五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版.pdf

数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩， 必须掌握这类题型的解题方法名师点题数阵图、数字谜知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析2.数字谜： 数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除 4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜 数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析， 高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧 结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）将 111 填入图中的内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22解析】 首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22 5-66） 4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1 配 10，2配 9,，3 配 8，4 配 7，5 配 6。

在下图中填9 个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等那么 b 处应该填入的数是 （） 解析】 这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3 倍，幻和 =3b=1.9+b+0.9= 2.8+b ，进而得到2b=2.8，b=1.4在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：例 1例 2例 3+那么：口 += _解析】 比较竖式中百位与十位的加法，十位上“+”肯定进位， （否则由百位可知=0） ，且有“ +110+”，从而 =9，= 8再由个位加法，推知 + =8从而口 + =9+8+8=25 巩固拓展】1.将从 8开始的 11 个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a 共有（）种填法解析】 由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5 次外，其他数均加了1 次，可看作8 至 18 均加了 1 次，中间数a 多加了四次，表示为（ 8+9+ +18）+4a，列出等式为5S =（8+9+ +18）+4a，化简为 5S=143+4a，要使等式成立， 4a 的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18。

2.将 1-12 这十二个自然数分别填入下图的12 个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为 _解析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6 条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍所以，6(12312)2SL，得到 S=26，即所求的相等的和为263.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=_s t vav t s tt t v t t【解析】 首先可以判断t=1， 所以 s+v=11， v=t+t +1=3， 可解得 s=11-3=8， 又因为 a+t=t ， 所以 a=0，1038tavs将自然数1、 10、19、28、37、46、55 分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】 圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3 遍外其余数都被计算2 遍由11019283746552392中心数中心数 ，应是 5 的倍数，推知中心数为28。

巩固拓展】将 3、5、7、11、13、17、19、23、29 这 9 个数分别填人右图的9 个中，使3 条边上的中的数之和都相等请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和解析】 设三个顶点内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2 次，所以条边上的三数之和相加得例 1 3571113171923291273abcabcK ；由于所得的和必须能被3 整除，而1273421L L，所以abc 的和应被3 除余 2，abc的最小值是571123，最大值是2923 1971，所以 K 的最小值是12723350 ，最大值是12771366 请将 19 这 9 个数填入右图3 3 表格中，使得第1,2 行三数的乘积分别是70， 24，第 l、2 列三数的乘积分别是21、72解析】 因为 70=2 5 7， 21=13 7，所以 A=7，D 等于 2 或 5，因为 DE F=72，72 不能被 5 整除，所以 D 为 2，72=24 9，即 E 为 4 或 9，且 B E H=2424 不能被 9 整除， 所以 E 为 4，24=1 4 6，也就是 B=1，H=6，剩下的数易得。

最后结果为：FIHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在 8 行 8 列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、 2、3 这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC 、BD 上的数字和互不相同？对你的结论加以说明解析】 不可能这里一共有8 行、 8 列、 2条对角线，每行每列及对角线AC、 BD 上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18 （个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8 个数的和最小取值是81=8，最大为 83=24，8 到24 一共有 17 个数17 18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD 上的数字和互不相同例 2 例 3 将 1、2、3、 4、5 填入 55 的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格解析】 根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；观察第 5 列，可知第5 行第 5 列方格中不能填4、 5（根据列摒除法） ；再观察从左上至右下的对角线，可知第5 行第 5 列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法） 那么根据唯一解法，可以确定第5 行第 5 列方格中填2；对两条对角线进行分析，可以确定第3 行第 3列方格中只能填4；再根据唯一解法确定第2 行第 2 列方格中填5；接着可确定第2 行第 4 列方格中填2，第 5 行第 1 列方格中填3；至此我们已经填出第1 行、第 4 行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：【巩固拓展】如右下图， 9 个 3 3 的小方格表合并成一个9 9 的大方格表，每个格子中填入1-9 中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个33 的小方格表中也只出现一次，10 个“”处所填数的总和是。

解析】 先确定第6 列 4 个的和：（1+2+3+8+9）-（1+9+8+4+2 ）=21； 确定第 2 层第 3 宫（ 9 宫格） 4 个的和：（1+2+3+ +8+9）-（3+4+5+6+9 ）=18； 确定第 1 行第 8 列：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5； 确定第 3 行第 1 列：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以 10 个“”处所填数的总和是：21+18+5+2=46 将 1、3、5、7、9 填入等号左边的5 个方框中， 2、4、6、8 填入等号右边的4 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为 + +【解析】 因为左边必是奇数，所以右边最大值为87 （否则为88） ，经过尝试，得3 1+5+79=6 2+84 【巩固拓展】请在算式 1111中填入不同的四个数字，使等号成立解析】 在 10-19 这 10 个数中，剔除质数后只剩下6 数，通过尝试可得到10 18=12 15在右边的乘法算式中，字母A、B 和 C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字求A、B 和 C 分别代表什么数字941A B CA B C【解析】 第一个部分积中的9 是 CC 的个位数字，所以C 要么是 3，要么是 7，假设 C=3，第二个部分积中的 4 是积 3 B 的个位数字，所以B=8。

同理，第三个部分积中的1 是积 3 B 的个位数字，因此A=7如果 C=7，类似地可知B=2，A=3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C7 巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例 5 例 4 【解析】 显然的 D=1，由 AB A=IF 可知， A 不会超过3，否则得到的乘积应该是3 位数，如果A=3，那么 B 也不能超过3，所以 B 只能是 2，这样的 AB B =32 3=96 与 AAH 矛盾，所以A3 ，所以 A=2， 根据 AB B=AAH ， 可以尝试出B=8 时，等式成立， 得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF 是 10696第十一届中环杯初赛试题及答案）从 1 至 13 中选出 12 个自然数填入3 4 的方格中， 使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）解析】 因为 1+2+13=91， 从中去掉一个数后应该能够被3以及 4 整除， 即能被 12 整除由于 91 12=77，应该去掉7，所有数的和为84这样，每个横行的数字之和为84 3=28，每个竖列的数字之和为84 4=21。

进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列三个奇数和为21 的，只有1+9+11 和 3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 11 2 12 9 6 5 8 5 6 9 8 11 2 12 3 13 4 10 1 如图大、中、小三个正方形组成了8 个三角形，现在把2、 4、6、8 四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8 分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8 分别填在小正方形四个顶点例 2例 1上：（1）能不能使8 个三角形顶点上数字之和都相等？（2）能不能使8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由解析】 （1）不能如果这 8 个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S考察外面的4 个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8 各出现一次，中正方形的 2、4、6、8 各出现二次即42468360S所以 S=60 4=15但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这 8 个三角形顶点上数字之和不可能相等。

2）能，下图是一种填法8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是 （）【解析】 积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；例 3一位质数有2、3、5、7；23=6，25=10，27=14，35=15，37=21，5 7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3 5=15 或 57=35，故积的个位数是5在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】 这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看， 提供的信息较少，“ 谜” 所在的位置较多，紧紧抓住 “ 谜 ” 。