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Logistic 模型自然界中存在着一种事物的发展规律：在其发展初期，数量或规模增加得越来越快，到了一定时期，其增长速度逐步慢下来，最终数量或规模不再增长，从而稳定在数量或规模的极限值处如果记 t 时刻数量为 N (t)Nt ，则上述发展规律可由微分方程描述：dNtr (1N t )N t（ 1）dtN m在初始条件 N (t0 )N0 和参数 (r、 Nm0) 已知的条件下， Nt 被唯一确定易得其解为N tN mr ( tk t0 )（2）1 ( N m / N01)e给出由 n 对观测数据 (tk , Nk )( N (t k )N k , k1,2,⋯ , n) 确定参数 Nm 及 r 估计值的算法该问题实质是确定估计函数：NtNm1 (Nm / N01)er (tk t0 )使得函数 Nt 和 Nt 的距离最小交替迭代算法交替迭代算法的基本思想是： 先假设 Nm 已知，求出 r 的最小二乘估计值， 再以 r 的估计值为已知，求出 Nm 的最优估计值，这样交替迭代，直至收敛到符合精度要求为止Nm 已知时 r 的估计整理式（ 2）得N m1)r (tkt0 )ln(N m1)0ln(NtN 0由于观察过程中，观察数据有偏差，不妨令该偏差为ln( N m1)r (tkt0 )ln( N m1)kN 0N t其中， Nk 为 tk 时刻的观测值，则令nnNmNm2*2) minmin1)r (tkt0 ) ln(1)]f (rk[ln(r 0k1r 0k 1N0Nt根据最小二乘准则，得nNk (NmN0 )(tk t0 )lnr *k 1nN0 (NmNk )（3）(t kt0 )2k1由式（3）可见，由于对数运算的限制，只有Nm / N k1 (k0,1,2,⋯ , n) 估计才有意义。

r 已知时 N m 的估计由式（ 2）可得观测值：N tN m1( N m / N 01)er (t k t 0 )设由 Nm 的估计值产生的关于 Nt的误差为t ，且 t 为独立、等方差、均值为零的随机变量于是在第 k 时刻有NtkN mr ( tk t0 )1 ( N m / N01)e那么 ( N k k )( N 0er (t k t 0 )N mN0 ) N mN 0 er (tk t0 ) 整理得NmNm N0 (er ( tk t0 ) 1)kNk NmN0kNer (tk t 0 )NN er (tk t0 )Nkk00当 tk 足够大时， N k N mN 0将变得非常小，这是因为N 0er ( tk t0 )N kNk Nm N0N0er (t k t 0 ) NkNmr (tk t0 )NmN01 (Nm / N01)eN0er (t k t 0 )Nm1)er ( tk t0 )1( Nm / N02Nm N0 (Nm N0 )( Nm / N0 1)er (t k t 0 )N0er (tk t0 )N0 (Nm / N01) Nmtk0。

因此，当 tk 足够大时，NmNm N0 (er (tk t 0 ) 1)kN0 er (tk t0 )Nk则关于 Nm 的近似最小二乘估计为*1 nN0 Nk (er (t k t 0 ) 1) 4）Nm()n k 1N0er (tk t0 )Nk由 Nm 已知时 r 的估计和 r 已知时 Nm 的估计的分析可以看到， 待估计参数 Nm要比每个观测值 Nk 大，并且观测的数据量要足够远，使得 ( N0er ( tk t0 )Nk ) 充分大换句话说，在样本观察中应该有阻滞增长的事实算法步骤估计 Nm*、r * 的交替迭代算法的具体步骤：1、取初值 i1、 b0、 N m(0) （ Nm(0) 接近 N k ）和精度，代入式（ 3）求得 r 的估计值 r (0)，即令 aNm(i 1)，得nNk (a N0 )(tkt0 )lnr (i 1)k 1nN0 (a Nk )(tkt0 )2k 12、将 b 代入式（ 4）求得 Nm(i ) ，(i )1 nN0 Nk (eb(tkt 0 ) 1) Nmn ( k 1N0 eb (tk t0 )Nk)3、若 aNm(i )b r (i 1)，则停止，此时有 Nm*Nm(i ) ， r *r (i 1) ，否则转到步骤四。

4、级 ii 1、 aN m(i )、 br (i 1) ；再转到步骤二算法的收敛性上述参数估计问题可概述为数学问题：由n 对观测数据(tk ,N k )，其中N (tk ) N k ,k1, 2,⋯ , n ，求式（ 2）的参数 Nm 和 r 估计值问题令误差函数为n( k2k2 )Q (N m , r )k1显然 Q 为连续可微函数，那么点集 K{ x Q( x) Q( x0 )} 为一有界闭集该问题中第 v 1 步迭代后的误差损失为Q (N m(v) , N m(v 1) ,r (v) )n( k2k2 )k 1n(v)( v)( v1){[ln(N m1)r(v )(tkN m1)]2[ N tN m]2}t0 ) ln(( v1)/ N 01)er (t k t 0 )k 1N 0Nt1 (N m（5）n由叙述可知，在由 Nm(v) 求 r (v) 过程中，使函数 Q 的k2 部分达到最少，当这k1样交替复进时，非负函数 Q 的值逐步达到最小即Q (N m(i ) , N m(i 1) , r (i ) )Q ( N m(i) , N m(i 1) ,r (i 1) ) Q( N m(i 1) , N m(i 2) , r ( i 1) )由点集 K 的有闭性及序列 {Q ( xv )} 的非负不增性，可知存在点 x*K 为序列{ xv} 的聚点， xv(Nm(v ) , r v ) ，即lim xvx*v注 1：由于式（ 5）的 Q 函数是关于自变量的非线性函数，尽管在无扰动的情况下有意义，且最优解存在，但在实际观察中，误差的存在很容易使得 ln( Nm(v )1)Nk在时间 k 足够长（即 Nk 非常接近 Nm ）时失去计算意义，为了在估算参数r 中避免该情况，观察时间 k 值不宜太大，这往往是符合实际的。

注 2： 从式（ 4）的推导过程中可得：当 Nk 越接近 N m ， Nm 估计值的误差方差越小算法示例参数估计算法根据注 1、2，在应用交替迭代算法估计 Logistic 模型中的参数时，应注意：（1）因观测数据 N k (k 1,2,⋯ , n) 含有误差，所以要按由小到大重。