现代控制理论-第7章.docx

第六次课小结Lyapunov意义下的稳定性问题基本概念•平衡状态的概念• Lyapunov意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）•纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性•二次型，复二次型（Hermite型）二、 Lyapunov稳定性理论•第一方法•第二方法三、 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析•应用Lyapunov方程AH P + PA = -Q来进行判别稳定性四、线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计•衰减系数，一旦定出门.，则可定出V（x）随时间t衰减上界•计算门帅的关系式五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据•离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov稳定判据在离散系统中的应用六、 线性多变量系统的综合与设计的基本问题•问题的提法•性能指标的类型•研究的主要内容七、极点配置问题•问题的提出•可配置条件•极点配置算法5. 2. 5 爱克曼公式(Ackermann^s Formula)考虑由式(5.1 )给出的系统，重写为x - Ax + Bu假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为 S=|Ll,S = |Ll，…，S = |Ll o1 2 n利用线性状态反馈控制律u — — Kx将系统状态方程改写为X = (A - BK )x (5. 14)定义A = A-BK则所期望的特征方程为— A + BK — si — A — (5 — |Ll )(5* — |Ll )•••($— |Ll )1 2 n=sn + + ••• + "* s + i* = 01 n-l n由于凯莱-哈密尔顿定理指出；应满足其自身的特征 方程，所以e*(A) = A〃+i*A〃T+ •••+"* A + a*/ = 0 (5. 15)1 n-l n我们用式(5.15)来推导爱克曼公式。

为简化推导, 考虑n =3的情况需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广考虑下列恒等式I = I〜A = A - BKA 2 = (A - BK )2 = A 2 - ABK - BKAA3 = (A - BK )3 = A 3 - A 2 BK - ABK A - BK 〜2将上述方程分别乘以a *, a *, a *, a * (a * = 1)，并相加， 3 2 10 0则可得a * I + a * A + a * A 2 + A33 2 1〜=a * I + a *( A - BK ) + a *( A 2 - ABK - BKA) + A 3 - 3 2 1〜 〜-A 2BK - ABK A - BKA 2=a * I + a * A + a * A 2 + A 3 一 a * BK 3 2 1 2〜〜- ABK A - BK A 2参照式(5.15)可得a * I + a * A + a * A 2 +32 1也可得到a * I + a * A + a * A2 + 3 2 1-aABKA3 = ©〜-a * BKA - A 2 BK -1 (5.16)〜*( A) = 0将上述两式代入式(5.16)，可得© *( A) = © *( A) - a * BK - a * BkA - BKA 2 - a * ABK - ABK A - A 2 BK2 1 1由于© *(A) = 0，故KA)+ A 2 BK(5.17)4 *( A) = B (a * K + a * KA + KA 2) + AB (a * K +2 1 1r ” "二 ~ ia * K + a * KA + KA 2I 2 1 〜I=[B \ AB \ A 2 B ]| a* K + KA由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵Q = [ B : AB : A 2 B ]的逆存在。

在式(5.17)的两端均左乘能控性矩阵q的逆，可得a * K + a * KA + KA 2~[B : AB : A2B ]-14 *(A) = | a*K + KA上式两端左乘[0 0 1]，可得L ~ ~ "Ia * K + a * KA + KA 22 1 ~[0 0 1][ B : AB : A2B ]-14 *(A) = [0 0 1]| a*K + KA | = K重写为K = [0 0 1] [ B : AB : A2B ]-14 *(A)从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K对任一正整数n,有K = [0 0 …0 1][ B \ AB :…；An -1B ] -1 ^ *( A)(5.18)式(5.18)称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方 程[例5.1]考虑如下线性定常系统x - Ax + Bu式中「0 10 ] 「0]A=|0 0 1 ¥ B=|0_- 1 - 5 - 6 J |_1」利用状态反馈控制u = -Kx，希望该系统的闭环极点 为s = -2 ± j4和s = -10试确定状态反馈增益矩阵K首先需检验该系统的能控性矩阵由于能控性矩阵为:「0 0 1 ]Q = [ B : AB : A 2 B ] = 0 1 - 61 - 6 31所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。

因而该系统是 状态完全能控的，可任意配置极点下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方 法中的每一种求解方法1：第一种方法是利用式(5.13)该系统的特 征方程为：一 s -1 0 一.,4| L | II sI - A I = 0 s -1[1 5 s + 6=s3 + 6 s2 + 5 s + 1=s3 + a s2 + a s + a = 0因此a = 6, a = 5, a = 1期望的特征方程为(s + 2 - j4)( s + 2 + j4)( s + 10) = s3 + 14 s2 + 60 s + 200=s3 + a * s2 + a * s + a * = 01 2 3因此a * = 14, a * = 60, a * = 2001 2 3参照式(5.13)，可得K = [ 200 -「60 - 5 ； 14 - 6 ]=[199 55 8]方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为K = [ k k k ]并使I sI - A + BK I和期望的特征多项式相等，可得-s 0 0 [r0 1 0I si - A + BK I=0 s 0ii-0 0 10 0 si-1 - 5 - 6r 0〕+i0 1 [ k kk1 1 1 23L1」s -10=0 s-11 + k5 + k s+6 + k123=s3 + (6 + k )s2 + (5 + k)s + 1 + k3 2 1=s 3 + 14 s 2 + 60 s + 200因此1 + k = 2006 + k = 14, 5 + k = 60, 从中可得k = 199 , k = 55, k = 8或K = [199 55 8]W：第三种方法是利用爱克曼公式。

参见式(5.18),可得K = [0 0 1][ B \ AB \ A 2 B ] -1 ^ *( A)由于4 *( A) = A 3 + 14 A 2 + 60 A + 200 I「0 1 0 ]3 「0 1 0 ]2=0 0 】"1410 0 1_- 1 - 5 - 6 J [- 1 - 5 - 6_「0 10 ] 「10 0]+ 601 0 0 1 + 200 | 0 1 0_- 1 - 5 - 6 J _0 0 1 _「199 55 8 ]=-8 159 7-7 -43 117且「0 0 1[B \ AB \ A 2 B ] = | 0 1 — 6_1 - 6 31可得「001 ]-1「1991 155=[01 0 1] | 01-6 - 8159L1-631 J L-7-43「561]「199 558=[01 0 1] | 61J0 JJ - 8 1597L 00JL-7 -43=[19955 8]87117K117显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的 使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配 置在 s = -2 ± j4 和 s = -10 处于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼）， 这一点很重要。

注意，所期望的闭环极点或所期望状态方 程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏 性之间的一种折衷也就是说，如果加快误差响应速度， 则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大如果系统是2 阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望 的闭环极点和零点的位置联系起来对于更高阶的系统， 期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性） 联系起来因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K 时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基 于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使 系统总体性能最好的矩阵K5.3利用MATLAB求解极点配置问题用MATLAB易于求解极点配置问题现在我们来求解在 例5.1中讨论的同样问题系统方程为x = Ax + Bu式中「0 10 ] 「0]"I0 0 1 r B = I0I_- 1 - 5 - 6 J L11采用状态反馈控制u = -Kx ,希望系统的闭环极点为 s = ^ i(i=1,2,3),其中R = — 2 + j4, = — 2 — j4, R = —10现求所需的状态反馈增益矩阵K如果在设计状态反馈控制矩阵K时采用变换矩阵P，则必须求特征方程|Sl-A|=0的系数a 、 a 、和a。

这可通1 2 3过给计算机输入语句P = poly(A)来实现在计算机屏幕上将显示如下一组系数：A = [0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6]；P = poly(A)P =1.0000 6.0000 5.0000 1.0000则 a = a1 = P(2), a = a2 = P(3), a = a3 = P(4)为了得到变换矩阵P，首先将矩阵Q和W输入计算机， 其中Q = [ B : AB : A 2 B ]a a 1W = a 1 0i1 0 0然后可以很容易地采用MATLAB完成Q和W相乘其次，再求期望的特征方程可定义矩阵J,使得F100 一「- 2 + j 4 00 一J =0。