北邮 电路与信号 考1第7章 傅里叶频域分析.ppt

1,第七章 连续时间信号与系统的频域分析,目录,2,目录,,3,,目录,4,用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性 信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号进行描述，在正交函数的基础上对时域信号的进行分解最常用的分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析5,引言,7-1 信号的分解,为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量一．直流分量与交流分量,6,,,,二．偶分量与奇分量,7,三．脉冲分量之和,在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号,的线性、加权组合，即,,四．正交函数分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的 把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题,8,对信号进行分解处理的信号(函数)称为基底函数.,矢量的正交分解,9,误差矢量,,系数,两矢量正交,怎样分解，能得到最小的误差分量？,方式不是唯一的：,,7-1-1 信号的正交分解,10,空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。

平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量，,一个三维空间矢量 ，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：,二维信号的正交分解 三维信号的正交分解,7-1-1 信号的正交分解,11,,,,,,,,设 , 为两个任意信号,如图所示,若设,, 则误差函数,在此定义 为两个信号的相关系数.,两个任意信号间的关系:,信号的波形,7-1-1 信号的正交分解,在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原则，也就是说 f e(t)的均方值 应该最小令 为误差函数的均 方值 , 则,12,从而求得相关系数C12的大小:,,【例题7-1】设矩形脉冲 有如下定义,13,,解答：,,14,所以,,,7-1-1 信号的正交分解,15,若 C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：,此时，f1(t) 、f2(t) 称为互为正交的函数，表示 f 1(t) 函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理， f2(t) 函数 中不含有f1(t) 的 的信息或者分量。

两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号7-1-1 信号的正交分解,总结 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0即： 凡是满足上面两式的函数称为正交函数 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足正交16,,【例题7-2】试用正弦函数 在区间 内来近似表示余弦函数,17,由于,所以,解：,称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集正交函数集,信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：,18,,,,原函数,近似函数,,表示信号f(t) 与基底函数间的相关系数,,,正交函数集规定：在正交函数集中： 两两相互正交，满足以下条件,19,是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性,20,两复变函数在区间 内相互正交的条件是,7-1-2 完备正交函数集,能使信号 f(t)进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差为零的一组正交基底函数称为完备的正交函数集。

一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许多，如：正弦函数集指数函数集walsh函数集……,21,,,,,,,,,,22,由积分可知,,【例题7-3】,23,是一个正交函数集,,正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道编码等 当我们选用三角函数、复指数函数作为基本信号来对信号与系统进行分解,这就是傅立叶频域分析法.,24,周期信号的定义是在（ ）区间，满足,最小的 称为周期信号 的基波周期，角频率 称为 的基波角频率， 称为 的基波频率,,7-2 周期信号的傅立叶级数分析,25,,,( ， 表示一个固定的常数，注意符号与变量 的区别),傅里叶级数的由来,对周期信号的研究，最早来自于1748年欧拉对振动弦的工作 欧拉发现，所有的振荡模式都是x的正弦函数，并形成谐波关系26,1753年，伯努利声称一根弦的实际运动都可以用振荡谐波的线性组合来表示 1759年，拉格朗日提出了反对意见，他批评了使用三角级数来研究振动弦的主张，认为没多大用处。

因为实际信号往往有中断点的，不能像绳子一样从头到尾都是完整的1807年，傅里叶在进行热力学研究的时候发现:表示一个物体温度分布的时候，成谐波关系的正弦函数是非常有用的这时候他提出了一个大胆的猜想：“任何”周期信号都可以用成谐波关系的正弦函数来表示 这个论述非常有意义，因为它适用范围广傅里叶本人没有给出详细的数学论证，这个命题后来是由狄里赫里给出完整的证明：在一定的条件下，周期信号可以用成谐波关系的正弦函数来表示27,狄里赫利,,当周期信号 满足狄里赫利条件时，就可以用复指数函数集或三角函数集的线性组合来表示，这种线性组合的表示称为傅立叶级数展开在一个周期内，信号绝对可积； 在一个周期内，极大值与极小值数目为有限个； 在一个周期内，信号的间断点数目应是有限个，工程中所遇到的信号都满足狄氏条件28,狄里赫利条件：,7-2-1 指数形式的傅立叶级数分析,复指数函数集 是一个完备的正交基底函数集，任意满足狄里赫利条件的信号 f(t) 可以用复指数函数集进行分解， 上式称为周期信号 的指数形式的傅立叶级数。

表明周期信号 可以分解成无穷多项，不同频率的指数函数的线性组合29,,,,,,当 n < 0时，信号分解出负频率在现在人们的认知范围不存在负频率 这是因为 是一个实数信号，在引入复数分解信号 时必须出现共轭项才能完整表示信号 ，因此负频率在这里只有数学含义 式中的 称为傅立叶系数，又称为频谱函数或复系数,30,7-2-1 指数形式的傅立叶级数分析,周期信号 在复指数函数集上分解的各分量称为谐波分量 n=0 时, 称为直流分量； 时，频率取 ，称为一次谐波（也称为基波）； 时， 称为二次谐波; 以此类推，可知各次谐波是基波 的整数倍31,,或者利用复变函数正交特性,32,周期信号 的指数形式的傅立叶级数的系数是一个复数，所以 也可以表示成,,33,n=0,1,.... 是一个完备的正交函数集,7-2-2 三角形傅立叶级数,34,由积分可知,三角函数集,7-2-2 三角形傅立叶级数,,35,,,,由系数公式 得：,(3),,36,周期信号 的正弦形式的傅立叶展开式也经常写成,7-2-2 两种形式的傅立叶级数的关系,由欧拉公式可知：,37,,,,,(n取 间的整数),7-2-2三角形傅立叶级数,38,通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式的傅里叶系数有以下关系：,,【例题7-2】求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式,39,,解：,周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,直流,基波,谐波,,40,,,7-3 周期信号的频谱分析,7-3-1 频谱的概念频谱就是信号中包含的所有频率成分的大小。

信号分解为振幅不同和频率不同的正弦信号，这些正弦信号的幅值和相位按频率排列的分布曲线，叫做频谱如果把 — 的关系绘成下图所示的线图，就可以清楚直观地看出各频率分量的相对大小，这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱类似还可以画出相位 对频率 的线图，称为相位频谱，或简称为相位谱41,,,幅度谱和相位谱统称为信号的频谱图42,(a) 幅度谱 （b) 相位谱,周期信号的频谱只会出现在0， 等离散频率点，这种谱线称为离散谱.,图中的每条线代表某一频率分量的幅度，成为谱线连续各谱线顶点的虚线称为包络线，它反映了各分量幅度变化的情况7-3-2 周期信号的频谱特征,指数形式傅立叶级数的频谱图 那么可以画出幅度 间的关系，也可画出 间的关系，如下图所示43,,,,周期信号指数形式的频谱图,,幅度谱,相位谱,从图中可以看出，对于指数函数的谱系数， 的幅度谱 为偶对称 ，而 的相位谱 为奇对称。

信号的频谱清晰地描述了信号中的频率成分，即构成信号的各谐波分量的幅度和相位频谱提供了另一种描述信号的方法，即信号的频域描述信号的时域和频域描述从不同的角度展现了信号的特征,44,,,【例题7-3】 已知周期性矩形脉冲号 ，如图所示，试求 的傅立叶级数展开形式，并画出频谱图45,例题7-3的信号,解： 周期矩形脉冲信号进行傅立叶级数展开，既可以展开成指数形式，也可以展开成三角函数形式，下面就两种形式分别展开1）先求展开成指数形式的傅立叶级数，为求展开式，先求谱系数 46,,,,,时，要单独求,47,则 的傅立叶级数展开形式,频谱图：画出 和相位谱 48,,,,,,,,从上述分析我们可以看到（1）周期信号 是时域表达式， 是变量；频谱函数 是周期信号 在频域中的表达式， 是变量；（2）周期信号 是连续信号，但它的频谱函数 是离散的49,,,,,只存在于频率为0， 这些离散点上。

7-3-2周期信号的频谱特性,（3）频谱函数 的幅度具有收敛性，随着频率增加， 逐渐减小；（4）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱 是偶函数，相位谱 是奇函数5） 与 具有唯一对应性， 包含了信号 的全部信息50,,下面求三角形式的傅立叶级数与频谱根据三角形式傅立叶级数展开形式去掉直流分量 ，则 为奇函数，如下图所示,51,图7-12 去掉直流分量的周期信号,7-3-2周期信号的频谱特性,。