不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.doc

不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x∈上恒成立 f(x) ＜0在x∈上恒成立.例1. 设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上变化，y恒取正值，求实数x的取值范围解：设f(t)=y-(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1， t∈[-2,2]问题转化为：f(t)＞0对t∈[-2,2]恒成立 0＜x＜或x＞8故实数x的取值范围是（0，）∪（8，+∞）例2. 对于 -1≤a≤1,求使不等式()<()恒成立的x的取值范围解：原不等式等价于x2+ax<2x+a-1在a∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立,则须满足x>2或x<0故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).类型2：设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) f(x) ＞0在x∈R上恒成立a＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x∈R上恒成立a＜0 且△＜0.说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式＜1对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

解：由4x2+6x+3=(2x+)2+＞0,对一切实数x恒成立，从而，原不等式等价于2x2+2mx+m＜4x2+6x+3, (x∈R)即：2x2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x恒成立则 △=（6-2m）2-8(3-m)＜0 解得：1＜m＜3 故实数m的取值范围是（1，3）类型3：设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)（1） 当a＞0时① f(x) ＞0在x∈上恒成立或或或△＜0或.② f(x) ＜0在x∈上恒成立.（2） 当a＜0时① f(x) ＞0在x∈上恒成立 ② f(x) ＜0在x∈上恒成立或或或△＜0或.说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a＞f(x) 恒成立对x∈D恒成立a＞f(x)， a＜f(x)对x∈D恒成立 a＜f(x).说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出例4.（2000.上海）已知f(x)= ＞0在x∈上恒成立，求实数a的取值范围分析1：当x∈时，f(x) ＞0恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立,只需求出g(x)= x2+2x+a在上的最小值，使最小值大于0即可求出实数a的取值范围。

解法1：∵ f(x)= ＞0对 x∈恒成立 x2+2x+a＞0对 x∈恒成立设g(x)= x2+2x+a x∈问题转化为：g(x) ＞0g(x)= x2+2x+a=(x+1)2+a-1, x∈∴g(x)在上是增函数∴g(x)=g(1)=3+a ∴ 3+a＞0 a＞-3即所求实数a的取值范围为a＞-3分析2 ：分离变量，转化为a＞f(x)或a＜f(x)恒成立问题，然后利用极端值原理：a＞f(x) 恒成立a＞f(x)a＜f(x) 恒成立 a＜f(x).解法2：∵ f(x)= ＞0对 x∈恒成立 x2+2x+a＞0 对x∈恒成立 a＞-（x2+2x）对x∈恒成立设(x)= -（x2+2x） x∈问题转化为：a＞(x) (x)= -（x2+2x）=-(x+1)2+1 x∈∴(x)在上是减函数∴ (x)= (1)=-3∴ a＞-3即所求实数a的取值范围为a＞-3例5.已知x∈时,不等式1+2x+(a-a2).4x＞0恒成立，求实数a的取值范围分析：要求a的取值范围，如何构造关于a的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的解：设2x=t, ∵x∈,∴t ∈原不等式可化为：a-a2＞. 要使上式对t ∈恒成立，只需：a-a2＞（）. t ∈=-()2+由 ∴（）=-∴a-a2＞-即：4a2-4a-3＜0从而 -＜a＜类型5：①.f(x)＞g(x) 对任意x∈D恒成立 ②. f (x1)＞g(x2) 对任意x1、x2∈D恒成立例6 已知f(x)=-x3+ax,其中a∈R，g(x)=-x，且f(x)＜g(x)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围。

分析：有的同学把“f(x)＜g(x)在x∈上恒成立”转化为：“当x∈时，f(x) ＜g（x）,”然后求出a的取值范围这种方法对吗？1g(x)=-x+f(x)=-2x2我们先来看一个例子，如图，当 x∈[0，1] 时，f(x) =0， g（x）= - ，并不满足 f(x) ＜ g（x）显然这种转化方式是不对的错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是x的函数关系式而此题解法中的不等式，两边都是关于x的函数关系式，所以上面这种转化方式是错的 正确的方法是先分离变量，再利用极端值原理解：f(x)＜g(x)在x∈上恒成立 -x3+ax+x＜0 对x∈恒成立 a＜x2-x对x∈恒成立设h(x)= x2-x x∈问题转化为：a＜h(x) h/(x)=2x-=由h/(x)=0，得x=当x∈ 时 h’(x) ＜0，h(x)在递减当x∈ 时 h’(x) ＞0，h(x)在 递减 ∴ h(x) 在x= 时取最小值，h(x) = ∴a＜例7.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中kR（1） 若对任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；（2） 若对任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)，求k的取值范围。

方法：①.“f(x)＞g(x) 对任意x∈D恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得②.“ f (x1)＞g(x2) 对任意x1、x2∈D恒成立” f(x) ＞ - 1 -。