高中数学函数性质总结.docx

高中数学函数性质总结 高中数学函数性质总结 函数性质 1..函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么 f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数； x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数. x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，假如f(x)0，则f(x)为增函数；假如f(x)0，则f(x)为减函数. 注：假如函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;假如函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数. (x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，假如一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa). 注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若 2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数. 3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性 (1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax) f(2ax)f(x). (2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx). 4.两个函数图象的对称性 (1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象. 5.互为反函数的两个函数的关系 f(a)bf1(b)a. 27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k6.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0. (3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1). (5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)， “xf(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(商定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0， 1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0), f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a； f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则 1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a； (5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a) f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a. 或f(xa)8.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）. a9.根式的性质（1）(na)a.（2）当n为奇数时，aa； nnna,a0当n为偶数时，a|a|. a,a0nn10.有理指数幂的运算性质(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ). (2)(a)a(a0,r,sQ). (3)(ab)ab(a0,b0,rQ). p 注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 rrrslogaNbabN(a0,a1,N0). 34.对数的换底公式 logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0). logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0). mlogaN11.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN; MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR). (2)loga2注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为 2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要 单独检验. 12.对数换底不等式及其推论 1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数. aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数. aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga【例1】求以下各式的值： n（3）（1）n（n1,且nN*）；（2）(xy)2.n（3）3；解：（1）当n为奇数时，nn（3）|3|3.当n为偶数时，n2mn.2（2）(xy)2|xy|. 当xy时，(xy)2xy；当xy时，(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21，求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解：na1a211221nnnaaaa212n 【例4】已知函数f(x)a23x(a0,且a1). （1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性. 2时，a23xa01.32所以，该函数的图象恒过定点(,1). 3（2）∵u23x是减函数， ∴当0a1时，f(x)在R上是增函数；当a1时，f(x)在R上是减函数. 21【例3】求以下函数的单调区间：（1）yax2x3；（2）y.x0.21u2解：（1）设ya,ux2x3. 解：（1）当23x0，即x由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.依据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，y关于u为减函数.∴当a1时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；当0a1时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).（2）函数的定义域为{x|x0}.设y而依据y1,u0.2x.易知u0.2x为减函数.u11的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数.u1∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数. xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，则f(1.)22证 明： x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx(2)∴f(1.（注：此性质为函数的凹凸性）)22bx【例2】已知函数f(x)2(b0,a0). ax111（1）推断f(x)的奇偶性；（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值. 22bx解：（1）f(x)定义域为R，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函数. ax1b1（2）由f(1)，则a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. a12a2b10由得a=1，b=1. 4ab3exa【例3】（01天津卷.19）设a＞0，f(x)是R上的偶函数. aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数． exa解：（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)f(x)0. aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0. aeaeaaaex－e-x不行能恒为“0”，∴当 1－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．a（2）在(0,)上任取x1＜x2， ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee(ex1ex2)(ex1ex21)x1x2x1x2∵e＞1，x1＜x2，∴ee1，∴ee＞1，＜0， ex1ex2∴f(x1)f(x2)0，∴f(x)是在(0,)上的增函数． 【例4】已知1992年底世界人口到达54.8亿. （1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t年后的世界人口数y（亿）与t的函数解析式； （2）若人口的平均增长率为x%，写出201*年底世界人口数为y（亿）与x的函数解析式.假如要使201*年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应掌握在多少以内？ t*解：（1）经过t年后的世界人口数为y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,（2）201*年底的世界人口数y与x的函数解析式为y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8，解得x100(18所以，人口的年平均增长率应掌握在1.1%以内. 66.81)1.1.54. 扩展阅读：高中数学 函数概念及其性质学问总结 数学必修1函数概念及性质（学问点总结） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式留意：○ 3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．子有意义的实数的集合；○ 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时。