(完整版)同济大学第六版高等数学第一章综合测试题答案.docx

第一章综合测试题解答一、 1． [1,2)2． g (x)1ln x3．14． ln 51e5． [1 e,2] U [ 2, 1 e]二、 1．（ C）2． (B)3．（D ）4.（ D）5.（ C）f ( x)1| x |)0, x0,(x)]0,( x)00, x0,三、解( xx, xf [( x),(x)0x2 , x0,20.Q f ( x)0,[ f ( x)]1( x2x | x |).2四、解 1、令 2xt ，则 x2 时， t0 ，原式lim(4 t)t cot tlim (4 t)t cos t16.t 04t 0t441xx232、原式 = lim1x3limx 1x 1113x1，原式 =3、设 f ( x)x( x1)( x2)lim( x2)1 .(1 x)(1xx2 )xx2x 1 11xf ( x)lim1f (x) f(x).x11lim x 11Q lim xf (x)limx[3x1]lim x(3 x1)xxxxxx1limx1 ln 31 ln 3,x x原式e1 ln33e.1 2Ln12Ln1 2L n4、nn21 n22n2nn2，n211 2Lnn(n 1) 1lim1 2LnQ lim2lim22,nn1n2( n1)2nnn原式1.25、 Q lime1/ x1 arctan 1 = 01 ()2;x 0 e1/ x1x 0 12lime1/ x1arctan1= lim1e+1/ x1x+ex 0ex 011/ x1/ xarctan 1 ,x 2原式 .2五、解 当 x0 时， f ( x)x( x24)f (x) 在点 xn(nZ ) 处无定义，sinx为初等函数，limf ( x)limx(x24)limx( x24)8limf(x)，1,3,4,L;sinx( x2);nx2x2x2xn当 x 0时， f ( x)x(x1)为初等函数，f ( x) 在点 x1处无定义， lim f (x);x21x1在点 x0处 ， limf (x)limx( x24)4 ,limf ( x)limx(x1)0;x 0x0sinxx 0x0x21综上， f ( x) 的间断点为 x=k (kZ), x=0 与 x1 ，且 x2为可去间断点（第一类）， x=0 为跳跃间断点 （第一类）， xn(n1,3,4, L) 与 x1为无穷间断点 （第二类） .f ( x) 在其它点处皆连续 .六、解 QlimlimAlimAx2x2x 1kkxxxx 2 2 x 1xxx(x 2) x 12xlimA x 2x 2 x 1x( x 2) x 12xkxlim3k12121112111,A x2x2xxxxk3 ; A124七、解 Qlim1cos[ f ( x)sin x]lim1/ 2f 2 ( x)sin 2 x3 f ( x)5,x31) f ( x)arctan x1/ 3x4 f ( x)lim2x2x 0 ( 3 1x 0x0limf ( x)10.x 0x23八、证明：由已知，得f (0)2 f (0) ，f (0)0.x (,) ， f ( xx)f (x)f (x) .由 f( x) 在 x0 处连续性，得lim[f ( xx)f ( x)]limf (x)f (0)0.x0x0从而 f (x) 在点 x 处连续性，由 x 的任意性， f ( x) 在 ( , ) 内连续 .九 、 证 明 ： x (,) ,则 n Z,使 得 n xn 1,则 [ x]n . 于 是f ( x)n n0, f ( x)n1 n1, 从而 f ( x) 在 ( ,)上有界 .x (,，f ( x)，f ( x)是以 1为周) Q f ( x 1) x 1 [ x 1] x 1 ([ x] 1)期的周期函数 .十、证明：构造辅助函数 F (x) f ( x a) f (x) . 由已知，得 F (0) f (a) f (0) f ( a) ，F (1 a)f (1) f (1a)f (1F (0)F (1 a)若 f (a)0 或 f (1a)=0 ，可取a) ，由 f (x) 非负，可得，f (a) f (1 a) 0 .x0 0 或 x0 1 a ，即有 f (x0 a) f (x0 ) .否则 F (0) F (1 a) 0 ，Q f (x) 在 [0,1] 上连续， F ( x) 在 [0,1 a] 上连续 . 根据零点定理 x0 (0,1 a) [0,1], 使得 x0 a [0,1] ，且 F (x) 0 ，即 f ( x0 a) f ( x0 ) . 得证.。