机误差，且互不相关，有差，且互不相关，有 误差分配差分配一、按等作用原一、按等作用原则分配分配误差差l各各误差差项影响相等影响相等 l按极限按极限误差表示：差表示： l问题？？误差分配差分配二、按可能性二、按可能性调整整误差差l为什么什么调整整 （（1 1））对一部分一部分测量量误差的需求差的需求实现颇感容易，而感容易，而对另一些另一些测量量误差的要求差的要求则难以达到2 2）当各个分）当各个分项误差一定差一定时，相，相应测量量值的的误差与其差与其传播系数成反比因此，当各个分播系数成反比因此，当各个分项误差相等差相等时，相，相应测量量值的的误差并不相等，有可能相差很大差并不相等，有可能相差很大l调整整原原则？？在等作用原在等作用原则分配分配误差的基差的基础上，根据具体情况上，根据具体情况进行适行适当当调整ü对难以以实现测量的量的误差差项适当适当扩大大ü对容易容易实现的的误差差项尽可能尽可能缩小小ü其余其余误差差项不予不予调整整 误差分配差分配三、三、验算算调整后的整后的总误差差 l误差按差按等等作用作用原理原理确定后，确定后，应按照按照误差合成公式差合成公式计算算实际总误差差. .Ø 若若超出超出给定的允定的允许误差范差范围，，应选择可能可能缩小小的的误差差项再再进行行缩小小。

Ø 若若实际总误差差较小，小，可适当可适当扩大大难以以实现的的误差差项的的误差差Ø 合成合成后与要求的后与要求的总误差比差比较，，直到直到满足要求足要求为止止 求得体求得体积 V V，若要求，若要求测量体量体积的相的相对误差差为1 1％，已知％，已知直径和高度的公称直径和高度的公称值分分别为　　　　　　　　 ，　　，　　 ，，试确定直径　及高度确定直径　及高度 的的测量精度 计算体算体积 体体积的的绝对误差差 例例：：测量一量一圆柱体的体柱体的体积时，可，可间接接测量量圆柱直径　柱直径　及高度　及高度　 ，根据函数式，根据函数式 【解】【解】一、按等影响分配原一、按等影响分配原则分配分配误差差得到得到测量直径　量直径　 与高度　的极限与高度　的极限误差差 用用这两种量具两种量具测量的体量的体积极限极限误差差为 mmmm的游的游标卡尺卡尺测高　　　　高　　　　 ，在，在5050mmmm测量范量范围内的极限内的极限误差差为 mmmm的游的游标卡尺卡尺测直径　　　　直径　　　　 ，在，在2020mmmm范范围内的极内的极限限误差差为　　　　　　 调整后的整后的实际测量极限量极限误差差为 因因为 调整后用一把游整后用一把游标卡尺卡尺测量直径和高度即能保量直径和高度即能保证测量准确度。

量准确度 显然采用的量具准确度偏高，然采用的量具准确度偏高，选得不合理，得不合理，应作适当作适当调整ü若若mmmm的游的游标卡尺来卡尺来测量直径和量直径和高度ü在在5050mmmm测量范量范围内的极限内的极限误差差为　　　　　　 二、二、调整后的整后的测量极限量极限误差差解：解：根据等作用原根据等作用原则分配分配误差差 故，故，电压V V和和电阻的阻的测量量误差分差分别为：：例：例：测量某量某电路路电阻阻R R两端的两端的电压U U，可由公式，可由公式I=U/RI=U/R计算出算出电路路电路路I I，若，若电压为16V16V，，电阻阻为4 4 ，欲使，欲使电流的极限流的极限误差差为，，试决定决定电阻阻R R和和电压的的测量极限量极限误差差为多少？多少？第六节第六节 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定最佳最佳测量方案确定量方案确定函数的函数的标准差准差欲使欲使σσy y为最小最小Ø间接接测量中如果可由不同的函数公式来表示，量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含取包含直接直接测量量值最少最少的函数公式的函数公式 Ø不同的数学公式所包含的直接不同的数学公式所包含的直接测量量值数目相同，数目相同，则应选取取误差差较小小的直接的直接测量量值的函数公式。

的函数公式 基本原基本原则：：选择最佳函数最佳函数误差公式差公式例：例：测轴心距，三种方案心距，三种方案已知已知试判断那种方案判断那种方案较佳？佳？第第1 1法法第第2 2法法第第3 3法法选择最佳函数最佳函数误差公式差公式使使误差差传递系数尽量小系数尽量小若若 或或为最小，最小，则该项误差差对函数函数误差差影响影响为0 0或最小或最小例：弓高弦例：弓高弦长法法测量直径量直径D D，，试确定最佳确定最佳测量方案解：解：讨论测直径直径。