周期函数课件.ppt

1.4.2 正、余弦函数的图像和性质正、余弦函数的图像和性质1周期函数￿￿1.正弦、余弦函数的图象和性质￿y=sinx￿￿(x R)￿￿y=cosx￿￿(x R)￿定义域值域周期性x Ry [￿-￿1,￿1￿]T￿=￿2 xyO1-1y=cosxy=cosxy y- -1xO1ππ2π2π3π3π4π4π5π5π6π6π-2π-2π-3π-3π-4π-4π-5π-5π-6π-6π-π-πy=sinxy=sinx2周期函数2.2.周期函数的定义周期函数的定义￿￿￿￿一般地，对于函数一般地，对于函数f( (x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数T￿，使得当￿x￿取定义域内的每一个值时，都有f(￿x+T￿)=f(x)￿,￿那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期￿￿￿￿对于一个周期函数f(x)￿,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3周期函数可知：可知： 函数函数y=sin=sinx和和y=cos=cosx都是周期都是周期函数，函数，2 2kππ(k∈Z(k∈Z且且 k≠0)k≠0)都是它的都是它的周期，最小正周期是周期，最小正周期是 2π2π。

由由sin(sin(x+2+2kπ)=sinπ)=sinx ; ; cos(cos(x+2+2kπ)=cosπ)=cosx (k∈Z) (k∈Z)4周期函数注意：（1）周期T为非零常数2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期5周期函数的最小正周期6周期函数例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; x∈Rx∈R（2）y=sin2x，x∈R R； 3.例题讲解例题讲解7周期函数8周期函数9周期函数10周期函数11周期函数 例例1 1、、已已知知定定义义在在R R上上的的函函数数f(x)f(x)满满足足f(xf(x＋＋2)2)＋＋f(x)=0f(x)=0，，试试判判断断f(x)f(x)是是否否为周期函数？为周期函数？4.周期函数应用周期函数应用 结论：定义在R R上的函数f(x)f(x)满足f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a) =-f(x) 则f( (x) )是周期为2 2a的周期函数. .12周期函数 例例2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x＋＋1)=f(x1)=f(x－－1)1)，，且且当当x∈[0x∈[0，，2]2]时时，，f(x)=xf(x)=x－－4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .结论：定义在R R上的函数f(x)f(x)满足f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a) =f(x-b) 则f( (x) )是周期为a+ +b的周期函数. .13周期函数y y- -1xO1ππ2π2π3π3π4π4π5π5π6π6π-2π-2π-3π-3π-4π-4π-5π-5π-6π-6π-π-πy=sinxy=sinx14周期函数xyO1-1y=cosxy=cosx15周期函数奇偶性￿￿￿￿一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。

奇函数的图像关于原点对称￿￿￿￿一般的，如果对于一个定义域关于原点关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数偶函数的图像关于y轴对称16周期函数￿￿1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性￿sin(-x)=￿-￿sinx￿(x R)￿￿￿y=sinx￿(x R) 是奇函数cos(-x)=￿cosx￿(x R)￿￿y=cosx￿(x R)是偶函数定义域关于原点对称￿￿￿￿正弦、余弦函数的奇偶性17周期函数￿￿正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo--1234-2-31 x···0········· sinx-1 0 1 0 -118周期函数￿￿余弦函数的单调性￿￿y=cosx￿￿(x R) x······0······cosx-1￿0￿1￿0￿-1yxo--1234-2-3119周期函数单调性y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ]￿(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]￿(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间[￿￿￿￿+2kπ,￿￿￿+2kπ]￿(k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[￿￿￿￿￿+2kπ，￿￿￿￿+2kπ]￿(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.￿￿￿￿￿￿￿￿20周期函数 例例3 3 求求下下列列函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值，，并并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （（1 1）） y=cosxy=cosx＋＋1 1，，x∈Rx∈R；； （（2 2））y=y=－－3sin2x3sin2x，，x∈R.x∈R.21周期函数 例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: : 例例5 5 求函数求函数 ，，x∈[x∈[－－2π2π，，2π]2π]的单调递增区间的单调递增区间. .22周期函数23周期函数当￿cosx=1￿即￿x=2kπ￿（k∈Z)￿时￿，￿y￿￿取到最大值￿3￿￿.￿解：解：由￿cosx≥0￿￿￿得：-￿￿￿+2kπ≤￿x￿≤￿￿+2kπ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（k∈Z)￿∴函数定义域为[-￿￿￿￿￿+2kπ，￿+2kπ]￿￿￿由￿0≤cosx≤1￿∴　1≤2￿￿￿￿￿￿￿￿+1≤3￿￿￿￿￿∴函数值域为[￿1￿，￿3]练：求函数y￿=￿2￿￿￿￿￿￿+1￿的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？24周期函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性￿奇函数偶函数[ +2k , +2k ],k Z单调递增[ +2k , +2k ],k Z单调递减[ +2k , 2k ],k Z单调递增[2k , 2k  +  ], k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.￿直接利用相关性质2.￿复合函数的单调性3.￿利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）25周期函数￿￿正弦、余弦函数的奇偶性、单调性￿例例2 2￿￿求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减[ +2k , +2k ],k Z函数在函数在 上单调递增上单调递增[ +2k , +2k ],k Z (2) y=3sin(2x- ) 单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为26周期函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性￿解：解： (4) 解：解： 定义域定义域 (3) y= ( tan )sin2x单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为当当即即为减区间。

为减区间当当即即为增区间为增区间27周期函数￿￿正弦、余弦函数的奇偶性、单调性￿(5)￿￿￿y￿=￿-|￿sin(x+￿￿￿￿)|解：令x+￿￿￿￿=u￿,￿￿ 则￿￿y=￿-|sinu|￿大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-￿|sinu|uO1y-1减区间为增区间为即：y为增函数y为减函数28周期函数。